第2章 实数的初步认识 讲义-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了实数的初步认识体系，将平方根、算术平方根、立方根的定义性质，无理数的三种类型，实数与数轴的对应关系等要点按“概念-性质-运算”逻辑组织，突出平方根与立方根的性质对比及实数运算的法则。 讲义亮点在于“概念辨析+实际应用”的练习设计，如通过“正数平方根互为相反数”求参数（第7题），结合刹车距离公式估算车速（第20题），培养运算能力和应用意识。基础题巩固概念，综合题提升推理，参考答案详细解析助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学。

第2章实数的初步认识讲义-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 知识梳理 平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 跟踪训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•南平二模）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 2．（2025秋•永春县期末）25的平方根是（　　） A． B．± C．±5 D．5 3．（2025秋•长乐区期末）数m，n在数轴上如图所示，则下列最可能表示数m+n的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（2026春•岷县期末）下列说法不正确的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．（﹣6）2的平方根﹣6 D．（﹣3）3的立方根﹣3 5．（2026•河西区模拟）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．（2026•南京一模）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　） A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm 7．（2026春•利州区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 8．（2026•涪城区一模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 二．填空题（共8小题） 9．（2026•沛县三模）计算　 　 ． 10．（2026•郴州一模）比较大小： 　 　 3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 11．（2026•肃南县校级开学）升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是18000cm3，高是60cm，则这个升降阻车器的底面半径为　 　 cm．（π取3） 12．（2026春•东莞市校级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是　 　 ． 13．（2025秋•钢城区期末）写出一个比大且比小的整数　 　 ． 14．（2026秋•同步）数轴上点A表示的数是1，点B、C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是　 　 ． 15．（2026春•仙游县月考）已知，，那么0.17201的算术平方根约是　 　 ． 16．（2026春•宜昌期中）将、、、、…按如图方式排列，若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，若在（a，b），则a﹣b的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 17．（2026•吉首市模拟）计算：． 18．（2026春•鞍山期中）求下列各式x的值． （1）4x2﹣25＝0； （2）27（x﹣2）3﹣8＝0． 19．（2026春•五华区校级期中）已知5a﹣2的立方根是2，6a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分， （1）求a，b，c的值； （2）求4a﹣b+2c的平方根． 20．（2025秋•浦东新区校级月考）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 21．（2025秋•范县校级期末）阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后，得到的差就是小数部分，于是的小数部分为1．请解答下列问题： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （2）如果7的小数部分为a，7的小数部分为b，若（x+1）2＝a+b，求x的值． 第2章实数的初步认识讲义-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•南平二模）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 【解答】解：在，，0.213，中，无理数是， 故选：A． 2．（2025秋•永春县期末）25的平方根是（　　） A． B．± C．±5 D．5 【解答】解：∵（±5）2＝25， ∴25的平方根是±5． 故选：C． 3．（2025秋•长乐区期末）数m，n在数轴上如图所示，则下列最可能表示数m+n的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】解：观察数轴可知，n＜0，m＞0，且|n|＞|m|， ∴m+n＜0， ∴可能表示数m+n的点是C． 故选：C． 4．（2026春•岷县期末）下列说法不正确的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．（﹣6）2的平方根﹣6 D．（﹣3）3的立方根﹣3 【解答】解：4是16的算术平方根，故A正确，不符合要求； 是的一个平方根，故B正确，不符合要求； （﹣6）2的平方根是±6，故C错误，符合要求； （﹣3）3的立方根﹣3故D正确，不符合要求． 故选：C． 5．（2026•河西区模拟）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在2到3之间． 故选：A． 6．（2026•南京一模）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　） A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm 【解答】解：ρ＝55， 故选：B． 7．（2026春•利州区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 【解答】解：∵一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7， ∴2n+1+n﹣7＝0， 3n﹣6＝0， 3n＝6， n＝2， ∴2n+1＝2×2+1＝4+1＝5， ∴正数m的值为：52＝25， 故选：D． 8．（2026•涪城区一模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5， 那么其边长在1到之间， 则其边长为， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2026•沛县三模）计算　﹣2　 ． 【解答】解：2， 故答案为：﹣2． 10．（2026•郴州一模）比较大小： 　＜　 3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 【解答】解：∵6＜9， ∴3． 故答案为：＜． 11．（2026•肃南县校级开学）升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是18000cm3，高是60cm，则这个升降阻车器的底面半径为　10　 cm．（π取3） 【解答】解：已知一个圆柱形升降阻车器的体积是18000cm3，高是60cm， 设这个升降阻车器的底面半径为rcm， 将V＝18000，h＝60，π＝3，代入公式V＝πr2h得3×r2×60＝18000， 化简得180r2＝18000， r2＝100， ∴r＝10． 故答案为：10． 12．（2026春•东莞市校级期中）如图，在数轴上点A表示的实数是　　 ． 【解答】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为2和1．则：斜边长为． 由作图痕迹可知，点A到原点的距离等于斜边长，即． 因为点A位于原点的左侧，所以点A表示的实数为． 故答案为：． 13．（2025秋•钢城区期末）写出一个比大且比小的整数　2　 ． 【解答】解：∵，即， ∴， ∴比大且比小的整数是2． 故答案为：2． 14．（2026秋•同步）数轴上点A表示的数是1，点B、C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是　　 ． 【解答】解：因为点A表示的数是1，点B表示的数是， 所以． 因为点B，点C，到点A的距离相等， 所以， 所以点C表示的数是． 故答案为：． 15．（2026春•仙游县月考）已知，，那么0.17201的算术平方根约是　0.4147　 ． 【解答】解：0.17201的算术平方根是0.4147， 故答案为：0.4147． 16．（2026春•宜昌期中）将、、、、…按如图方式排列，若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，若在（a，b），则a﹣b的值为　﹣43　 ． 【解答】解：由题知， 第1排数的个数为：1＝12； 前2排数的总数为：1+3＝22； 前3排数的总数为：1+3+5＝32； …， 所以前n排数的总数为n2，且第n排有（2n﹣1）个数． 当n＝45时，n2＝452＝2025，2n﹣1＝2×45﹣1＝89， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第46排有2×46﹣1＝91个数，且从右到左依次减小， 则a＝46，b＝91﹣（2028﹣2025）+1＝89， 所以a﹣b＝46﹣89＝﹣43． 故答案为：﹣43． 三．解答题（共5小题） 17．（2026•吉首市模拟）计算：． 【解答】解：∵6＞4， ∴， ∴， ∴原式 ． 18．（2026春•鞍山期中）求下列各式x的值． （1）4x2﹣25＝0； （2）27（x﹣2）3﹣8＝0． 【解答】解：（1）原方程可变形为：4x2＝25， x2， ∴x＝±； （2）原方程可变形为：（x﹣2）3， ∴x﹣2， ∴x． 19．（2026春•五华区校级期中）已知5a﹣2的立方根是2，6a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分， （1）求a，b，c的值； （2）求4a﹣b+2c的平方根． 【解答】解：（1）由条件可知5a﹣2＝8，6a+b﹣1＝16， 解得a＝2，b＝5． ∵9＜11＜16，c是的整数部分， ∴， ∴c＝3； （2）4a﹣b+2c＝4×2﹣5+2×3＝9， 所以9的平方根是±3． 20．（2025秋•浦东新区校级月考）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【解答】解：由条件可得： v＝16128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 21．（2025秋•范县校级期末）阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后，得到的差就是小数部分，于是的小数部分为1．请解答下列问题： （1）的整数部分是 　2　 ，小数部分是 　2　 ； （2）如果7的小数部分为a，7的小数部分为b，若（x+1）2＝a+b，求x的值． 【解答】解：（1）∵23， ∴，的整数部分为2，小数部分为2． 故答案为：2，2； （2）∵， ∴， ∴的整数部分为10， ∴． ∵的整数部分为3， ∴， ∴， ∴（x+1）2＝1， 两边开平方，得x+1＝1或x+1＝﹣1， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $