广西壮族自治区来宾市来宾高级中学2026-2027学年高二上学期9月自主检测数学试题

2028届高二（上）数学自主检测 一、单项进择愿：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小圆给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={xx2-3x+2≤0，B=2x-1>0),则AnB= 割 .2 c.[1,2] D.[2,+oo] 2设z=11 则z在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、经过点(4，-2)，且倾斜角为150°的直线的点斜式方程为 4。y-2=3k*4 (96- cy-(9e-4到 D.y-2= k*切 4.从1,2,3,4,5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是 1 A.10 B. c 5.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，M为AC与BD的交点，若AB=a,AD=b,A=c,则 D 下列向量中与BM相等的向量是 A.-a+五-c _1a-lB-c B.-a- 22 22 c.--d D 1a+6-c 2+ 2 6.已知函数f(x)=山(x-2),则下列结论错误的是 A.f(3)=0 B.f(x)的零点为3 C.f(x)在(0，+∞上为增函数 D.f(x)的定义域为(2，+o) 7.已知一个圆锥的底面半径r=1,其侧面积与底面积之比为√：1，则该圆锥的体积为 A B.6 c. D.2 3 8.如图，在长方体，ABCD-AB,C,D,中，AD=A4=1,AB=√5，则异面直线CD与AC所成的角的大 小为 9 A.30° B.45° C.60° 90 D 试卷第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 A.若直线斜率为3，则它的倾斜角为30 B.若A(1-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90° C.若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4) D.若直线的斜率为2，则这条直线必过(，1与(5,4)两点 4 10、关于直线1：x-y+2=0,下列说法正确的有 A.直线1的倾斜角为乃 B.直线1在x轴上的截距为2 C.直线1经过第一、二、三象限 D.直线I与直线x+y-1=0平行 D 11.如图，在正方体ABCD-ABCD中，下列结论正确的是 A.CDII平面A,BD B.CD⊥平面AB,D C.CD与BD所成的角为60 D.平面ACCA⊥平面ABD B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知过点P(3,2m)和2(m,2)的直线与过点M(-2,1)和N(-3,4)的直线平行，则m的值是 13.已知向量d=化-，i=(0,2列=(2,2列若(a+6}1正，则2= 14.函数∫(x)=x2-2x+3在区间[-1,2]上的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤 15.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (I)求直线AB和AC的斜率： (②)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 试卷第2页（共4页） 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=BC,AD=2BC,AB⊥BC,AB⊥AD,PA⊥AB,PA⊥CD, E是PA的中点 (I)求证：BE∥平面PCD: (2)求平面PCD与平面BCE的夹角的余弦值. 17.国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领 域.某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主 的满意度评分值（百分制）按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，，[90,100]分成6组，制成如图所示的 频率分布直方图. (1)求图中a的值： (2)估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）： (3)已知这100名业主中满意度评分值在[40,50)内的男性人数与女性人数的比为3：2，若在满意度评分 值为[40,50)的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 频率组距 0.03 a 0.015 0.010 0.005 405060708090100满意度 试卷第3页（共4页） 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=元，B=,b=√6. 4 3 (1)求边长a的值： （(2)求△ABC的面积S,Ac· 19.在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,AC=4,BC=2,CC=2N5,D、E、F分别为AB、BC、 CC的中点，G是AC上任意一点. (1)求证：AC/I平面DEF. B (2)求三棱锥G-DEF的体积. B 试卷第4页（共4页） 参考答案 愿号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 d B A C D ABC AC BCD 1.c【详解】由题可得4={付2-3x+2≤0={x-(x-2)≤0={x1≤x≤2，B=(付x>2, 所以A∩B={x1≤x≤2}=[1,2]. 2.A【详解】由题意得2=1H_i-1+-山-141，则z对应于复平面的点为，)，在第一象限 i i2 3.B【详解】因为直线的倾斜角为150°，所以斜率k=tm150°=-5，又直线经过点(4，-2)，代入点斜式方程得 3 直线方程为y(2=-5k-4)故选：B 4.A【详解】从1,2,3,4,5中抽取两个数基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10 种，所取的两个数均为偶数的有(24，共1种，所以所取两数均为偶数的概率为P=0,故选：A 5A【详懈】由愿意得，8W=风丽+=-+号历=+丽+网=-+头-习=a+5-。 6.C【详解】f(3)=n(3-2)=nl=0,可知函数f(x)的零点为3，可知A,B正确：f(x)=血(x-2)中，由x-2>0, 解得：x>2,故函数的定义域为(2，+∞)，且函数在(2，+∞)为增函数，故C错误，D正确.故选：C 7.D【详解】圆锥底面圆面积S=m2=元×12=元，侧面积S2=ul(其中r为底面圆半径，1为母线长)，已知 冬=5→S,=5S=5x,即l=5x→l=5.圆锥高h=P-产=3可=V反，所以圆锥的体积 S,1 h- 3 π. 8.A【详解】CD/1CD,∴.∠ACD是异面直线CD与AC所成的角或其补角，在直角△AC,D,中， 40=10-CA=B=,m4G0-号-5，所以4SA=30,所以异面直线CD与4G所成的角 是30° 9.ABC【详解】对于A,设直线的倾斜角为a(0°≤a<180),则由题意得ana= 3 ,所以a=30°，故A正确： 对于B,因为A(L,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为90°，故B正确： 对于C,因为直线过定点(1,2)，且斜率为a45°=1，所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1， 放直线必过（民，4），故C正确：对于D,不坊取y=子x,满足直线的斜率为子，但显然该直线y=子x不过，)与 4 (5,4)两点，故D错误.故选：ABC 10.AC【详解】直线l:x-y+2=0可化为y=x+2. 答案第1页（共4页） 对于A,直线1的斜率为1，所以倾斜角为？，故A正确：对于B,当y=0时，x=-2, 所以在x轴上的截距为-2，故B错误：对于C,作出直线1的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确： 对于D,直线x+y-1=0的斜率为-1，与直线1不平行，故D错误. 11.BCD【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为1， D(0,0.0),A1,0,0),B(1,1),A(1,0,1).C(0,1,1),D,(0,0,1,B(1,1,0),C(0,1,0) A:设平面ABD的法向量为历=（x,y,2),DB=(1,1,0),D4=(1,0,1),CD=(0,-1,0), 所以有 而：D丽=x+y=0可以取示=(0-1k-).因为iG0=1+0 m.DA=x+2=0 所以m,CD,不互相垂直，因此C,D,1平面ABD不成立，故本选项结论不正确： B:设平面ABD的法向量为%=(x,,Z),DB=(（1,1,1),DA=(1,0,0),CD=(0,-1,1),所以有 网·D8=+y+名=0，可以取m=(0,1-,因为m=-C可，所以m/1CD,所以CD1平面BD,故本选 m·DA=x=0 项结论正确：c:因为c@=Q-,D丽=L,0,所以o@,D丽DD2x2分因此c0与D 所成的角为60°，所以本选项结论正确：D:设平面ACCA的法向量为m=(5,,2),C=(-l,1,0),4=(0,0,1), 所以有 西AC=-为+为=0，可以取m=(,10,设平面AB,D的法向量为m=(,为，， m2·A4=z2=0 AB,=(0,1.1),AD=（-1,0,1),所以有 画瓜=为+名=0，可以取网=化-.因为可网=1-1+0=0， m·AD=-为+3=0 所以m,⊥m,因此平面ACC,A⊥平面AB,D,所以本选项结论正确，故选：BCD 12.7【详解】由题意得，直线Mw的斜率为4=-3，直线P吧的斜率为2m-2.则-2=-3，得m=7. -3+2 3-m 3-m 13.2【详解】由题意，日+石=，因为a+6}12,所以1x2-Ax1=0→1=2放答案为：2 14.6【详解】∫(x)=x2-2x+3=(x-1)'+2,该二次函数的对称轴为x=1,且开口向上，所以该二次函数在区间 [-1,)上单调递减，在区间[山，2]上单调递增，因为f(-)=6,f(2)=3,所以f(-)>∫(2)，因此该二次函数在区 间[-1,2]上的最大值为f(-1)=6.故答案为：6 15.(由斜率公式可得直线B的斜率化。--宁时分 直线4C的斜率ke-32_,6分 3-03 故直线B的斜率为，直线4C的斜率为…7分 答案第2页（共4页） (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，9分 直线AD的斜率由kB增大到k4c,I1分 所以直线AD的斜率的变化范围是 「157 73 …13分 16.(I)证明：取PD的中点F,连接CF,EF, 因为E是PA的中点，所以BFAD且EF=AD,因为BCIAD且AD=2BC, 所以EF//BC且EF=BC, 所以四边形BCFE是平行四边形，所以CF∥BE, 又因为BEC平面PCD,CFS平面PCD,所以BE∥平面PCD (2)因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB,CD的延长线交于一点，ABS平面ABCD,CDS平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD, 又因为AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两垂直， 所以以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设=i,则40ao叭.atao,c1o,D020,Poa.0a》 所以丽=（-10引c=0,10,历=（←l10,而=0,2，-0. 设平面PCD的一个法向量元=(x,y,z), 则元.CD=元.PD=0,即-x+y=2y-z=0,取x=1,得元=(1,1,2)， 设平面BCE的一个法向量元=(a,b,c),则m.BC=m.BE=0, 即b=-a+2c=0,取c=2,得m=(0,2, 设平面PCD与平面BCE的夹角为B,则cosB= 历_30 同6 17.(1)由10×(0.005+0.010+2×0.015+a+0.03)=1a=0.025 (2)估计众数为65， 估计平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.30+75×0.25+85×0.15+95×0.10=71. (3)由题意，满意度评分值为[40,50)的人有100×0.05=5人， 其中男件5×32=3人记为4，%，%：女性有2人，记为网，m, 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：（，n2),（,乃)，(，m),(h,2), (h,),(2,%),(h,m2),(（,%),(,m),(m,mz),共10个. 记“恰有1名女性”为事件A,则事件A包含：(，m),(,m2),(n2,m),(n2,m2),(n,m),（n,m2)6个样本 点 所以P(4)=05 63 答案第3页（共4页） 18.(1)由正弦定理得， b sinA sinB' 则a=bsin6sin交 6x 4三 2=2； sinB sin 3 3 2 (2)由（1)得a=2, 由A+B+C=元可得C=元-A-B=元-买--5红 4312 则mc如音任引号9+号6 放5ar-2snC=分x2x6x645.3+5 1 4 2 19.(I)证明：：D、E分别为AB、BC的中点，DE/IAC. ,在直三棱柱ABC-AB,C中， ..AC//AC, ∴AC/1DE. :AC,￠平面ABC,DEc平面ABC, ∴.ACII平面DEF. (2):AC⊥BC,CC,⊥AC,BC∩CC=C,BC、CC,C平面BCC,AC￠平面BCC, AC⊥平面BCC. .DE//AC, .DE⊥平面BCC,.DE⊥平面EFC. AC=4,CC=23, :.DE=2,CF=3,CE=1. 5aCFxC 2 -ERC=写SXDE=x5x 3 32 2=3 3 AC1I平面DEF, ∴%-DEF=Ve-DEF='。-EFC. 。-DBF= 3 答案第4页（共4项）