第09讲 轴对称与坐标变化（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第09讲 轴对称与坐标变化 （新教材北师大版） 知识点一、用坐标表示平移 2 知识点二、坐标与图形性质 2 知识点三、关于x轴、y轴对称的点的坐标 2 知识点四、坐标与图形变化---对称 2 知识点五、关于原点对称的点的坐标 3 【题型1 坐标系中的对称】 3 【题型2 坐标与图形变化---轴对称】 7 【题型3 坐标系中的动点问题（不含函数）】 9 【题型4 利用对称坐标求参数的值】 13 【题型5 网格中的轴对称作图与坐标求解】 15 【题型6 特殊直线的对称点坐标问题】 18 【题型7 轴对称中的最短路径问题（坐标几何）】 22 【题型8 轴对称坐标综合探究问题】 25 【探究式学习】 31 【课后检测】 34 【复盘笔记】 47 知识点一、用坐标表示平移 1.点的平移： 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b). 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变． 2.图形的平移： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决. （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 知识点二、坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点三、关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点四、坐标与图形变化---对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点五、关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【题型1 坐标系中的对称】 题型核心：熟记平面直角坐标系中点的对称规律，熟练求解点关于x轴、y轴、原点、直线的对称点坐标；掌握坐标符号变化特征，解决单点对称、参数取值等基础问题。 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 【变式1-1】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 【题型2 坐标与图形变化---轴对称】 题型核心：根据图形顶点坐标，作出图形关于坐标轴的轴对称图形；通过坐标变化判断图形轴对称变换方式，求解对称后图形顶点坐标、图形形状与位置。 【例2】在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征及平方差公式的应用，本题先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出和的值，再运用平方差公式计算的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 【变式2-2】若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，轴对称的性质，根据点在第二象限的特征和到坐标轴的距离，确定的坐标，再求关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：点在第二象限， 的横坐标为负，纵坐标为正． 点到轴的距离为， ，又， ． 点到轴的距离为， ，又， ． 点的坐标为 ． 点是点关于轴的对称点， 点的横坐标为，纵坐标为． 点的坐标为． 故选：A． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 【题型3 坐标系中的动点问题（不含函数）】 题型核心：结合点在坐标轴、线段、网格内的运动，根据运动路程、速度求动点坐标；结合轴对称性质，求解动点对称点坐标、动点运动后的几何等量关系。 【例3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 【变式3-1】（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 【变式3-2】在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知：，，，，可求出蚂蚁爬行一周的路程为12个单位，然后求出2023个单位能爬168圈还剩7个单位，结合图形即可确定位置为． 【详解】解：由题意知：，，，， 蚂蚁爬行一周的路程为：， ， 即蚂蚁爬行2023个单位时，所处的位置是与y轴的交点， 其坐标为． 【变式3-3】如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为，点B在第三象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动8秒时，则点坐标为（即：沿着长方形移动一周）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A点、C点的坐标计算长方形的各条边长，结合点P移动的时间和速度计算点P移动的路程，进而判断点P移动后的位置，从而得到点P的坐标． 【详解】解：长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为， ， 点以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动8秒， 点移动的路程为：， ， 点恰好移动到点C处， 点的坐标为， 故选： A． 【题型4 利用对称坐标求参数的值】 题型核心：已知两点对称、图形轴对称，利用对称点的坐标特征建立方程，求解字母参数的值、点的坐标，是本节高频基础必考题型。 【例4】点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，①点与关于轴对称；②点 与关于轴对称；③与点关于轴对称的点在第二象限；④点关于轴对称，则的值为．其中描述正确的是(   ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，逐项分析判定，即可求解． 【详解】解： 关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同． ① 与：横坐标，故不关于轴对称，错误． ② 与：横坐标互为相反数，纵坐标相同，故关于轴对称，正确． ③ 点关于轴对称的点为，在第一象限，不在第二象限，错误． ④ 与关于轴对称，则横坐标相同，；纵坐标互为相反数，， ，正确． 正确的是②④． 故选：C． 【变式4-2】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，已知字母的值，求代数式的值，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据两点关于y轴对称，列出关于m，n的方程组求解，再代入求值． 【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的立方根为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，立方根，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算的值，最后求立方根． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴，即的立方根为1． 故选：C． 【题型5 网格中的轴对称作图与坐标求解】 题型核心：在正方形网格中，对三角形、四边形等几何图形作轴对称变换，书写变换后所有顶点坐标，判断图形变换前后的边长、面积、形状变化。 【例5】如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了坐标与图形变化-对称，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质． 根据轴对称的两点到对称轴的距离相等，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得出点和点是关于直线对称的对应点，它们到直线的距离相等是2个单位长度， 所以点的坐标是． 故选：A． 【变式5-1】如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形顶点坐标求出各边长及周长，利用相遇问题公式求出第2022次相遇时点P运动的总路程，通过总路程除以周长的余数确定点P在长方形上的具体位置，进而得出点的坐标． 【详解】解：，，，， 、， 长方形的周长为：， 设点P、Q第2022次相遇时运动时间为秒， 、是相向运动，每次相遇路程和为周长， ， 解得：， 此时点P的运动路程为， ， 点P运动了808圈后，又沿顺时针方向走了8个单位长度， 顺时针方向路径为，且、、， ， 点P到达点B后，还需沿方向走个单位长度， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 【变式5-2】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点D与点C关于x轴对称．则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点的坐标确定原点的位置，进而确定点的坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点D的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D的坐标是． 【题型6 特殊直线的对称点坐标问题】 题型核心：拓展坐标轴对称，掌握点关于直线x=a、y=b、一三象限角平分线、二四象限角平分线的对称坐标规律，突破常考易错拓展题型。 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，则，，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ，， 根据折叠可知：， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，坐标与图形变化—对称，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：D． 【变式6-2】如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】C 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 【题型7 轴对称中的最短路径问题（坐标几何）】 题型核心：结合坐标系轴对称性质，利用“将军饮马”模型，求解坐标轴上动点到定点距离和最小值、对应点坐标，是本节重难点几何题型。 【例7】如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，先做A关于x轴的对称点，再链接，由图象求交点坐标即可． 【详解】解：点A关于x轴的对称点为， 连接，交x轴于点P， 由图象得：点P的坐标为， 故选：B． 【变式7-1】如图，的边与轴正半轴重合，其中，点是上的定点，点是上的动点．点是的中点，要使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接、、、，交于点，此时，最小；结合题意，可证明为等边三角形，根据等边三角形的性可得，再根据锐角三角函数，计算即可获得答案． 【详解】解：如下图，作点关于的对称点，连接、、、，交于点， 此时，最小， ∵垂直平分， ∴，， ∴为等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∵点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数，理解并运用轴对称的性质解决最短路径问题是解题关键． 【变式7-2】平面直角坐标系中，点，，，若AC∥x轴，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定点C位于平行与x的直线上，再根据垂线段最短可知点C的位置，进而得出答案． 【详解】因为轴， 所以点C（x，2）． 点B到直线AC的所有连线中垂线段最短，即当轴时，线段BC最短， 则点C的坐标是（3，2）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，根据垂线段最短确定点C的位置是解题的关键． 【变式7-3】如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（    ） A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】要使|PA−PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意要使|PA−PB|最小，则PA＝PB即可， 设P（x，0）， ∴，解得：x=0， ∴P（0，0） 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键． 【题型8 轴对称坐标综合探究问题】 题型核心：综合多点对称、图形多次轴对称变换、坐标规律探究，判断图形位置、探索循环变换规律、求解复杂参数与几何关系，属于压轴类题型。 【例8】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)， 则点 (2) (3) 【分析】（1）确定三角形顶点的坐标关于轴的对称点即可求解； （2）利用割补法求解面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点即为所求． 【详解】（1）解：由题可知点的坐标为，则关于轴对称点; （2）解：的面积为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，则最小． 【变式8-1】某儿童乐园的部分游乐设施位置如图所示．（每个小方格边长代表200m）． (1)如果星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对（___________，___________）表示，数对表示的是___________． (2)过山车在迷宫以东，再往北处．请在图上标出过山车的位置． (3)观光火车向东直行，在处向南直行，到达处，共花了22分钟（其中游客上、下车等待时间约为6分钟）．观光火车的平均速度是___________米/分． 【答案】(1)6，4；海盗船 (2) (3) 【分析】本题考查了数对表示位置； （1）根据示意图，结合题意，即可求解； （2）迷宫的位置在，过山车在迷宫以东，再往北处．即过山车的位置在． （3）观光火车在向东直行，到处，走了6格，再向南直行，到达处，又走了两格，共用时分钟，根据速度等于路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对表示，数对表示的是海盗船． （2）解：迷宫的位置在，过山车在迷宫以东，再往北处．即过山车的位置在． （3）解：（米/分） 【变式8-2】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①； ② (2)①； ② (3)的值为或 (4)的值为或 【分析】（1）①根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． ②根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． （2）①由题意可得，，当点在点左侧时，即可求得． ②由题意可得，，当点在点右侧时，即可求得． （3）根据题意可得，代入数据到中，求解即可． （4）根据题意可得，，分别代入数据到，，中，求得，四边形的面积为，结合四边形的面积等于面积的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴， ∴． ②当时， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意可得， ①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，． （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时，即， 整理可得， 解得：，． （4）解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于面积的倍时，即， 整理可得， 解得：，． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，现有两动点，分别从，同时出发，在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止．在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止，设运动时间为秒． (1)点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)求线段与线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当的面积与面积相等时，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）结合长方形两边在坐标轴上及、长直接写出点、、的坐标即可； （2）根据速度和时间表示出、，由线段和差关系表示出、即可； （3）先求出、，分别用含的式子表示与的面积，根据面积相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴，； （3）解：∵长方形中，， ∴，， ∴，， 当的面积与面积相等时， ， 解得． 【探究式学习】 1.如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)________；________． (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒． 问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)6；8；24； (2)存在时，使得与的面积相等； (3)，证明如下： ∵x轴轴， ∴，， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴ ∴ ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴，， ∴即． 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意可知，； ∴，， 由时， ∴存在时,使得与的面积相等． （3）略 2.（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)点的横坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，轴，点到的距离为，代入三角形的面积公式计算即可； （2）由，可得，即可求解； （3）由已知可得，点不可能在线段的延长线上，按照点在线段上、点在线段的延长线上，进行分类讨论，分别计算点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴点到的距离为， ∴三角形的面积为． （2）． 理由如下： ∵轴 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴点不可能在线段的延长线上， ∴当在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， 当在线段的延长线上时，如图， ∵ ∴； 解得， ∴， 解得， ∴点的横坐标为或． 【课后检测】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）平面直角坐标系中，点，,，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据轴可得点纵坐标，再利用“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，可判断使最短的点位置，进而计算最小值和点坐标． 【详解】解：∵轴，，， ∴，即点在直线上运动， 当直线时，长度最小， 此时点横坐标与点横坐标相同， ∵， 故此时点坐标为，的最小值为． 2．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型，利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论． 【详解】解：∵，关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 3．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称变换的坐标规律以及循环变换的周期规律．掌握轴对称的坐标规律：关于轴对称，横坐标取相反数、纵坐标不变；关于轴对称，纵坐标取相反数、横坐标不变；找出变换周期并计算周期余数，是解题的关键． 观察图形可知每次为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定变换后的点所在的象限，进而得到变换后对应点的坐标． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故选：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点关于A的对称点为，关于B的对称点为，关于C的对称点为，关于A的对称点为，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律及中点坐标公式，解题的关键是得到点的坐标一般规律；设，由对称点的特征可得，同理可得：，，，，，由此可发现规律为每6个点一组为一循环，然后问题可求解． 【详解】解：设， ∵，，，点关于A的对称点为， ∴， 解得：， ∴； 同理可得：，，，，，…..； 由此可得规律为每6个点一组为一循环， ∴， ∴与重合， ∴点的坐标是； 故选D． 5．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知点和关于轴对称，则的值为（） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，正确掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再代入求值即可． 【详解】∵点和关于x轴对称， ∴横坐标相等，纵坐标互为相反数． ，且． 解得：， ∴， 故选C． 6．（25-26八年级上·四川达州·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、坐标与图形变换-轴对称，熟知点关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 由已知可确定P的坐标为，再由点P关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点的坐标为． 【详解】解：∵P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6， ∴，， ∵点P在第三象限内， ∴，， ∴P的坐标为， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】考查关于x轴对称的点的坐标性质、有理数的乘方运算．解题关键是掌握“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”的规律；易错点是混淆x轴y轴对称的坐标变化规律，或误算的幂次（偶数次幂为1，奇数次幂为）． 首先根据“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”，列等式：（横坐标相等）、（纵坐标互为相反数）；其次分别求解得、；最后计算，再根据“的偶数次幂为1”，求出． 【详解】∵点与点关于x轴对称， ∴，且． 由，得； 由，得． ∴， ∴； 故选A． 9．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形等知识点，正确作图是解题的关键． 由点，的坐标可得直线为，再根据题意画出图形，设，然后根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴直线为 如图：与关于所在直线对称， 设 ∴点O和点C关于直线对称， ∴，解得：， 即． 故选C． 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据该规律求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标不变，且点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求出的值. 【详解】解：点与点关于轴对称， . 13．（2026·四川自贡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得，， 解得， 14．（2025·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴对称点的横坐标为，对称点的纵坐标为，即点关于轴的对称点坐标为． 15．（25-26八年级上·广东汕头·期末）已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【分析】先展开多项式合并同类项，根据展开式不含和项，得两项系数为，求解后，根据关于轴对称的点的坐标规律计算结果． 【详解】解： ∵ 展开式中不含和项， ∴ 项系数为，即 ，解得 ， 项系数为，即 ，将代入得 ，解得 ， ∴ 原坐标为， ∵ 点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1) 解：，，， (2) 解：如图， 对称点坐标为，，，. 【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，确定每个点的横坐标和纵坐标，即可写出各点坐标； （2）利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出对称点坐标，再依次连接对称点即可得到轴对称图形，用到了坐标轴对称点的坐标性质. 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ． 18．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 【答案】(1)见解析 (2)，1；，；， 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点 的坐标，再描点，连线画出对应的图形即可； （2）根据（1）即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：由（1）得． 19．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 20．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出、的值，从而得到点、的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第09讲 轴对称与坐标变化 （新教材北师大版） 知识点一、用坐标表示平移 2 知识点二、坐标与图形性质 2 知识点三、关于x轴、y轴对称的点的坐标 2 知识点四、坐标与图形变化---对称 3 知识点五、关于原点对称的点的坐标 3 【题型1 坐标系中的对称】 3 【题型2 坐标与图形变化---轴对称】 4 【题型3 坐标系中的动点问题（不含函数）】 5 【题型4 利用对称坐标求参数的值】 6 【题型5 网格中的轴对称作图与坐标求解】 7 【题型6 特殊直线的对称点坐标问题】 8 【题型7 轴对称中的最短路径问题（坐标几何）】 10 【题型8 轴对称坐标综合探究问题】 11 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 21 知识点一、用坐标表示平移 1.点的平移： 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b). 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变． 2.图形的平移： 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决. （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 知识点二、坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点三、关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点四、坐标与图形变化---对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点五、关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【题型1 坐标系中的对称】 题型核心：熟记平面直角坐标系中点的对称规律，熟练求解点关于x轴、y轴、原点、直线的对称点坐标；掌握坐标符号变化特征，解决单点对称、参数取值等基础问题。 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-1】“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【题型2 坐标与图形变化---轴对称】 题型核心：根据图形顶点坐标，作出图形关于坐标轴的轴对称图形；通过坐标变化判断图形轴对称变换方式，求解对称后图形顶点坐标、图形形状与位置。 【例2】在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2-2】若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点关于轴对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【题型3 坐标系中的动点问题（不含函数）】 题型核心：结合点在坐标轴、线段、网格内的运动，根据运动路程、速度求动点坐标；结合轴对称性质，求解动点对称点坐标、动点运动后的几何等量关系。 【例3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为，点B在第三象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动8秒时，则点坐标为（即：沿着长方形移动一周）（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用对称坐标求参数的值】 题型核心：已知两点对称、图形轴对称，利用对称点的坐标特征建立方程，求解字母参数的值、点的坐标，是本节高频基础必考题型。 【例4】点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式4-1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，①点与关于轴对称；②点 与关于轴对称；③与点关于轴对称的点在第二象限；④点关于轴对称，则的值为．其中描述正确的是(   ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式4-2】剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的立方根为（    ） A． B． C．1 D．2 【题型5 网格中的轴对称作图与坐标求解】 题型核心：在正方形网格中，对三角形、四边形等几何图形作轴对称变换，书写变换后所有顶点坐标，判断图形变换前后的边长、面积、形状变化。 【例5】如图，在平面直角坐标系中，，，则点关于直线对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点D与点C关于x轴对称．则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型6 特殊直线的对称点坐标问题】 题型核心：拓展坐标轴对称，掌握点关于直线x=a、y=b、一三象限角平分线、二四象限角平分线的对称坐标规律，突破常考易错拓展题型。 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【题型7 轴对称中的最短路径问题（坐标几何）】 题型核心：结合坐标系轴对称性质，利用“将军饮马”模型，求解坐标轴上动点到定点距离和最小值、对应点坐标，是本节重难点几何题型。 【例7】如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，的边与轴正半轴重合，其中，点是上的定点，点是上的动点．点是的中点，要使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】平面直角坐标系中，点，，，若AC∥x轴，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（    ） A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0） 【题型8 轴对称坐标综合探究问题】 题型核心：综合多点对称、图形多次轴对称变换、坐标规律探究，判断图形位置、探索循环变换规律、求解复杂参数与几何关系，属于压轴类题型。 【例8】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标，即（_____，_____）． (2)求出的面积． (3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置（保留画图痕迹，不写画法）． 【变式8-1】某儿童乐园的部分游乐设施位置如图所示．（每个小方格边长代表200m）． (1)如果星际迷航用数对表示，那么摩天轮可以用数对（___________，___________）表示，数对表示的是___________． (2)过山车在迷宫以东，再往北处．请在图上标出过山车的位置． (3)观光火车向东直行，在处向南直行，到达处，共花了22分钟（其中游客上、下车等待时间约为6分钟）．观光火车的平均速度是___________米/分． 【变式8-2】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在轴和轴的正半轴上，，，现有两动点，分别从，同时出发，在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止．在线段上沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，运动到点停止，设运动时间为秒． (1)点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)求线段与线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当的面积与面积相等时，求的值． 【探究式学习】 1.如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)________；________． (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒． 问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 2.（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． 【课后检测】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）平面直角坐标系中，点，,，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 3．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点关于A的对称点为，关于B的对称点为，关于C的对称点为，关于A的对称点为，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知点和关于轴对称，则的值为（） A．0 B．1 C． D． 6．（25-26八年级上·四川达州·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 9．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是______． 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）若点关于轴的对称点是，则______________． 13．（2026·四川自贡·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则____ ，____． 14．（2025·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 15．（25-26八年级上·广东汕头·期末）已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 17．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知点与点关于轴对称，求的值． 18．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题： (1)在网格图中画出关于y轴的对称图形； (2)请直接写出点 的坐标： （______，______） （______，______） （______，______） 19．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 20．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $