精品解析：河南驻马店市第十二初级中学三校2025-2026学年度九年级第一学期学情调研数学试卷

2025-2026学年度九年级第一学期学情调研数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果买了两头牛记作，则卖了三头牛可记作（ ） A. 3 B. C. D. 2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ） A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱 3. 2021年河南省前三季度地区生产总值约为44016亿元，排名中部省份第一．将数据“44016亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点O，P为中点，Q为中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（ ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A. 该重物的重力为 B. 点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C. 该重物的高度为 D. 从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个整数，使有意义，则可以是__． 12. 某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的__________（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 13. 观察下列式子：，，，…，按上面的规律写出一般结论：____________（用含的等式表示，为正整数）． 14. 图是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图，根据割圆八线图，在扇形中，  ，，交 于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”， ，点E是直线上一点，且，连接，则的值为______． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：）、糖度、（单位：）进行测评，并对数据进行整理、描述和分析： 甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 质量 糖度 乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 质量 糖度 甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 质量 甲 乙 糖度 甲 乙 （1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？ （2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 19. 如图，在中，连接，． （1）尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求证：． 20. 某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元；若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元． （1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多支，且不超过乙种灭火器数量的倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 22. 如图，已知抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点，且点到点距离是点到点距离的3倍，点是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点沿抛物线向下移动，使得，求点的纵坐标的取值范围； （3）若点是抛物线上任意一点，点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点横坐标的取值范围． 23. 综合与实践 问题情境 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 实践操作 （1）在图中，过点作，垂足为点，交于点（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； 猜想证明 （2）在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与之间的关系； 问题解决 （3）已知，，沿所在直线折叠矩形纸片，折痕交矩形纸片的边于点．当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期学情调研数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果买了两头牛记作，则卖了三头牛可记作（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正数表示，则与之相反的量用负数表示即可． 【详解】解：如果买了两头牛记作，则卖了三头牛可记作， 故选：B. 【点睛】本题考查正数、负数的意义，用正数和负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正数表示，则与之相反的量用负数表示． 2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ） A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键． 3. 2021年河南省前三季度地区生产总值约为44016亿元，排名中部省份第一．将数据“44016亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：44016亿． 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 5. 若，则方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时E点的位置即可． 【详解】解：连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点就是所在圆的圆心， ∴三点组成的圆的圆心为：， ∵只有时，与圆相切， 此时，，且， ∴， ∴，则点的坐标为：， 延长，可知过点，， ∴点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：，，． 故选：C． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 8. 在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图的方法求概率；通过画树状图，可得共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将酵母菌、黏菌、螺旋藻、支原体用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的生物均属于真核生物的为和，共2种， 则两张卡片上的生物均属于真核生物的概率为， 故选：C． 9. 如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点O，P为中点，Q为中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作，垂足为M，根据得到为等边三角形，从而得到，计算出，再计算出，最后根据勾股定理计算出． 【详解】解：如图所示，过点P作，垂足为M， ∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形． ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵P为中点 ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查菱形、等边三角形和含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 10. 如图①，在数学实验课上，芳芳用弹簧测力计挂着一重物将其缓慢地放入水中，直至该重物完全浸入水中，如图②为弹簧测力计示数与该重物浸入水面深度的图象．下列结论中错误的是（ ） 小贴士：当时，；当时，（G为物体所受到的重力） A. 该重物的重力为 B. 点P表示的实际意义是该重物已完全浸入水中 C. 该重物的高度为 D. 从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F先随h的增大而减小，然后不变 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象中的坐标含义，结合图象的变化分析即可． 【详解】解：当时，， ∴该重物的重力为， 故选项A正确，不符合条件； 由图②可知在点P处时该重物完全浸入水中， 故选项B正确，不符合条件； 在点P处时该重物完全浸入水中，此时， 故选项C正确，不符合条件； 从该重物底部刚浸过水面到恰好完全浸入水中时，F随h的增大而减小， 故选项D错误，符合条件． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个整数，使有意义，则可以是__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，求出，再写出一个符合的整数即可．本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得：， 为整数， 可以为3． 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的__________（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的意义是解题的关键． 根据题意可知第8名的数据即为中位数，据此可解． 【详解】解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数， 故答案为：中位数． 13. 观察下列式子：，，，…，按上面的规律写出一般结论：____________（用含的等式表示，为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知等式，可得规律，用含的等式表示即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴． 14. 图是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图，根据割圆八线图，在扇形中，  ，，交 于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，可得，可得，解，，，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴ ． 15. 当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”， ，点E是直线上一点，且，连接，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，先利用菱形邻角互补的性质结合“特征四边形”定义确定菱形内角，再根据判断对角线长短，最后分点在线段上、延长线上两种情况，依托菱形对角线垂直平分的性质，在直角三角形中利用正切定义计算． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，菱形边长为， ∵四边形为菱形， ∴， 因为菱形邻角互补，且为“特征四边形”， 可设较小内角为，则， 解得， 即， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时， ∴， 在中，； ②当点在线段的延长线上时： ∴， 在中，； 故答案为：或． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根，负整数指数幂，绝对值的性质化简，再计算，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后化简，即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17. 某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量（单位：）、糖度、（单位：）进行测评，并对数据进行整理、描述和分析： 甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 质量 糖度 乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 质量 糖度 甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 质量 甲 乙 糖度 甲 乙 （1）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？ （2）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见． 【答案】（1） 从平均数和中位数角度来看，甲种草莓的单果质量大于乙种草莓的单果质量，但甲种草莓的糖度低于乙种草莓的糖度；从方差角度来看，甲种草莓单果质量的方差和糖度的方差均大于乙种草莓，说明甲种草莓的单果质量不均匀，糖度的大小波动比较大．由于人们对草莓口感的要求会比较高，所以我建议推广乙种草莓． （2） 由于乙种草莓的单果质量比较小，所以技术人员需要运用种植技术提高草莓的单果质量（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、统计表等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （）根据平均数、中位数、方差进行分析即可； （）由于乙种草莓的单果质量比较小，提出改良意见即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键． （1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴设反比例函数的式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 19. 如图，在中，连接，． （1）尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）方法一（垂直平分线法）作线段的垂直平分线，与的交点即为其中点．这是最直接的方法，利用了“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质．方法二（构造等腰三角形法）通过构造等腰三角形得到等角关系，利用直角三角形斜边中线性质，确定为中点，从而满足．方法三（延长构造法）延长至，使，连接交于．利用平行四边形和全等三角形的性质，可以证明是的中点． （2）解法一：由是中点及直角三角形斜边中线性质，得．结合，判定为等边三角形，得．由及，算出．利用平角，计算，证得结论．解法二：由平行四边形性质及，得，推出．用证明．由全等三角形对应角相等，得，从而证得结论． 【小问1详解】 解：解法一，如图①，点E即为所求作 方法一：分别以点和点为圆心，用大于的长度为半径，在线段的两侧画弧，两弧分别相交于两点；连接这两个交点，得到的直线这条垂直平分线与线段的交点，就是的中点；连接，则点即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即，为直角三角形． ∵是的中点（由垂直平分线作图得到）， 在中，斜边中线． ∴． 解法二，如图②，点E即为所求作． 方法二：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点；再以为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点；然后以该交点为圆心，截取两弧之间的距离，画弧交前弧于一点，连接与该交点并延长，交于，即为所求； ， ， 是平行四边形， ，， 又， ， 即，即， 在中 ， ， ， ， 即E是中点， 在中，E是中点 解法三，如图③，点E即为所求作． 方法三：延长线段，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，此时，连接，交于点，这个点即为所求． ∵是平行四边形， ∴且，． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵平行四边形的性质，对角线互相平分， ∴是的中点，即． ∵为直角三角形中， ∴是斜边的中线， 所以． ∴， 【小问2详解】 证明：解法一，如图④， ∵在中，E是的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，即． 解法二，如图④， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即． 20. 某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元；若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元． （1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多支，且不超过乙种灭火器数量的倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元 （2）购买甲种灭火器支、乙种灭火器支可使总费用最少，最少总费用是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． （1）分别设两种灭火器每支的价格为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式组并求其解集，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最小，求出其最小值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元． 根据题意，得， 解得． 故每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得 ∵为非负整数， ∴的值可以为，，． ， ∵， ∴随的减小而减小， ∴当时，值最小，，（支）． 故购买甲种灭火器支、乙种灭火器支可使总费用最少，最少总费用是元． 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）8.6m 【解析】 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明； （2）还需要测出的长，令，证明，得即 ，从而即可得解； （3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：还需要测出的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点，且点到点距离是点到点距离的3倍，点是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点沿抛物线向下移动，使得，求点的纵坐标的取值范围； （3）若点是抛物线上任意一点，点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点的纵坐标的取值范围为 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，，可得点的横坐标的取值范围为，即，由于当时，随的增大而减小，求出时，，当时，．最后求解即可； （3）将代入得：，解得：将代入得：，解得：再确定的取值即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，为抛物线上的点， ∴将，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点的横坐标的取值范围为，即， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，． ∴点的纵坐标的取值范围为． ∵， ∴点的纵坐标的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3， ∴将代入得：， 解得： 将代入得：， 解得： ∴点横坐标的取值范围是：或， 故答案为：或 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 实践操作 （1）在图中，过点作，垂足为点，交于点（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； 猜想证明 （2）在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与之间的关系； 问题解决 （3）已知，，沿所在直线折叠矩形纸片，折痕交矩形纸片的边于点．当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 （3）的长是或3 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法来求解； （2）根据矩形的性质和折叠的性质易得到四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解； （3）分以下两种情况：点在边上，利用折叠的性质和勾股定理求出，进而得到，，再用三角形面积求解；点在边上，连接，利用全等三角形的判定和性质求解. 【小问1详解】 解：根据题意作图如下 所以，上图为所求作的图形； 【小问2详解】 解：，. 证明：如答图1， ∵四边形是矩形， ∴. ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴. ∵， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 【小问3详解】 解：分以下两种情况： 如答图2，点在边上， ∵，将沿折叠得到， ∴，. ∵，， ∴，. 在中，，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， . ∵， ∴， ∴， ∴； 如答图3，点在边上，连接， 根据题意，得，，， ∴ 在和中， ∵，， ∴（HL）， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴. 综上所述，的长是或3. . 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $