精品解析：山东德州市六校联考2026-2027学年第一学期10月学情自测 九年级数学试题

2026-2027学年第一学期10月月考试题 九年级数学试卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且． 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程的根的判别式和二次项系数不为，可得的取值范围． 【详解】解：，要使的一元二次方程有实根，  ，  解得且， 且． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 4. 抛物线的顶点在轴上，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是．根据顶点公式即可求得的值． 【详解】抛物线的顶点纵坐标是： 则 得到： 解得． 故选：D． 【点睛】考查了二次函数的性质，熟记二次函数顶点的坐标公式是解题的关键． 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 与x轴有两个重合的交点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数表达式即可判断； 【详解】解：∵， ∴顶点坐标，对称轴， ∵， ∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上， ∴A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 6. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A. ﹣11 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【详解】解：由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 解得 函数解析式为y＝﹣3x2+1 x＝2时y＝﹣11， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键． 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 8. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 9. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ） A. 2022 B. 2020 C. 2019 D. 2021 【答案】D 【解析】 【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021． 【详解】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键． 10. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b=-2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x=1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误； ∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0） ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选C． 考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设降价百分率为， 则有：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：降价百分率为． 12. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，则________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：， ． 根据根与系数的关系求出，，然后利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为21． 13. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 14. 对于实数a、b，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，解一元二次方程，先解一元二次方程得到两个根，再根据新定义的运算规则分情况计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴得或， 当，时， ∵， 故， 当，时， ∵， 故， 故答案为：3或． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 15. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 16. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：，  ，  ，  ∴或，  解得，； 【小问2详解】 解：，  ，  ，  ，  ∴或，  解得，． 18. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， 不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入方程求出，可知方程为，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得：， 方程为， 解这个方程得：，， 方程的另一个根为3． 19. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 【答案】花园的长，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当时， （舍去）或当时，． 答：花园的长，宽为． 20. 火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． （1）若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ （2）店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】（1）每件摆件应定价44元或46元 （2）该计划不能实现 【解析】 【分析】（1）设每件摆件应定价为x元，根据总利润达到1120元，列出方程，解方程即可； （2）设每件摆件应定价为y元，根据单月获利1300元，列出方程，判断方程解的情况，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件摆件应定价为x元，根据题意得： ， 解得：，， 答：每件摆件应定价44元或46元； 【小问2详解】 解：设每件摆件应定价为y元，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该计划不能实现． 21. 阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 22. 已知二次函数． （1）分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）利用函数图象回答： ①当时，的取值范围是 ②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是 ④若不等式无解，则的取值范围是 ⑤写出不等式的解集：． 【答案】（1）与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为 （2）①；②；③；④；⑤或 【解析】 【分析】（1）分别令，，可求出函数图象与坐标轴的交点，即可求解； （2）①直接根据（1）的函数确定x轴上方函数图象所对应的自变量的取值范围即可； ②根据函数确定所对应的y的取值范围即可； ③直接根据函数图象求解即可； ④直接根据函数图象求解即可； ⑤直接根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， 该函数图象与轴的交点坐标为，， 将代入，得， 与轴的交点坐标为， x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 画出这个函数的图象略； 【小问2详解】 ①由图象可知，当时，x的取值范围是． ②观察图象得：二次函数的图象的顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 将代入，得， 当时，y的取值范围是． ③∵方程有实数根， ∴二次函数的图象与直线有交点， ∴t的取值范围是； ④∵不等式无解， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∴n的取值范围是． ⑤∵， ∴此时二次函数的图象位于直线的下方， 观察图象得：此时或， 即不等式的解集为或． 23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 【答案】（1）0； （2）根据表格描点，画出图象即可： ； （3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称；（答案不唯一，合理即可） （4）①3,3；②2；③-1＜a＜0． 【解析】 【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0； （2）根据表格描点，画出图象即可； （3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可； （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围． 【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点． ∴m=0； （2）略 （3）略 （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根； ②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根； ③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0． 故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键． 24. 已知关于x的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月月考试题 九年级数学试卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点在轴上，则等于( ) A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 与x轴有两个重合的交点 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A. ﹣11 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣5 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ） A. 2022 B. 2020 C. 2019 D. 2021 10. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 12. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，则________． 13. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 14. 对于实数a、b，定义运算“”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则______． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 15. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 16. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 19. 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 20. 火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． （1）若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ （2）店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 21. 阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 22. 已知二次函数． （1）分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）利用函数图象回答： ①当时，的取值范围是 ②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是 ④若不等式无解，则的取值范围是 ⑤写出不等式的解集：． 23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 24. 已知关于x的二次函数． （1）当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． （2）设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $