精品解析：山东济南市平阴县2026-2027学年上学期九年级阶段性考试数学试题

九年级上学期数学第一次阶段性测试 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 2. 下列各组线段中，不成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中最小的和最大的两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、由于，所以成比例，不符合题意； B、由于，所以不成比例，符合题意； C、由于，所以成比例，不符合题意； D、由于，所以成比例，不符合题意． 3. 如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两个三角形有公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再找一组对应角相等，即可判定． 【详解】解：在和中， （公共角）， 选项A、，根据题意不能得到为，角的对应关系错误，不能证明； 选项B、，可以证明（两角分别相等，两三角形相似）； 选项C、，化简得，即，无法证明相似； 选项D、，两边不是夹公共角的对应边，不满足两边成比例且夹角相等，不能证明相似． 4. 下列关于投影的说法正确的是（　　） A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D. 若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可． 【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意； B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意； C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意； D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义． 5. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的非负整数值是（ ） A. 0，1 B. 0，1，2 C. 1，2 D. 0，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集并结合一元二次方程的定义即可得到k的范围，即可确定出k的非负整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴（即），， ∴ ， ∴ 解得且， ∴k的非负整数值是0，2． 6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】算出各个三角形的边长，再根据三角形的相似条件进行判断即可． 【详解】解：由图可得，，，， A、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形相似，符合题意； B、图中的三角形的三边长分别为：，，3， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； C、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； D、图中的三角形的三边长分别为：2，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意． 7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为（ ）． A. 20cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm 【答案】A 【解析】 【分析】设原正方形铁皮边长为，四角剪去边长小正方形后，无盖盒子的底面是正方形，底面边长为，盒子高为．利用长方体容积公式：容积底面积高列一元二次方程求解，舍去非正根得到原边长． 【详解】解：设原正方形铁皮的边长为． 四角剪去边长的小正方形后，盒子底面正方形边长为，盒子的高． 根据长方体容积公式： ， 解得：． 边长不能为0，舍去， ∴原铁皮边长为． 8. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ） A. B. 5m C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得或 (舍去)， ∴树的高度长为 故选： D． 9. 如图，在中，相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，，即可得到，从而判断A选项；由中点的定义得到，因此，根据相似三角形的对应边成比例即可判断B选项；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可判断C选项；根据，结合与的高相同即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确； ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵，，， ∴， ∴，故C选项错误； ∵， ∴，故D选项正确． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质“相似三角形的周长比等于相似比”求解即可． 【详解】解：与相似，相似比为， 与的周长比为． 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 14. 如果，那么k的值为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用等比性质，先把原式变形得到，三式相加，分和两种情况讨论，分别算出k的值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，，解得； 当时，，， 综上所述，k的值为或． 15. 如图，四边形是的内接矩形，是的高，，则矩形的周长是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：∵， ， ，即， 解得：， ． ∴矩形的周长为， 故答案为：36． 三、解答题：（本大题共个小题，共90分．） 16. 用恰当的方式求解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： ， 判别式， ，． 【小问3详解】 解： 解得，． 【小问4详解】 解： ，． 17. 如图，等边中，点D、E分别在边上，．若，求等边的边长． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质、三角形内角和定理以及平角的定义，可推出，从而得到，然后由相似三角形对应边成比例得到，进而可知，结合比例的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即等边的边长为3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 19. 补全下列几何体的三种视图． （1） （2） 【答案】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 【解析】 【分析】根据画物体的三视图的口诀进行求解即可，主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙上，（如图所示）他测得米，米．你能帮他求出树高为多少米吗？ 【答案】4.2米 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长对应成比例，即可列式求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 答：树高为4.2米 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，矩形的性质等知识． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴ 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 23. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据材料的方法求解即可； （2）根据整式的乘法分别表示出，，计算，根据材料的方法判断的正负性，即可解答． 【小问1详解】 解：， 因为，所以． 当时，， 所以A的最小值为． 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： （1）________；______；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ （3）当t为何值时，的面积为面积的？ 【答案】（1）； （2）或 （3）2或8 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答； （2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可； （3）先求出的面积，然后过点作于点，此时，得到，从而可用t表示出，然后根据得到关于t的一元二次方程，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 根据题意可知，， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似． 【小问3详解】 解：， ∴， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 整理得， 解得，， ∴当t为2或8时，的面积为面积的． 25. 解决问题 （1）【问题发现】如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】在（1）的条件下，当正方形旋转到三点共线的时候，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解：不变． 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出，再由正方形的性质得到，最后再由，即可求解； （2）先利用勾股定理得出，，再证明，即可得到，最后利用相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况计算，当点在线段上时，如图2，先利用正方形的性质得到，再由勾股定理得到，即可求出，最后利用（2）得出的结论，即可求解；当点在线段的延长线上时，同前一种情况一样即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上时，如下图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当正方形旋转到三点共线的时候，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学第一次阶段性测试 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，不成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列关于投影的说法正确的是（　　） A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D. 若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 5. 若关于x的一元二次方程有实根，则k的非负整数值是（ ） A. 0，1 B. 0，1，2 C. 1，2 D. 0，2 6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为（ ）． A. 20cm B. 13cm C. 14cm D. 16cm 8. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ） A. B. 5m C. D. 9. 如图，在中，相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如果，那么k的值为______________． 15. 如图，四边形是的内接矩形，是的高，，则矩形的周长是______． 三、解答题：（本大题共个小题，共90分．） 16. 用恰当的方式求解下列方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，等边中，点D、E分别在边上，．若，求等边的边长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点坐标 ． 19. 补全下列几何体的三种视图． （1） （2） 20. 一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙上，（如图所示）他测得米，米．你能帮他求出树高为多少米吗？ 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 当时，， 因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 24. 如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： （1）________；______；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ （3）当t为何值时，的面积为面积的？ 25. 解决问题 （1）【问题发现】如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】在（1）的条件下，当正方形旋转到三点共线的时候，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $