专题05 实数、近似值 同步培优讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题05实数、近似值同步培优讲义 ✺知识框架 1.实数：无理数、实数定义与分类；实数与数轴；实数相关性质与运算 2.无理数估算：夹逼法；求无理数的整数部分、小数部分 3.近似值：准确数与近似数；精确度；四舍五入法取近似值 ✺学习目标 1.理解无理数、实数的概念，掌握实数的两种分类方式。 2.理解实数与数轴上的点一一对应，会比较实数的大小。 3.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，能进行简单实数运算。 4.会运用夹逼法估算无理数的取值范围，求解无理数的整数部分与小数部分。 5.区分准确数与近似数，理解精确度的含义，能按要求用四舍五入法求取近似值。 ✺知识梳理 知识点一、无理数与实数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见三类无理数：①含π的数；②开方开不尽的数；③无限不循环的构造小数。 提示：有限小数、无限循环小数均为有理数，都可以化为分数。 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 分类如下： 3.实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 4.实数的性质：（1）相反数：实数a的相反数是-a；若a+b=0，则a与b互为相反数。 （2）绝对值：|a|=，实数的绝对值具有非负性。 （3）倒数：当a≠0时，a的倒数为。 5.实数运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 知识点二、无理数估算 利用相邻整数的平方，确定算术平方根的取值范围。 若<a<(n+1)2（n为整数）， 则n<<n+1。 公式：无理数小数部分 =原数−整数部分。 知识点三、近似值 1.准确数：与实际数量完全相符的数；近似数（近似值）：接近准确数，与实际存在误差的数。 2.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。 表述形式：精确到个位、十分位、百分位；也可表述为精确到 1、0.1、0.01。 取近似值方法：四舍五入法。取舍时多看后一位，再判断四舍或五入。 易错提醒 1.带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数；无理数不一定带根号，如π。 2.实数大小比较：数轴上右侧的数大于左侧的数；正数大于0，负数小于0。 3.近似数2与2.0精确度不同：2精确到个位，2.0精确到十分位。 4.求无理数小数部分，必须减去整数部分，不可直接舍去小数部分。 5.实数运算取近似值时，计算过程保留比目标精确度多一位，最后再取舍。 ✺题型精讲 题型1.无理数 1．下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 3．有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 题型2.无理数的大小估算 1．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 2．若a为正整数，且满足，则______． 3．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 2．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 3．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 题型4.实数概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 3．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 题型5.实数的分类 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 3．把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　　　…}； (3)分数集合：{　　　　　　　　…}； 题型6.实数的性质 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数是______________． 3．已知，且，求的值． 题型7.实数与数轴 1．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（   ） A． B．3.2 C． D． 2．点A，B在数轴上表示的数分别是1和，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为__________ 3．将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 题型8.实数的大小比较 1．下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小：__________(填、或) 3．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． ． 题型9.程序设计与实数运算 1．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 3．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 题型10.计算器——平方根和立方根 1．用计算器计算时，依次按键，显示的结果是（     ） A．8 B． C． D． 2．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 3．利用计算器求值（结果精确到0.001）： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 题型11.求一个数的近似数 1．用四舍五入法把5.17545精确到千分位，所得的近似数为（     ） A．5.17 B．5.175 C．5.18 D．5.176 2．保留3位小数是( ) 3．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)130.06（精确到十分位）； (4)46021（精确到百位）． 题型12.求近似数的精确度 1．据丽水网消息，年五一假期，遂昌县全域旅游人数约万人次．其中近似数“万”精确到的数位是（     ） A．百分位 B．十分位 C．千位 D．万位 2．2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 3．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 题型13.近似数推断取值范围 1．近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ ✺分层练习 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下面说法：①无限小数都是无理数；②正数的立方根一定是正数；③；④实数包括有理数和无理数．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法：绝对值等于它本身的数是0、1；若，则互为相反数；近似数万精确到十分位；其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 5．比较大小：______（填“”，“”或“”）． 6．用四舍五入法对精确到得到的近似数为______． 7．如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 三、解答题 8．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 9．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 10．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实数、近似值同步培优讲义 ✺知识框架 1.实数：无理数、实数定义与分类；实数与数轴；实数相关性质与运算 2.无理数估算：夹逼法；求无理数的整数部分、小数部分 3.近似值：准确数与近似数；精确度；四舍五入法取近似值 ✺学习目标 1.理解无理数、实数的概念，掌握实数的两种分类方式。 2.理解实数与数轴上的点一一对应，会比较实数的大小。 3.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，能进行简单实数运算。 4.会运用夹逼法估算无理数的取值范围，求解无理数的整数部分与小数部分。 5.区分准确数与近似数，理解精确度的含义，能按要求用四舍五入法求取近似值。 ✺知识梳理 知识点一、无理数与实数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见三类无理数：①含π的数；②开方开不尽的数；③无限不循环的构造小数。 提示：有限小数、无限循环小数均为有理数，都可以化为分数。 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 分类如下： 3.实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 4.实数的性质：（1）相反数：实数a的相反数是-a；若a+b=0，则a与b互为相反数。 （2）绝对值：|a|=，实数的绝对值具有非负性。 （3）倒数：当a≠0时，a的倒数为。 5.实数运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 知识点二、无理数估算 利用相邻整数的平方，确定算术平方根的取值范围。 若<a<(n+1)2（n为整数）， 则n<<n+1。 公式：无理数小数部分 =原数−整数部分。 知识点三、近似值 1.准确数：与实际数量完全相符的数；近似数（近似值）：接近准确数，与实际存在误差的数。 2.精确度：近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。 表述形式：精确到个位、十分位、百分位；也可表述为精确到 1、0.1、0.01。 取近似值方法：四舍五入法。取舍时多看后一位，再判断四舍或五入。 易错提醒 1.带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数；无理数不一定带根号，如π。 2.实数大小比较：数轴上右侧的数大于左侧的数；正数大于0，负数小于0。 3.近似数2与2.0精确度不同：2精确到个位，2.0精确到十分位。 4.求无理数小数部分，必须减去整数部分，不可直接舍去小数部分。 5.实数运算取近似值时，计算过程保留比目标精确度多一位，最后再取舍。 ✺题型精讲 题型1.无理数 1．下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先化简可化简的数，再分类判断． 【详解】解：是分数，是整数，、是有限小数，是整数，以上均为有理数． 开方开不尽，含无理数，是无限不循环小数，以上均为无理数． 无理数共3个． 2．下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 3．有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) 满足要求的x的值是1或0． 理由如下： 一个有理数，若算术平方根等于其本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y的值，而算术平方根等于本身的数是1和0， 所以满足要求的x的值是1或0． 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的值为； （2） 略 题型2.无理数的大小估算 1．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 2．若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 3．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； （3） 略 题型3.无理数整数部分的有关计算 1．已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为6， ∴ 小数部分为． 故选：D． 2．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】 5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 3．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 题型4.实数概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 2．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 3．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5.实数的分类 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 3．把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　　　…}； (3)分数集合：{　　　　　　　　…}； 【答案】(1)，，，， (2)， (3)，， 【分析】先化简，再根据有理数，无理数，分数的定义对各数逐一判断，即可完成分类． 【详解】（1）解： 有理数集合：{，，，，…}； （2）解：无理数集合：{，…}； （3）解：分数集合：{，，…}． 题型6.实数的性质 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 2．的相反数是______________． 【答案】 【详解】解：的相反数为 ． 3．已知，且，求的值． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2或． 题型7.实数与数轴 1．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（   ） A． B．3.2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5，且， ， ∵点表示的数是1，且点在点的右侧， ∴点表示的数为． 2．点A，B在数轴上表示的数分别是1和，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为__________ 【答案】/ 【分析】根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点C表示的数即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴点C表示的数为． 3．将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 【答案】，无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据周长公式求出，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：根据题意可知为直径为2的圆的周长一半加上直径， 即， 所以点对应的数是，是无理数． 题型8.实数的大小比较 1．下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ∵，，，，，， ∴， ∴数值最小的是． 2．比较大小：__________(填、或) 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即． 3．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较． 将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来即可． 【详解】解：． 题型9.程序设计与实数运算 1．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 3．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 题型10.计算器——平方根和立方根 1．用计算器计算时，依次按键，显示的结果是（     ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【答案】0 【分析】根据计算器按键顺序得到对应算式，再根据立方根和算术平方根的定义计算结果即可． 【详解】解：由按键顺序可得，所求算式为 根据立方根的定义可得， 根据算术平方根的定义可得， 则． 3．利用计算器求值（结果精确到0.001）： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【答案】(1)5.197 (2)0.218 (3)-1.783 (4)-5.099 【分析】根据计算器的使用方法，用计算器求值，并应用四舍五入法把结果精确到，也就是保留三位小数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型11.求一个数的近似数 1．用四舍五入法把5.17545精确到千分位，所得的近似数为（     ） A．5.17 B．5.175 C．5.18 D．5.176 【答案】B 【分析】精确到千分位需查看其后一位即万分位的数字，按四舍五入规则取舍． 【详解】解：5.17545的千分位是小数点后第三位的5，万分位数字为4， ∵， ∴舍去万分位及之后的数字，所得近似数为5.175． 2．保留3位小数是( ) 【答案】 【分析】先确定该循环小数的展开形式，根据保留小数位数的要求，观察要保留数位的下一位数字，利用四舍五入法取近似值. 【详解】解：，保留位小数，需观察小数点后第位数字. 小数点后第位是，，根据四舍五入法则，向小数点后第位进，可得. 3．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)130.06（精确到十分位）； (4)46021（精确到百位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据要求进行四舍五入，对于第（4）小题先将数字化为科学记数法表示的数，再取近似数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：万． 题型12.求近似数的精确度 1．据丽水网消息，年五一假期，遂昌县全域旅游人数约万人次．其中近似数“万”精确到的数位是（     ） A．百分位 B．十分位 C．千位 D．万位 【答案】C 【详解】解：近似数“万”精确到千位. 2．2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． 3．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ (1)； (2)； (3) 【答案】(1)132.4精确到十分位，有4个有效数字； (2)0.0572精确到万分位，有3个有效数字； (3)精确到十位，有3个有效数字． 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．据此逐一作答即可． 【详解】（1）解：132.4精确到十分位，有4个有效数字； （2）解：0.0572精确到万分位，有3个有效数字； （3）解：精确到十位，有3个有效数字． 题型13.近似数推断取值范围 1．近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 2．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 【答案】 【分析】四舍五入保留两位小数得到，“四舍”得到近似数时原数更大，因此只需在四舍的情况中求最大的三位小数． 【详解】解：当原三位小数通过“四舍”得到时， ∵ 四舍规则要求千分位上的数小于，舍去后不改变前两位小数， ∴ 千分位最大取，前两位小数为，这个三位小数是． 当原三位小数通过“五入”得到时，原数的前两位为，整体小于，因此这个三位小数最大是． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． ✺分层练习 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A选项、，，两数相等，不是相反数； B选项、，，两数相等，不是相反数． C选项、，与只有符号不同，两数互为相反数． D选项、，两数相等，不是相反数． 2．下面说法：①无限小数都是无理数；②正数的立方根一定是正数；③；④实数包括有理数和无理数．其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个判断四条说法的正误，统计正确说法的数量，选出对应选项． 【详解】解：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数（或无限不循环小数是无理数），故①错误． 正数的立方根是正数，②正确． ，③错误． 实数分为有理数和无理数，④正确． 正确的有②④，共2个． 3．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较四个实数的绝对值的大小即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，，，中，距离原点最远的数是. 4．下列说法：绝对值等于它本身的数是0、1；若，则互为相反数；近似数万精确到十分位；其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据绝对值性质判断①，绝对值等于本身的数是所有非负数，不止 0 和 1，故①错误；由推出，满足相反数定义，故②正确；把 9.7 万还原为 97000，确定 7 在千位，该近似数精确到千位，故③错误；统计正确说法数量即可得出结论． 【详解】解：分析：绝对值等于它本身的数是非负数，即 0 和所有正数，不只是 0、1．所以①错误． 分析：，，，所以、互为相反数，②正确． 分析：，数字 7 在千位，近似数 万精确到千位，不是十分位，所以③错误． 综上，只有 1 个说法正确． 二、填空题 5．比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．用四舍五入法对精确到得到的近似数为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 本题精确到，只需要对万分位上的数字进行四舍五入即可， 【详解】解：精确到得到的近似数为， 故答案为：． 7．如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由题意可得，正方形的边长为2，则正方形的面积为4，设正方形的对角线长为，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为2， ∴正方形的面积为， 设正方形的对角线长为， ∴， ∴， ∴点可以看作表示4的点向左平移个单位长度得到的，即点表示的数是． 三、解答题 8．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④…（每相邻两个之间的个数逐渐多），⑤，⑥ 有理数集合：{_________________…}；无理数集合：{_________________…}； 正实数集合：{_________________…}；整数集合：{___________________…}． 【答案】有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…} 【详解】解：是无理数，是正实数， 是有理数，是正实数， 是有理数， …（每相邻两个之间的个数逐渐多），是无理数，是正实数， 是有理数，是整数， ，是有理数，是正实数，是整数， ∴有理数集合：{②③⑤⑥…}；无理数集合：{①④…}； 正实数集合：{①②④⑥…}；整数集合：{⑤⑥…}． 9．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)正方形的边长为，的长在2和3之间 (2) 【分析】（1）根据正方形面积求出边长，进而求出结论； （2）根据实数与数轴上的点的关系得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， ， ， 的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，， 则点在数轴上表示的数为：． 10．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $