天津市蓟州区九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.4实际问题与二次函数（2）--利润问题）

一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【26.4实际问题与二次函数（2）——利润问题专项作业】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【九年级】 教材版本 【人教版】 对应内容 【第二十六章二次函数】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长_40_分钟 设计者 【张密】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学建模、运算能力、推理能力，需达成能够利用二次函数解决实际销售利润问题，会结合实际情境确定自变量取值范围，利用函数性质求最值学业质量标准。 教材地位：本课时是二次函数实际应用的重点内容，承接二次函数图像、性质的学习，让学生体会函数模型解决现实销售问题，感受数学来源于生活、服务生活，提升应用意识。 教学重难点： 重点：建立利润问题的二次函数模型，利用二次函数求最大利润；难点：结合实际约束确定自变量取值范围，顶点不在定义域内时求解实际最值。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经掌握二次函数图像、开口、对称轴、顶点，会求二次函数顶点最值；掌握一元二次方程求解；了解销售问题基础数量关系。 现有困惑 容易忽略实际问题中自变量取值限制；分不清涨价、降价时销量变化关系；顶点不在实际取值范围时，不会在区间端点找最值；“每涨/降多少，销量变化多少”的列式容易出错。 差异分析 基础薄弱学生能直接套用公式，但处理带限制条件的实际问题容易丢条件；中等学生可以列式，但容易忽略自变量约束；学有余力学生可以快速建模，需要设置辨析型选择题训练严谨审题习惯。 3. 设计意图 本作业围绕二次函数利润实际应用，由基础列式计算到辨析选择题分层设置习题，巩固单件利润、总利润的数量关系，训练学生建立数学模型，重点强化自变量实际取值范围的审题训练，落实数学建模素养，兼顾不同层次学生训练需求。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述利润相关公式，辨别利润问题中自变量、单件利润、销售量之间的关系 数学运算 正确率、概念复述 能力运用 B 运用二次函数建模的方法解决销售利润实际问题，会结合实际条件确定自变量取值范围 数学建模 过程记录、方法选用 思维发展 C 结合函数图像与实际条件推理实际情境下的最值，辨析顶点与实际定义域不一致的易错情形 逻辑推理 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 感受二次函数在生活销售场景的实用价值，养成审题关注实际限制条件的解题习惯 应用意识 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 解答题 已知进价售价销量，每涨价1元少卖2件，求日利润最大时售价 A、B 基础练习，练习涨价类利润模型，识别对称轴在定义域边界的情况 答案：售价50元，最大利润200元；评价要点：能正确写出单件利润、销量表达式，列出二次函数，会用对称轴判断最值。 2 解答题 纪念品销售，每涨价2元少卖10件，售价上限42元，求最大日利润 A、B、C 训练“每涨多单位价格销量变动”题型，自变量取整数，顶点非整数时就近取值计算 答案：最大日利润1120元；评价要点：正确设元，考虑价格上限，顶点不是整数时，取临近整数计算比较利润。 3 填空题 给定进价，售价与销量关系式，限定售价为整数，求利润最大售价 A、B 基础填空，巩固总利润列式，注意售价整数限制 答案：36；评价要点：准确列出总利润二次函数，验证对称轴在题目给定取值区间。 4 解答题 商场商品降价销售，（1）求利润等于1800时定价；（2）判断利润能否超过1800 A、B、C 考查利润等于定值解方程，结合抛物线性质判断能否超过某利润值 (1)定价178元；(2)不能超过；评价要点：会设降价变量，解方程，结合二次函数最大值解释第二问。 5 选择题（辨析） 宾馆房价、空闲房间、成本，判断3个结论对错 A、B、C 综合拔高，房价设置上限，检验解是否符合实际条件，辨析理论顶点与实际最大利润的区别 答案：C；评价要点：能正确表达入住房间数、单件利润，检验解是否满足房价上限，区分理论顶点和实际定义域下的最值。 6 解答题 阳光玫瑰葡萄销售；①求销量一次函数；②给定利润求单价；③求最大利润 A、B、C 一次函数+二次函数利润综合；解方程后舍去超出价格范围的解；顶点落在定义域内求最值 答案：(1)；(2)13元/千克；(3)单价20元，最大利润1000元；评价要点：会利用表格求一次函数，总利润列式正确，对一元二次方程的根结合售价范围取舍，能利用顶点求实际最大利润。 7 选择题（辨析） 商品涨价销售，带利润率上限约束，辨析3个结论正误 A、B、C 辨析题，重点训练：顶点不在实际定义域，方程的根要受利润率（售价）约束，舍去不合理解 答案：B；评价要点：会写出销量、总利润函数；读懂利润率上限转化为售价上限；区分理论顶点最值和实际条件下最值，对方程解进行检验筛选。 8 解答题 T恤衫试销，由图像求销量一次函数；建立总利润函数，求限定区间内最大利润 A、B、C 由图像上两点求一次函数；对称轴在给定取值区间外部，在区间端点处求实际最大利润 答案：(1)；(2)；时，最大利润12000元；评价要点：会由图像两点求一次函数；正确列出总利润；识别对称轴在取值区间外面，利用增减性在端点求最值。 五、作业评价 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 解答题 已知进价售价销量，每涨价1元少卖2件，求日利润最大时售价 A、B 基础练习，练习涨价类利润模型，识别对称轴在定义域边界的情况 答案：售价50元，最大利润200元；评价要点：能正确写出单件利润、销量表达式，列出二次函数，会用对称轴判断最值。 2 解答题 纪念品销售，每涨价2元少卖10件，售价上限42元，求最大日利润 A、B、C 训练“每涨多单位价格销量变动”题型，自变量取整数，顶点非整数时就近取值计算 答案：最大日利润1120元；评价要点：正确设元，考虑价格上限，顶点不是整数时，取临近整数计算比较利润。 3 填空题 给定进价，售价与销量关系式，限定售价为整数，求利润最大售价 A、B 基础填空，巩固总利润列式，注意售价整数限制 答案：36；评价要点：准确列出总利润二次函数，验证对称轴在题目给定取值区间。 4 解答题 商场商品降价销售，（1）求利润等于1800时定价；（2）判断利润能否超过1800 A、B、C 考查利润等于定值解方程，结合抛物线性质判断能否超过某利润值 (1)定价178元；(2)不能超过；评价要点：会设降价变量，解方程，结合二次函数最大值解释第二问。 5 选择题 宾馆房价、空闲房间、成本，判断3个结论对错 A、B、C 综合拔高，房价设置上限，检验解是否符合实际条件，辨析理论顶点与实际最大利润的区别 答案：C；评价要点：能正确表达入住房间数、单件利润，检验解是否满足房价上限，区分理论顶点和实际定义域下的最值。 6 解答题 阳光玫瑰葡萄销售；①求销量一次函数；②给定利润求单价；③求最大利润 A、B、C 一次函数+二次函数利润综合；解方程后舍去超出价格范围的解；顶点落在定义域内求最值 答案：(1)；(2)13元/千克；(3)单价20元，最大利润1000元；评价要点：会利用表格求一次函数，总利润列式正确，对一元二次方程的根结合售价范围取舍，能利用顶点求实际最大利润。 7 选择题（辨析） 商品涨价销售，带利润率上限约束，辨析3个结论正误 A、B、C 辨析题，重点训练：顶点不在实际定义域，方程的根要受利润率（售价）约束，舍去不合理解 答案：B；评价要点：会写出销量、总利润函数；读懂利润率上限转化为售价上限；区分理论顶点最值和实际条件下最值，对方程解进行检验筛选。 8 解答题 T恤衫试销，由图像求销量一次函数；建立总利润函数，求限定区间内最大利润 A、B、C 由图像上两点求一次函数；对称轴在给定取值区间外部，在区间端点处求实际最大利润 答案：(1)；(2)；时，最大利润12000元；评价要点：会由图像两点求一次函数；正确列出总利润；识别对称轴在取值区间外面，利用增减性在端点求最值。 ✅ 知识点总结 1.核心公式 单件利润 = 售价 − 进价 总利润 = 单件利润 × 销售量 2.涨价降价规律 涨价 → 售价上升，销量减少；降价 → 售价下降，销量增加。 3.解题步骤 ① 设涨价/降价的变量； ② 写出单件利润、销量代数式； ③ 列出总利润二次函数； ④ 求顶点；重点注意自变量限制：售价上下限、商品单价为整数、成本约束 4.高频易错点 （1）题目有价格上限/下限，顶点不在取值区间时，最值取区间端点； （2）求利润等于定值解方程，解要检验是否符合售价限制，舍去不合理解； （3）变量是“每降10元多卖几件”这类，不要把变量和价格变化量混淆。 六、试题详情 1.一件商品进价40元，售价每件50元，一天可以卖出20件；每涨价1元，少卖2件。求售价为多少元时，日利润最大。 2. 商店售卖纪念品，进价每件20元，售价30元，每天卖100件；每涨价2元，少卖10件。售价不能超过42元，求最大日利润。 3. 某种商品每件的进价为30元。经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为____元。 4.某商场销售一种商品，当每件按198元销售时，每件可获利80元，平均每天可以售出20件。为了提高销量，商店决定降价出售。经调查发现，该商品单价（单价为整数）每降价10元，平均每天可多售出5件。 (1)该商品单价定为多少元时，日销售利润可达到1800元？ (2)售卖该商品的日销售利润能超过1800元吗？说明理由。 5.某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本。下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元。 其中，结论错误的是（） A. ① B.①② C.②③ D.①②③ 6.某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克25元。试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量(千克)与销售单价(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示。 销售单价(元/千克) 12 14 16 销售量(千克) 180 160 140 (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围。 (2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ (3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润(元)最大？最大利润为多少元？ 7.某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过65%。有下列结论： ①每天的销量(件)与当天的销售单价(元/件)满足的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元。 其中，正确的结论的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于80元，试销中销售量(件)与销售单价(元)的关系可以近似看作一次函数，图像过、。 (1)求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)设公司获得的总利润为元，求与之间的函数表达式；根据题意判断：当取何值时，最大？最大值是多少？（总利润=销售额−总成本） 七、答案与解析 1.答案：售价50元，最大利润200元 解析： 设涨价元，单件利润，销量 ，对称轴，也就是不涨价，售价维持50元，利润最大，。 2.答案：最大日利润1120元 解析： 设涨价元，售价，限制 单件利润：；销量： 对称轴，取整数，或 ，售价34元，利润 ，售价36元，利润 最大日利润1120元。 3.答案：36 解析： 单件利润：，销量： ，开口向下，对称轴。 条件：，且整数，36在取值范围内。 ，利润最大。 4.解析： 售价198，每件获利80，进价=198−80=118元 设每件降价元（为非负整数） 单件利润：；日销售量： 总利润： (1) 令 化简：，，解得 降价：元，定价元。 (2) 配方： ，抛物线开口向下，函数最大值就是1800。 所以日销售利润不能超过1800元。 5.答案：C 解析： 设房价增加元（非负整数） 入住房间数量： 每间房间利润： 房价上限： ① 定价增加30元，，入住房间，①正确 ② 令，，解得。 ，房价，不符合规定，舍去，只有1个解，②错误 ③ 对称轴，自变量最大。 代入，。 最大利润是12240，不是12250，③错误。 ②③错误，选C。 6.(1)设 ，代入 两式相减： 把代入，， 由题意：进价10元，最高售价25元 取值范围： (2) 利润 令 解得： ，舍去 答：销售单价定为13元/千克时，利润为510元。 (3) ，开口向下，对称轴 在范围内 当时， 答：销售单价定为20元/千克时，利润最大，最大利润1000元。 7.①判断 设售价元，涨价：元 销量： ①正确 利润率上限：成本40，利润率≤65% 最高售价：元， ②判断 设利润 二次函数开口向下，顶点在。 但题目限制，在时，随增大而增大， 所以最大值在处取得，不是70。 ②错误 ③判断 令 解得： 因为，要舍去，定价只能是55元，不能是85。 ③错误 只有①正确，正确结论个数，选 8.(1) 求一次函数 设 ，把 代入 两式相减： 代入 ，得 函数解析式： 根据题意，售价不低于成本50元，不高于80元 自变量取值范围： (2) 求总利润W 单件利润： 元，销量 ，抛物线开口向下，对称轴为 。 自变量范围是 ，在对称轴左侧， 随增大而增大。 所以当 时，利润最大。 代入 ： ✅答案： (1) (2)；当元时，最大，最大值元 1 学科网（北京）股份有限公司 $