3.2平面直角坐标系 教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3.2 平面直角坐标系（教学设计） 课题 3.2 平面直角坐标系 单元 第三章 位置与坐标（3.2 平面直角坐标系 共2课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、经历由“方格纸标数对”到建立平面直角坐标系的过程，理解坐标系的有关概念，能正确画出平面直角坐标系； 2、在给定的坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标，会根据坐标描出相应的点，理解平面内的点与有序实数对一一对应； 3、能根据坐标的符号判断点所在的象限，掌握坐标轴上的点及与坐标轴平行的线段上点的坐标特点； 4、能根据图形特点建立适当的平面直角坐标系表示简单图形顶点的坐标，会用坐标解决“寻宝”等实际问题； 5、【核心素养】在“形”与“数”的相互转化中，发展几何直观、符号意识与推理能力，体会数形结合思想，积累建立数学模型的活动经验。 教材分析 1、内容地位：本节是第三章的核心内容，是上一节“确定位置”（两个数据）的数学化、抽象化，也是后续学习函数图象、一次函数、二次函数以及解析几何的直接基础。 2、编写思路：教材先以“北京部分景点位置”（图3-4、图3-5、图3-6）为情境，让学生在方格纸上用数对表示景点位置，再指出“在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系”；接着给出横坐标、纵坐标及点的坐标概念（图3-7），介绍象限的划分（图3-8）；然后通过例1（图3-9多边形）、“操作·思考”描点、例2（图3-11“房子”）归纳点与有序实数对一一对应、坐标轴上点和与坐标轴平行线段上点的坐标特点；最后通过例3（长方形）、例4（等边三角形）和“寻宝”游戏，学习建立适当平面直角坐标系表示图形顶点的坐标。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生认识平面直角坐标系，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标，能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，发展空间观念、几何直观与符号意识。 4、前后联系：本节承接3.1“两个数据确定位置”，为3.3“轴对称与坐标变化”提供研究工具，也为第四章函数图象的学习奠定基础。 学情分析 1、已有基础：学生在小学已会用“数对”在方格纸上表示位置，上一节已知道“平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据”，会画数轴、知道数轴上的点与实数一一对应。 2、主要障碍： （1）画坐标系时漏画正方向箭头、漏标原点或单位长度，把x轴、y轴的方向画反； （2）写点的坐标时横、纵坐标顺序写反，负号点漏写负号； （3）判断象限时，把“坐标轴上的点”误说成“在某一象限”； （4）建立坐标系时不会选择原点，导致顶点坐标出现大量负数或分数，计算困难。 3、教学策略：采用“景点数对—建系定义—读图写坐标—描点连线—建系表示图形”的活动链，让学生在“画、写、描、连、议”中熟练坐标语言；通过例3、例4对比不同建系方法，突破“适当建系”这一难点。 教学重点 理解平面直角坐标系及有关概念；能由点的位置写出坐标、由坐标描出点；掌握各象限内点的坐标符号特点。 教学难点 理解点与有序实数对一一对应；能根据图形特点建立适当的平面直角坐标系并写出顶点坐标。 教学准备 多媒体课件（PPT）；方格纸（每人一张）、直尺、三角板；学习任务单；北京景点图、学校示意图贴图。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：小亮如何介绍北京景点的位置（教材第58页）】 教师：图3-4呈现了北京市部分景点的大致位置，小亮和来访的朋友位于卢沟桥。小亮如何向朋友介绍图中各个景点的位置呢？ 学生：可以画上方格、标上数字，用两个数来表示景点的位置。 教师：小亮在景点图上画上方格、标上数字，并用（0，0）表示卢沟桥的位置，用（11，4）表示天安门广场的位置。请同学们在图3-5上数一数： （1）北京奥林匹克公园的位置应如何表示？（5，12）表示哪个景点？（6，5）呢？ 学生（数格后回答）：北京奥林匹克公园表示为（11，12）；（5，12）表示圆明园；（6，5）表示玉渊潭公园。 教师：如果小亮和朋友改位于天安门广场，并用（0，0）表示天安门广场的位置（图3-6），北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置又如何表示？ 学生：北京奥林匹克公园表示为（0，8），卢沟桥表示为（－8，－4）。 教师：同样的景点，原点选得不同，同一个点的数对就不同。要让每个点都能用一对数唯一表示，就需要统一的“两把尺子”——今天我们就来学习表示平面内点位置的统一工具：平面直角坐标系。（板书课题：3.2 平面直角坐标系） 1、在景点方格图上数格，用数对表示各景点位置； 2、体会“原点选得不同，数对就不同”； 3、产生建立统一坐标系的需要。 由学生熟悉的北京景点情境引入，承接3.1“两个数据确定位置”；通过两次换原点数对不同的矛盾，自然引出建立统一坐标系的必要性。 探究 新知 探究 新知 探究 新知 探究 新知 【活动一：认识平面直角坐标系（教材第59页）】 教师：请同学们看大屏幕。在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为原点。 教师：两条坐标轴把坐标平面分成了四部分。右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。 【易错警示】坐标轴上的点不在任何一个象限内，以后判断“点在第几象限”时，先问自己：这个点在坐标轴上吗？ 教师：如图3-7，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）称为点P的坐标。 教师：请同学们在自己的方格纸上画出直角坐标系，并描出A（4，3）、B（－2，3）、C（－4，－1）、D（2，－2）四个点，同桌互相检查：横坐标在前还是纵坐标在前？负号写了没有？ 学生：先在x轴上找到4，在y轴上找到3，过这两点分别作x轴、y轴的垂线，交点就是A（4，3）；写坐标时横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开。 教师：这四个点分别在哪个象限？ 学生：A（4，3）在第一象限，B（－2，3）在第二象限，C（－4，－1）在第三象限，D（2，－2）在第四象限。 1、在自己的方格纸上规范画出直角坐标系（轴、原点、正方向箭头、单位长度齐全）； 2、理解横坐标、纵坐标、点的坐标的含义； 3、能根据坐标描点，能由点判断所在象限。 概念教学结合图示与动手画图，让学生在“画坐标系—读标注—描点”中建立坐标语言；易错警示专门针对坐标轴上的点不属于任何象限。 【活动二：读图写坐标与描点连线（教材第59-60页例1及“操作·思考”）】 教师：先看例1。如图3-9，写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标。请同学们先独立完成，再同桌核对。 学生（口答）：A（－2，0），B（0，－3），C（3，－3），D（4，0），E（3，3），F（0，3）。 教师追问：A、D在什么地方？它们的坐标有什么共同点？ 学生：A（－2，0）、D（4，0）都在x轴上，纵坐标都是0；B（0，－3）、F（0，3）都在y轴上，横坐标都是0。 教师：下面我们再动手描一组点（教材第60页“操作·思考”）：在平面直角坐标系中描出A（－5，0）、B（1，4）、C（3，3）、D（1，0）、E（3，－3）、F（1，－4），再依次连接A，B，C，D，E，F，A。 学生动手描点、连线，得到一个对称的图案。 教师：思考第（3）问：在平面直角坐标系中，点与有序实数对之间有何关系？ 学生：一个点对应一对数，一对数也对应一个点。 教师归纳：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。这就是点与有序实数对的一一对应关系。 1、由图读例1六个顶点的坐标； 2、动手描点A（－5，0）、B（1，4）、C（3，3）、D（1，0）、E（3，－3）、F（1，－4）并依次连线； 3、归纳点与有序实数对一一对应的关系。 先读后描、由形到数再由数到形，双向训练；一一对应结论用浅黄框突出，是全节的核心数学思想。 【活动三：例2“房子”与坐标规律（教材第61-62页）】 教师：请同学们在坐标系中描出并连接两组点：①D（－3，5），E（－7，3），C（1，3），D（－3，5）；②F（－6，3），G（－6，0），A（0，0），B（0，3）。观察所得图形，它像什么？ 学生：像一座“房子”。 教师引导学生回答三个问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ 学生：线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都是0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上，它们的横坐标都是0。 （2）线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段EC上其他点呢？ 学生：线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同，都是3；线段EC上其他点的纵坐标也都相同，都是3。 （3）点F和点G的横坐标有什么关系？线段FG与y轴呢？ 学生：点F和点G的横坐标相同，都是－6；线段FG与y轴平行。 教师：再看“尝试·思考”中的“笑脸”（图3-12）。不描点，分别判断A（1，2）、B（－1，－3）、C（2，－1）、D（－3，4）所在的象限。 学生：A（1，2）在第一象限，B（－1，－3）在第三象限，C（2，－1）在第四象限，D（－3，4）在第二象限。 教师归纳规律：第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；纵坐标相同的点连线平行于x轴，横坐标相同的点连线平行于y轴。 1、动手描点连成“房子”； 2、说出坐标轴上点的坐标特点、EC与FG两条线段的坐标规律； 3、不描点判断四个点所在象限。 用“房子”图案承载三条坐标规律，生动易记；象限符号规律用浅黄框归纳，便于学生形成条件反射。 【活动四：建立适当的平面直角坐标系（教材第63-64页）】 教师：例3：如图3-13，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，怎样建立坐标系写出各顶点坐标？我们以点C为原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴建系。 学生：此时C（0，0）；由CD＝6，CB＝4，得D（6，0），B（0，4），A（6，4）。 教师：“思考·交流”：还可以怎样建系？ 学生：还可以以长方形中心为原点，或以A为原点……坐标会不同，但图形不变。 教师：例4：边长为4的等边三角形ABC，怎样建系？以边BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建系。由等边三角形性质，△ABO是直角三角形，AO＝√（AB²－BO²）＝√（4²－2²）＝2√3。 学生：所以A（0，2√3），B（－2，0），C（2，0）。 教师：“寻宝”游戏（图3-17）：寻宝人已找到A（3，2）和B（3，－2）两个标志点，藏宝地点坐标为（4，4），如何确定坐标系找到宝藏？ 学生：A、B横坐标相同，线段AB是竖直的，取AB中点画水平线为x轴，再按单位长度定出y轴，就能找到（4，4）。 1、完成例3长方形、例4等边三角形的建系与写坐标； 2、比较不同建系方法，体会“适当”的含义； 3、运用两个已知点反推坐标系位置，找到藏宝点（4，4）。 由给定图形主动建系，培养模型观念；等边三角形用到勾股定理计算高，沟通代数与几何；寻宝活动激发学生应用坐标解决实际问题的兴趣。 例题 精讲 【例题规范解答整理】 【例1（教材第59页）】解：如图3-9，各个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（0，－3），C（3，－3），D（4，0），E（3，3），F（0，3）。 【例3（教材第63页）】解：如图3-14，以点C为原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。此时点C的坐标是（0，0）。由CD＝6，CB＝4，可得D，B，A的坐标分别是D（6，0），B（0，4），A（6，4）。 【例4（教材第63-64页）】解：如图3-16，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。由等边三角形的性质可知，△ABO是直角三角形，所以AO＝√（AB²－BO²）＝√（4²－2²）＝2√3。所以顶点A，B，C的坐标分别是A（0，2√3），B（－2，0），C（2，0）。 教师强调：写坐标时先写横坐标、后写纵坐标，坐标为0的不能省略；建立坐标系要适当——尽量让更多顶点落在坐标轴上，坐标尽量为非负数和整数。 1、对照板书复述例1、例3、例4的规范解答； 2、总结“读图写坐标”和“建系写坐标”两类问题的书写格式。 把探究中的直观发现整理为规范解答，统一书写格式，强调建系“适当”的标准，落实运算能力与规范表达。 巩固 练习 【随堂练习（教材第60页）】 1、右面是某学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，以图中小方格的边长为单位长度，建立平面直角坐标系。 （1）请写出教学楼、实验楼、图书馆的坐标； （2）学校准备在（－3，－3）处建一栋学生公寓，请标出学生公寓的位置。 【答案】（1）教学楼（2，4），实验楼（3，－3），图书馆（－3，3）；（2）在x轴上方－3、y轴左方－3的交点处标出学生公寓。 【随堂练习（教材第62页）】 2、在坐标系中描出并连接：①（2，5），（0，3），（4，3），（2，5）；②（1，3），（－2，0），（6，0），（3，3）；③（1，0），（1，－6），（3，－6），（3，0）。 【答案】（1）所得图形像一座“房子”；（2）（0，3）在y轴上，（－2，0）、（6，0）、（1，0）、（3，0）在x轴上；（3）（2，5）、（4，3）、（1，3）、（3，3）在第一象限，（1，－6）、（3，－6）在第四象限；（4）（1，－6）与（3，－6）纵坐标相同，连线平行于x轴；（1，0）与（1，－6）横坐标相同，连线平行于y轴。 【随堂练习（教材第64页）】 3、建立适当的平面直角坐标系，写出四角星的8个“顶点”的坐标。 【答案】以四角星的中心为原点：A（6，0），B（2，2），C（0，6），D（－2，2），E（－6，0），F（－2，－2），G（0，－6），H（2，－2）。 【补充练习】 4、若点P（a，b）在第二象限，则a、b的符号是什么？若ab＞0，点P在哪些象限？ 【答案】P在第二象限时a＜0，b＞0；ab＞0时，a、b同号，点P在第一或第三象限。 1、完成学校示意图坐标题与描点连线题； 2、独立写出四角星8个顶点的坐标； 3、根据坐标符号反推象限。 三道随堂练习覆盖“读图写坐标、描点找规律、建系写坐标”三类核心技能，补充练习把象限符号规律从记忆推向运用。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、核心关系：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应； 二、坐标语言：横坐标在前、纵坐标在后，（a，b）表示点P的坐标； 三、象限符号：第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－）；坐标轴上的点不属于任何象限； 四、坐标规律：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；纵坐标相同连线平行于x轴，横坐标相同连线平行于y轴； 五、建系原则：原点与轴的选择要“适当”，让顶点坐标尽量简单。 1、对照板书口述“一一对应”的含义； 2、说出四个象限的符号规律； 3、举一例说明怎样建系才“适当”。 以“一个关系—一组符号—两条规律—一条原则”梳理全节，帮助学生把零散技能结构化。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第65页 习题3.2 知识技能 第1题（写出五边形各顶点坐标，并标出F（2，1）、G（0，2）、H（－2，1）、I（0，－2））。 2、基础题：教材第65页 习题3.2 知识技能 第2题（建立适当坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标）。 3、基础题：教材第66页 习题3.2 知识技能 第5题（写出八边形各顶点坐标，找出具有特殊位置关系的点）、第6题（边长为4的正方形建立坐标系写顶点坐标）。 4、提高题：教材第66页 习题3.2 数学理解 第7题——只知道大学城（2，6）、景山（5，－4）两个坐标，在旅游简图上画出坐标系并写出其他景点坐标。 5、实践题：教材第67页 习题3.2 问题解决 ※第8题——建立适当的平面直角坐标系，描述学校各建筑物所在的位置。 6、拓展题：教材第67页 习题3.2 联系拓广 ※第13题——八角星建立两个不同坐标系，比较同一顶点在两个坐标系中的坐标。 1、记录作业要求； 2、实践题实地测量校园并标注坐标； 3、拓展题体会同一图形在不同坐标系下坐标的变化。 作业按“基础—提高—实践—拓展”分层，第7题和※第13题渗透坐标系相对性思想，为3.3轴对称与坐标变化作铺垫。 板书 设计 3.2 平面直角坐标系 一、定义：两条互相垂直且有公共原点的数轴→平面直角坐标系 x轴（横轴，向右为正）、y轴（纵轴，向上为正）、原点O 二、坐标：P（a，b），a为横坐标，b为纵坐标；点与有序实数对一一对应 三、象限：一（＋，＋）、二（－，＋）、三（－，－）、四（＋，－） 坐标轴上的点不在任何象限内 四、规律：x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0 纵坐标相同∥x轴；横坐标相同∥y轴 五、建系：例3 C（0，0），D（6，0），B（0，4），A（6，4） 例4 A（0，2√3），B（－2，0），C（2，0） 对照板书梳理知识结构。 板书按“定义—坐标—象限—规律—建系”五层展开，核心结论用红色突出，便于学生笔记与回顾。 教学 反思 1、成功之处：由“换原点数对就变”的矛盾自然引出坐标系，例1至例4由浅入深，学生描点、连线的参与度高；“房子”图案和寻宝游戏极大激发了兴趣，一一对应和象限符号规律掌握较好。 2、不足之处：部分学生画坐标系时漏画正方向箭头或单位长度；写坐标时仍有横纵坐标颠倒、负号漏写的情况；等边三角形中√（4²－2²）＝2√3的计算，少数学生勾股定理不熟练。 3、改进设想：下次增加“找错题”环节，把学生常见错误（漏箭头、颠倒顺序、坐标轴上的点误判象限）展示出来集体订正；例4前先用3分钟复习勾股定理；布置学生课后在方格纸上自制一张“坐标速查卡”（象限符号＋平行线段规律）。 课后对照教学目标，在任务单上完成自我反思。 反思聚焦“画图规范、坐标书写、根式计算”三个易错点，并提出可操作的改进措施，为后续教学调整提供依据。 学科网（北京）股份有限公司 $