26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式y=ax²、y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴及顶点坐标等已学知识，引出一般式如何转化为顶点式的核心问题，搭建从特殊到一般的学习支架。 亮点在于以“提—配—化”三步法系统突破配方运算难点，结合图象平移演示强化数形结合，分层检测（A层基础题、B层提升题、C层拓展题）适配学生差异。培养几何直观与推理能力，助力学生掌握化归思想，为教师提供清晰教学流程与多元评价工具。

26.2.3 二次函数 的图象和性质 （第1课时）教学设计 一、课标要求 1. 会用描点法画出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质； 1. 会用配方法将 化为 的形式，确定顶点坐标和对称轴； 1. 会利用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题； 1. 体会数形结合的数学思想方法。 二、教材分析 本节课是二次函数从“特殊形式”走向“一般形式”的关键节点。此前学生已掌握 、 的图象和性质，具备平移变换的基本认知。本节课的核心任务是把一般式 通过配方法化为顶点式，从而利用已有知识解决一般问题。 思想方法： 化归思想（一般→特殊）、数形结合思想（解析式↔图象↔性质）、分类讨论思想（ 与 的情形）。 三、学情分析 维度 分析 已有基础 学生已掌握 和 的图象画法与性质，能由顶点式直接读出顶点坐标、对称轴、开口方向 能力储备 已会运用配方法解一元二次方程，具备配方的基本运算能力 薄弱点 当 时，提取二次项系数后配方的运算容易出错；从解析式到图象性质之间的“翻译”不够流畅 认知特点 九年级学生逻辑思维发展较快，但仍需直观图象的辅助支撑 四、教学目标 1. 知识与技能：会用配方法将二次函数 化为顶点式 ；能准确说出顶点坐标、对称轴和开口方向；会根据图象分析函数的增减性和最值。 1. 过程与方法：经历“从特殊到一般”的探究过程，体会配方法在二次函数研究中的作用；通过对图象的观察和分析，培养数形结合能力。 1. 情感态度与价值观：在探究过程中获得成功的体验，增强学习数学的信心；体会数学知识之间的内在联系。 五、教学重难点 类别 内容 教学重点 用配方法将 化为 ；由顶点式确定顶点坐标、对称轴和开口方向 教学难点 当 时配方的运算过程；由解析式和图象分析函数的增减性 六、教学过程 环节一：复习引入 【教师活动】 提问：我们之前学习了 的图象和性质。请同学们回忆一下： （1） 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ （2） 呢？ 【学生活动】 学生独立思考后回答： （1），开口向上；对称轴为直线 ；顶点坐标为 。 （2），开口向下；对称轴为直线 ；顶点坐标为 。 【教师追问】 顶点式我们掌握得很好。但如果给你的不是顶点式，而是一般式呢？比如 ，你能直接说出它的顶点和对称轴吗？ 【设计意图】 从学生已掌握的顶点式出发，自然引出“一般式如何化为顶点式”的核心问题，制造认知冲突，激发探究欲望。复习旧知为本节课的配方操作做好铺垫。 环节二：探究新知——配方转化 【教师活动】 提出问题：怎样将 化成 的形式？ 引导学生回忆配方法的步骤，板书示范： 所以顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口向上。 【学生活动】 学生在练习本上跟随教师完成配方过程，并验证结果。 【教师追问】 配方后我们知道 ，那它的图象可以看作是由哪条抛物线平移得到的？ 【学生回答】 由 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到。 【教师活动】 在课件上演示平移过程，让学生直观看到图象变化。 【设计意图】 从 的简单情况入手，让学生熟悉配方步骤“加一项、减一项”。通过平移的几何解释，建立“配方结果↔图象变换”的对应关系，为后续推广做铺垫。 推广到 的情况 【教师活动】 出示例题：将 化为顶点式。 引导学生思考：当 时，配方应该从哪一步开始？ 示范解题过程： （提取二次项系数） （括号内配方） 所以顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口向下。 【教师总结方法】 将一般式化为顶点式，分三步走： 第一步“提”：提取二次项系数 第二步“配”：括号内加上一次项系数一半的平方，再减去 第三步“化”：整理得到 【学生活动】 在练习本上完成以下练习： 将下列二次函数化为顶点式： （1） （2） 【设计意图】 从 过渡到 ，让学生体会“提取系数”这一步的必要性。“提—配—化”三步法为后续独立操作提供清晰的操作框架。 2.3 一般公式推导（拓展） 【教师活动】 提出问题：能否将 直接用配方法化为顶点式？ 引导学生推导： 【得出结论】 对于 ： 顶点坐标为 ， 对称轴为直线 【学生活动】 学生观察推导过程，理解公式中 和 的含义。 【设计意图】 从具体到一般的推导过程让学生看到配方法的普适性。一般公式的得出不是死记硬背，而是学生已有方法的自然延伸，有利于深层理解。 环节三：图象与性质分析（10分钟） 【教师活动】 以 为例，系统分析性质： （1）由 ，开口向下； （2）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； （3）当 时， 随 的增大而增大； （4）当 时， 随 的增大而减小； （5）当 时， 取最大值，最大值是 。 【教师追问】 增减性为什么以对称轴为界？结合图象想一想。 【学生活动】 观察课件上的抛物线图象，结合对称性理解增减性规律： ①对称轴左侧（）：图象从左往右上升 → 随 增大而增大 ②对称轴右侧（）：图象从左往右下降 → 随 增大而减小 【教师小结】 对于 ： 条件 开口方向 对称轴左侧 对称轴右侧 最值 向上 随 增大而减小 随 增大而增大 时， 向下 随 增大而增大 随 增大而减小 时， 【设计意图】 将配方结果与图象性质系统对接，形成“配方→顶点式→读性质”的完整链条。增减性的分析借助图象直观辅助，降低抽象难度。 环节四：小组合作——巩固提升（8分钟） 【教师活动】 以 人小组为单位，完成以下任务： 用配方法将 化为顶点式，并回答： 1. 顶点坐标和对称轴分别是什么？ 1. 开口方向是什么？ 1. 函数的增减性如何？ 1. 有最大值还是最小值？是多少？ 【学生活动】 小组合作完成，组内交流讨论，派代表展示： 顶点坐标为 ，对称轴为直线 因为，所以 开口向上 当 时， 随 增大而减小；当 时， 随 增大而增大 当 时， 取最小值 【设计意图】 小组合作培养交流表达和协作能力。综合性的任务覆盖了配方、读数、分析性质的完整流程，检验学生是否形成系统化的解题能力。 环节五：当堂检测（7分钟） A层·基础题 1. 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1） （2） 答案：（1）y=3x-6x＋7=3(x-1)+4 对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4). （2）y=2x-12x＋8=2(x-3)-10 对称轴是x=3，顶点坐标为(3，-10). 2. 求下列函数的最大值或最小值： （1） （2） 答案：（1）=3(x +)² － y最小值= － （2）=－ 2(x － 2)² y最大值= 0 B层·提升题 3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着 的增大， 的变化情况： （1） （2） 答案：（1）=-3(x-2)+9 开口向下，对称轴为直线x=2，顶点为(2, 9). （2）= 4(x-3)-10 开口向上，对称轴为直线x=3，顶点为(3, -10). C层·拓展题 4.已知二次函数 的最小值为 ，求 的值。 答案： 【设计意图】 分层检测覆盖不同水平的学生。A层检验基本配方和读数能力；B层增加描点画图和分析增减性的综合要求；C层逆向运用最值公式求参数，训练灵活思维。 环节六：课堂小结（5分钟） 【教师活动】 引导学生回顾本节课的核心收获： 1. 一个方法：配方法将 化为 1. 三步操作：提（提取二次项系数）→ 配（括号内配方）→ 化（整理为顶点式） 1. 一组对应关系：顶点式 ↔ 顶点坐标、对称轴 ↔ 开口方向 ↔ 增减性 ↔ 最值 1. 一个思想：化归思想——把“不会的问题”化为“已经会的问题” 【学生活动】 学生用自己的话总结，同桌互相补充。 学科网（北京）股份有限公司 $