专题05立方根.实数与近似值暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题05立方根.实数与近似值暑假预习讲义 ·理解立方根的定义、符号表示，对比平方根掌握立方根独有性质，会求任意实数的立方根。 ·分清平方根与立方根的区别，熟记公式 =，能简单化简含立方根的式子。 ·了解无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数，掌握实数分类方法。 ·知道实数与数轴上的点一一对应，理解实数范围内相反数、绝对值、倒数的含义。 ·掌握近似数、近似值、精确度的概念，能按要求取近似值，看懂并运用四舍五入法。 ·初步会在实数范围内进行简单大小比较与基础运算，标记预习中不懂的问题，带着疑问听课。 核心知识 点梳理 1.立方根的定义与性质 2.立方根与平方根的区别 3.无理数 4.开立方 5.实数的概念与性质 6.实数与数轴 7.实数的相关概念 8.实数的大小比较 9.实数的运算 10.近似值 常考题型 精讲精练 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 3.由一个数的立方根求这个数 4与立方根有关的规律探索. 5.立方根的实际应用 6.算术平方根和立方根的综合应用 7.无理数 8.无理数的大小估算 9.无理数整数部分的有关计算 10.实数概念理解 11.实数的分类 12.实数的性质 13.实数与数轴 14.实数的大小比较 15.程序设计与实数运算 16.计算器-平方根和立方根 17.求一个数的近似数 18.求近似数的精确度 强化题型 解答题10题 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 题型10.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点11.高频易错点 1.混淆平方根、立方根：负数不能开平方，但可以开立方； 2.误认为带根号都是无理数：如 =2 是有理数； 3.判断有效数字时，忽略中间的 0、只看末尾 0； 4.取近似值时，不先定位数位，直接乱取舍； 5.化简 忘记加绝对值，和=a 混淆； 6.比较无理数大小时，不平方 / 立方直接比较。 题型1.立方根概念理解 【典例】一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 【跟踪专练2】如果  ，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， 故选B； 【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解． 题型2.求一个数的立方根 【典例】8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 【跟踪专练1】计算_______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．先分别计算立方根和算术平方根，再进行加法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得，求得m值，再计算的值，再求立方根即可． 本题考查平方根，立方根，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 【详解】解：一个正数a的两个平方根是和， ， 解得． 故 故 的立方根是． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的算术平方根是5 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，需根据相关定义逐一分析各选项的正误，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是负数，负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、，即64的立方根是4，故原说法正确，符合题意； C、当时，，，也满足，故原说法错误，不符合题意； D、，故的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型3.由一个数的立方根求这个数 【典例】已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 【跟踪专练1】若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 【跟踪专练2】若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 【跟踪专练3】已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 题型4与立方根有关的规律探索. 【典例】已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 【跟踪专练1】已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 题型5.立方根的实际应用 【典例】如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 【跟踪专练1】若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为________． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 【跟踪专练2】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键． 【跟踪专练1】已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5 ∴ ∴①+②： ∴=16 ∴的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根． 【跟踪专练2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 题型7.无理数 【典例】下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、符合定义，是无理数，故本选项符合题意； C、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 【跟踪专练1】在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个． 【答案】2 【分析】根据无理数的定义，逐个判断每个实数： 是有理数； 是无理数； 是无理数； 是有理数；0 是有理数； 是有理数，因此无理数有 2 个 【详解】- 是分数，分子和分母都是整数，因此属于有理数； - 是无理数， 是无理数，因为有理数与无理数之和为无理数； - = = ， 是无理数，因此 是无理数； - = -4，是整数，因此属于有理数； - 0 是整数，因此属于有理数； - 是循环小数，可化为分数 ，因此属于有理数； 无理数有 2 个， 故答案为2 【跟踪专练2】在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数． 【详解】解：、、、0、3.1415是有理数， 、、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数， 故选：A． 题型8.无理数的大小估算 【典例】估算值的大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即． 【跟踪专练1】如果为两个连续的正整数，则___________； 【答案】3 【分析】先估算出的取值范围，再推得的取值范围，根据，是连续正整数确定，的值，代入计算即可． 【详解】解： ，即 ∴ ，且为两个连续的正整数 ， ． 【跟踪专练2】如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 【跟踪专练3】“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键 根据调日法规则，新分数由不足近似分数和过剩近似分数的分子之和与分母之和的比得到，再比较新分数与的大小以确定更新方向． 【详解】解：第4次调试时，不足近似分数为，过剩近似分数为，新分数A的计算为，其小数形式为3.625． ∵，且，即新分数大于， ∴新分数为过剩近似分数．更新后，不足近似分数保持不变，过剩近似分数更新为， ∴更新范围B为． 故答案为：，． 题型9.无理数整数部分的有关计算 【典例】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【跟踪专练1】已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值． 先求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【答案】21或5 【分析】本题考查了平方根，估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据平方根的定义求出的值，估算出的范围，求出、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是4的平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 同理， ∵是的整数部分， ∴， ∴或， 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，再根据非负数的和为零，求出a、b，然后把确定的值代入计算即可解决问题. 【详解】解：∵x是的整数部分，y是的小数部分，且 ∴ ， ∵ ∴， 解得：， ∴原式 ∴是0或4. 故选：C. 题型10.实数概念理解 【典例】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值． 题型11.实数的分类 【典例】下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，实数的分类，实数大小比较，算术平方根的概念，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A ∵0不能作为分母，∴0没有倒数，A错误； 选项B ∵是无理数，∴也是无理数，分数属于有理数，因此不是分数，B错误； 选项C ∵，，且，，，∴，C正确； 选项D 表示的算术平方根，∴，不是，D错误． 综上，答案选C． 【跟踪专练1】在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 【跟踪专练2】在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 【跟踪专练3】在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，实数的分类，零次幂等知识点，根据“整数和分数统称为有理数”，进行解答即可． 【详解】解：，，， 在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数有、、，一共3个． 故选：B． 题型12.实数的性质 【典例】实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的相反数，一般地，数的相反数是．根据相反数的意义即可求得结果． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：A． 【跟踪专练1】计算________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，无理数的大小比较，解题的关键是掌握以上性质． 比较与3的大小，可知，因此绝对值化简为． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【答案】13 【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可． 【详解】因为， 解得， 代入得到， 所以， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键． 【跟踪专练3】若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 题型13.实数与数轴 【典例】如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 【跟踪专练3】如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 题型14.实数的大小比较 【典例】在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 【跟踪专练1】比较大小：①________；②________． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部以及判断根式的大致范围是解题的关键． 对于①，通过平方比较两数的大小；对于②，通过比较分子的大小来判断分数的大小． 【详解】解：①比较和： ∵，， ∵， ∴； ②比较和： 由于分母相同，比较分子和， 计算， 因为，所以，即， 因此； 故答案为：；． 【跟踪专练2】下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，先取各数的近似值，然后计算比较大小解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 最小的是， 故选：D． 【跟踪专练3】已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 题型15.程序设计与实数运算 【典例】如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 【答案】 【分析】先求的算术平方根，判断结果为有理数，再重新求算术平方根，重复计算，到结果为无理数输出即可． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是无理数，输出， ∴输出的值是． 【跟踪专练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 题型16.计算器-平方根和立方根 【典例】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 【跟踪专练1】用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练2】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 题型17.求一个数的近似数 【典例】长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求近似数． 依据四舍五入规则，将数精确到（即十分位），通过观察百分位数字进行取舍即可． 【详解】解：∵的百分位数字为2，且， ∴根据四舍五入规则，舍去百分位及后续数位的数字，得到结果为． 故选：B． 【跟踪专练1】用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 18.求近似数的精确度 【典例】下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 【跟踪专练1】近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 【答案】 百 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 【详解】解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 【跟踪专练2】近似数“万”精确到了（    ） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题考查了求近似数．近似数“万”表示，数字部分精确到百分位，但单位“万”缩放精确度，实际精确到百位． 【详解】解：∵“万”中数字部分精确到百分位，即，单位“万”， ∴精确度，即百位． ∴精确到了百位． 故选：C． 【跟踪专练3】如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为________． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 【答案】6分 【分析】本题考查相反数，绝对值，平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握几个定义的性质及熟知平方根与立方根相等的是．根据相反数，绝对值，平方根和立方根的定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：1．的相反数为，说法正确； 2．的绝对值为，说法正确； 3．，原说法错误； 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.030，原说法错误； 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，说法正确； ∴嘉琪的得分为分， 故答案为：分． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 分别计算乘方、算术平方根、立方根和绝对值，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求出x、y的值，然后代入求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得． ∵27的立方根是3，的立方根是3， ∴， ∴． ∴的平方根是． 3．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016 (2)，， (3)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1） (4)0，，1016 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、化简多重符号、实数的分类． （1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）根据负有理数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可； （4）根据非负整数的定义作答即可． 【详解】（1）解：，，， 整数集合：{0，，，，1016…}； 故答案为：0，，，，1016； （2）解：，，， 负有理数集合：{，，…}； 故答案为：，，； （3）解：，，， 无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）…}； 故答案为：，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； （4）解：，，， 非负整数集合：{0，，1016…}． 故答案为：0，，1016． 4．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 5．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 6．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴；； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 8．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 9．若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【答案】的平方根是，立方根是． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 10．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05立方根.实数与近似值暑假预习讲义 ·理解立方根的定义、符号表示，对比平方根掌握立方根独有性质，会求任意实数的立方根。 ·分清平方根与立方根的区别，熟记公式 =，能简单化简含立方根的式子。 ·了解无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数，掌握实数分类方法。 ·知道实数与数轴上的点一一对应，理解实数范围内相反数、绝对值、倒数的含义。 ·掌握近似数、近似值、精确度的概念，能按要求取近似值，看懂并运用四舍五入法。 ·初步会在实数范围内进行简单大小比较与基础运算，标记预习中不懂的问题，带着疑问听课。 核心知识 点梳理 1.立方根的定义与性质 2.立方根与平方根的区别 3.无理数 4.开立方 5.实数的概念与性质 6.实数与数轴 7.实数的相关概念 8.实数的大小比较 9.实数的运算 10.近似值 常考题型 精讲精练 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 3.由一个数的立方根求这个数 4与立方根有关的规律探索. 5.立方根的实际应用 6.算术平方根和立方根的综合应用 7.无理数 8.无理数的大小估算 9.无理数整数部分的有关计算 10.实数概念理解 11.实数的分类 12.实数的性质 13.实数与数轴 14.实数的大小比较 15.程序设计与实数运算 16.计算器-平方根和立方根 17.求一个数的近似数 18.求近似数的精确度 强化题型 解答题10题 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 题型10.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点11.高频易错点 1.混淆平方根、立方根：负数不能开平方，但可以开立方； 2.误认为带根号都是无理数：如 =2 是有理数； 3.判断有效数字时，忽略中间的 0、只看末尾 0； 4.取近似值时，不先定位数位，直接乱取舍； 5.化简 忘记加绝对值，和=a 混淆； 6.比较无理数大小时，不平方 / 立方直接比较。 题型1.立方根概念理解 【典例】一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【跟踪专练1】式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【跟踪专练2】如果  ，那么_________． 【跟踪专练3】的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 题型2.求一个数的立方根 【典例】8的立方根是（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练1】计算_______． 【跟踪专练2】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．64的立方根是4 C．若，则 D．的算术平方根是5 题型3.由一个数的立方根求这个数 【典例】已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【跟踪专练1】若，则的立方根是__________． 【跟踪专练2】若，，则b的值为________． 【跟踪专练3】已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 题型4与立方根有关的规律探索. 【典例】已知，如果，则_____． 【跟踪专练1】已知，，，，则的立方根是________． 【跟踪专练2】已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 题型5.立方根的实际应用 【典例】如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【跟踪专练1】若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为________． 【跟踪专练2】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【跟踪专练1】已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 【跟踪专练2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 题型7.无理数 【典例】下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个． 【跟踪专练2】在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型8.无理数的大小估算 【典例】估算值的大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果为两个连续的正整数，则___________； 【跟踪专练2】如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【跟踪专练3】“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 题型9.无理数整数部分的有关计算 【典例】若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是______． 【跟踪专练2】已知是4的平方根，是的小数部分，是的整数部分，则代数式_________． 【跟踪专练3】已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 题型10.实数概念理解 【典例】下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【跟踪专练1】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【跟踪专练2】已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型11.实数的分类 【典例】下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【跟踪专练1】在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【跟踪专练2】在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】在实数中：，，，，，0.8080080008…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），有理数的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型12.实数的性质 【典例】实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算________． 【跟踪专练2】已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【跟踪专练3】若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 题型13.实数与数轴 【典例】如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【跟踪专练2】如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 题型14.实数的大小比较 【典例】在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【跟踪专练1】比较大小：①________；②________． 【跟踪专练2】下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型15.程序设计与实数运算 【典例】如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练1】如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 【跟踪专练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 题型16.计算器-平方根和立方根 【典例】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【跟踪专练2】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型17.求一个数的近似数 【典例】长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是______． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 18.求近似数的精确度 【典例】下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【跟踪专练1】近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 【跟踪专练2】近似数“万”精确到了（    ） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【跟踪专练3】如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为________． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根． 3．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 4．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 5．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 6．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 7．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 8．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 9．若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 10．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $