精品解析：山东德州市陵城区第五中学2025-2026学年九年级上学期第一次阶段性质量检测数学试题

2025－2026学年义务教育阶段性质量检测 （九年级数学） （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A. ，28 B. 5， C. 5， D. ，25 5. 已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（　　） A. 11 B. 19 C. 11或19 D. 不能确定 7. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 8. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______． 12. 若是方程的解，则代数式的值为______． 13. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 __（用“”连接） 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为_____． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17. 若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 18. 若方程是一元二次方程，求m的值． 19. 抛物线的顶点坐标为，并经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求函数值的取值范围． 20. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 22. 某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年义务教育阶段性质量检测 （九年级数学） （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故选：C． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 4. 把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A. ，28 B. 5， C. 5， D. ，25 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 5. 已知，是方程的两个实数根，且，则函数的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、二次函数的顶点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，得到、的值，即可得到二次函数的顶点坐标，进而判断． 【详解】解：， ， ∴，， ∵， ∴，, ∴函数解析式可化为：， 顶点为，在第二象限．   故选：B ． 6. 已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（　　） A. 11 B. 19 C. 11或19 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出一元二次方程的根，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程x2﹣10x+9＝0可得：， ∴当该等腰三角形的腰长为1，底边为9时，1+1＜9，不符合题意三角形三边关系，舍去； 当该等腰三角形的腰长为9，底边为1时，1+9＞9，符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的周长为9+9+1=19； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形定义是解题的关键． 7. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 8. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即，得，由图象与轴的交点可得， ，故①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即，解得，即，故②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 综上，①②③⑤正确，共4个． 9. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 10. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，再根据完全平方公式的变形求出，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， 对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根， ，， ，， ， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 是边上的高， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， 故答案为：且． 12. 若是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】-2018． 【解析】 【分析】利用a是方程3x2+2x-1=0的解得到3a2+2a=1，然后利用整体代入的方法计算3a2+2a-2019的值． 【详解】解：∵a是方程3x2+2x-1=0的解， ∴3a2+2a-1=0， ∴3a2+2a=1， ∴3a2+2a-2019=1-2019=-2018． 故答案为-2018． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 __（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 【详解】解：， ， 观察图象可知当，时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， 所以不等式的解集是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可． 【详解】把（0，0）代入y（x﹣3）2+k得：（0﹣3）2+k=0，解得：k=6，∴抛物线解析式为y（x﹣3）2+6，∴B点坐标为（3，6）． ∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18． 故答案为18． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）x1＝，x2＝−；（2）；（3）x1＝3，x2＝−． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）整理后，利用因式分解法求解即可； 【详解】解：（1）， （x−1）2＝， ∴x−1＝±， ∴x1＝，x2＝−． （2）， x2−2x＋1＝4＋1，即（x−1）2＝5， ∴x−1＝±， ∴． （3）2x（x−3）＝3−x， 2x（x−3）＋（x−3）＝0， （x−3）（2x＋1）＝0， ∴x−3＝0或2x＋1＝0， ∴x1＝3，x2＝−． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将a代入方程可得：，再将代数式化简，整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴，整理可得：， ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值，注意整体代入思想的应用，一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数的值． 18. 若方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解方程得： （舍去），， ∴m的值是3． 19. 抛物线的顶点坐标为，并经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）设二次函数的解析式为顶点式，将顶点坐标及任一点代入求出即可； （2）根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为, 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：∵，且函数开口向下，抛物线顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，此时； 当时，函数值最小，此时； ∴当时，函数值的取值范围是． 20. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】（1） （2）经过点 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， 解得， 的值为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 的取值范围是． 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 22. 某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价元 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元， 由题意可得， 整理得， 解得，， ∵在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元， ∴， ∴每千克应涨价元． 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的出动或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $