精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

鹿寨中学2026-2027学年高二上学期数学月考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 4. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设与轴交于，然后分类讨论：，则直线的斜率可求，结合所过的点直线方程可知. 【详解】由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为， 当时，过原点，斜率为，故方程为； 当时，斜率为，故方程为，即； 故选：C. 5. 设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出 【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心， 所以， 因为D是PG上的一点，且， 所以， 因为， 所以 , 因为， 所以， 所以为， 故选：B 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为，所以，解得，即：. ，故欧拉线方程为：，即：， 故选：A. 7. 已知集合，，若，则的值不可能为（     ） A. 或 B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义以及集合中元素所具有的几何意义求解． 【详解】当时，，满足，则； 当时，集合表示一条直线，集合也表示一条直线（去掉一点）， 若直线过点，则，解得或， 若两直线平行，则（），解得， 所以的可能值为. 8. 如图，已知正八面体中，其所有棱长均为，动点满足，则所有这样的点构成的平面截该正八面体所得截面的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知方程求出点的轨迹，确定点构成的平面截该正八面体所得截面，求其面积即可. 【详解】 连接交于点，连接，由对称性可知两两垂直， 故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因是正八面体，则四边形是正方形，， 则，，，， 设，因为， 则， 化简得，解得， 故所有的点构成的平面截该正八面体所得截面为正方形，其面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，根据向量模的定义可知，故A正确； 对于B，，等号左边运算结果是数字，等号右边在向量的运算中无定义，所以不成立，故B错误； 对于C，等号左边， 等号右边，二者只有在时相等，其余情况不相等，故C错误； 对于D，根据数量积运算律，，故D正确. 10. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在直三棱柱中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面 C. 当点为线段的中点时，直线与平面所成的角最大 D. 当点为线段的中点时，三棱锥的外接球半径最小 【答案】AD 【解析】 【分析】取的中点，由面面平行的性质和判定定理可判断A；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由不平行可判断B；由线面角的向量公式结合二次函数的性质可判断C；设三棱锥的外接球半径为，球心，由可得，再由二次函数的性质可判断D. 【详解】对于A，取的中点，连接，当为的中点时， ，平面，平面，所以平面， 又因为，同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为三棱柱是直三棱柱，，所以建立如图所示的空间直角坐标系，， 设因为，所以 ，设为平面的法向量， ， 所以，则，令， 所以，若平面，则， 即，无解，故B错误. 对于C，平面的法向量为，， 设直线与平面所成的角为， 所以， 当时，最大，即最大，故C错误； 对于D，平面的外接圆圆心为斜边的中点，半径， 三棱锥外接球的球心必在过且垂直于平面的直线上，设， 设外接球的半径为，则，且， 所以， ， 由，可得：，解得：， 将代入可得：， 当时，取得最小值，此时点为线段的中点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及向量数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为单位向量，得， 则①; 又由，两边取平方，得，即， 将其代入①，可得，即, 而，故. 13. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 14. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 四、解答题 15. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， （1）用、、表示，并求线段的长； （2）求直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算用、、表示，再根据向量数量积的运算律求其模即可； （2）先用、、表示，求出和，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，，， 由图知，， 则 ， 故线段的长为. 【小问2详解】 由（1），，又， 则 ， 且， 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为. 16. 已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点. （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为4 【解析】 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程； （2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程， 【小问1详解】 设的方程为， 由直线过得， 由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，时取等号，此时的方程为，即； 【小问2详解】 因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点， 所以直线的斜率存在， 可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为，的最小值为4. 17. 平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， （1）求边BC所在直线方程; （2）求平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1）； （2）36 【解析】 【分析】（1）由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求边BC所在直线的方程. （2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，得，， 为对角线的交点，即AC的中点， 由中点坐标公式得， ，， 由点斜式直线方程可得， 即； 【小问2详解】 由，得， ， 由点到直线的距离公式可得， 18. 如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】（1） 取的中点，连接，，，因为为中点，为中点， 所以，在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则，又， ，，平面，所以平面， 又因为，平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以， 又因为，，平面，所以平面，又因为平面， 所以，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，，所以是等边三角形，所以，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面，得，，又， 如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，易知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则，令，解得， 此时，所以线段. 19. 如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 在平面五边形中，∥，， 所以四边形是直角梯形，且， 在直角中，，且，则， 可得，从而是等边三角形，平分. 因为为的中点，所以，所以， 又因为且平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点F，连接，过点S作垂直于点，连接，如图， 因为平面平面，平面∩平面， 所以平面，又平面，则 因为，F是的中点，所以， 又且平面，所以平面， 由平面，则； 又因为，所以，则点O是的中点， 又，所以，可得. 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴， 如图所示建立空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的一个法向量为， 由，令，则. 由于平面，设 可得， 所以； 由于点平面， 所以， 解得，即， 由（1）可知，平面， 所以点H到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹿寨中学2026-2027学年高二上学期数学月考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若，则的值不可能为（     ） A. 或 B. 1 C. D. 0 8. 如图，已知正八面体中，其所有棱长均为，动点满足，则所有这样的点构成的平面截该正八面体所得截面的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形 C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面 C. 当点为线段的中点时，直线与平面所成的角最大 D. 当点为线段的中点时，三棱锥的外接球半径最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 13. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 14. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 四、解答题 15. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， （1）用、、表示，并求线段的长； （2）求直线和所成角的余弦值. 16. 已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点. （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 17. 平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， （1）求边BC所在直线方程; （2）求平行四边形ABCD的面积. 18. 如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 19. 如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $