5.1 认识方程 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

5.1 认识方程 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（现行教材）· 第5章 一元一次方程 · 第1课时（满分 100 分） 第一部分 知识梳理 一、什么叫方程 含有未知数的等式叫做方程。像 、、 都是，它们既有未知数，又是等式。 判断时盯住这两条，缺一不可。 有未知数却没有等号； 有等号却没有未知数——都不能叫方程。 二、方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。要检验一个数是不是解，就把它分别代入左边和右边，再比一比。 把 代入 ：左边 = ，与右边相等，所以 是这个方程的解。 ※　方程里有两个未知数时，能使两边相等的是一组值。 中，、 就是它的一个解。 三、尝试检验法 有些方程一眼看不出解，可以先估计 的大致范围，再把范围内的数逐个代进去试。 求 的解：估出 ，依次试 、14、15、16、17，只有 时两边相等，解就是它。 第二部分 典例精讲 例1　下列各式中，哪些是方程？如果是方程，指出方程中的未知数。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（教材） 解：（1）是方程，未知数是 。 （2）不是——它虽然有未知数，但用的是不等号，不是等式。 （3）是方程，未知数有 、 两个。 （4）不是， 里没有未知数。 （5）是方程，未知数是 和 。 例2　根据下面各题中的数量关系，列出一个含未知数的等式。 （1）小明到超市购买 瓶单价为 3 元的水，比购买 支单价为 7 元的笔多花 6 元； （2）如图 1，一个面积为 15 的长方形分成一个正方形和一个宽为 2 的长方形，设分成的正方形的边长为 ； （3）小强、小杰、小明参加投篮比赛，每人投了 20 次。小强投进 10 个球，小杰比小明多投进 2 个，三人平均每人投进 14 个球，设小明投进 个球。（教材） 解：（1）买水的钱比买笔的钱多 6 元，得 。 （2）正方形与长方形的面积和是 15，得 。 （3）三人共投进 个，得 ，即 。 图1 面积为 15 的长方形（教材图 5-1） 例3　判断下列 的值是不是方程 的解：（1）；（2）。（教材） 解：（1） 时，左边 = ，右边 = ，两边不等，所以 不是解。 （2） 时，左边 = ，右边 = ，两边相等，所以 是解。 例4　用尝试检验法求方程 的解。（教材） 思路：先估出 的范围再试，比盲目乱猜快。 解：三人共投进 42 个球，小强投进 10 个，所以 应大于 12；又每人最多投 20 个，所以 应小于 18。 把 依次代入 ： 得 ； 得 ； 得 ； 得 ； 得 。 只有 时两边相等，所以 是方程的解。 例5　已知 是关于 的方程 的解，求 的值。（杭州上城区期末） 解：既然是方程的解，代入后两边就应当相等。把 代入，得 ，解得 。 例6　甲、乙两人同时从 A 地到 B 地，甲每小时行 10 千米，比乙每小时多行 1 千米，结果甲比乙早到半小时。设 A、B 两地间的路程为 千米，列出方程。（杭州萧山区、临平区期末） 解：甲用时 小时，乙用时 小时，甲比乙少用 小时，得 。 ※　乙的速度是 （千米/时），别顺手写成 11。 第三部分 分层训练 共 14 题，满分 100 分。A 组打基础，B 组练能力，C 组做拓展；答案全部集中在第四部分。 A组　基础过关（每小题 5 分，共 40 分） 1.（5分）下列各式中，哪些是方程？如果是方程，指出方程中的未知数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。（教材·作业题） 2.（5分）杭州第 19 届亚运会共开设 40 个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的 3 倍多 4 个。设非奥运项目的个数为 个，则所列方程正确的是（　　）（杭州钱塘区期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（5分）在地球表面以下，每下降 1 km 温度就上升约 10 ℃。假设地表温度是 12 ℃，某矿井内的温度是 18 ℃，设该矿井在地表以下约为 千米处，则可列方程为　　　　　　　　。（杭州滨江区期末） 4.（5分）如果 是方程 的解，那么 的值是　　　　　　。（教材·作业题） 5.（5分）已知 是关于 的方程 的解，则 的值为　　　　　　。（杭州滨江区期末） 6.（5分）甲、乙两人同时从 A 地到 B 地，甲每小时行 10 千米，且甲比乙每小时多行 1 千米，结果甲比乙早到半小时。设 A、B 两地间的路程为 千米，可列方程为（　　）（杭州萧山区、临平区期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.（5分）判断下列 的值是不是方程 的解，并说明理由：（1）；（2）；（3）。（教材·作业题） 8.（5分）《孙子算经》中有一道题：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：每 4 人共乘一车，最终剩余 1 辆车；若每 3 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘。设共有 辆车，可列方程（　　）（杭州上城区期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. B组　能力提升（每小题 10 分，共 40 分） 9.（10分）《九章算术》中记载了这样一题：“今有程传委输（驿站受托运粮），空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返（五天往返三趟）。问太仓去上林几何？”设太仓到上林的距离为 里。请你列出方程，并说说你依据的是哪个相等关系。（杭州拱墅区期末，改编） 10.（10分）如图 2，天平的左盘放着 3 个乒乓球，右盘放着 5.7 g 的砝码和 1 个乒乓球，天平恰好平衡。设 1 个乒乓球的质量为 （g），请列出一个含有未知数 的方程，并说明你依据的相等关系。（教材·作业题） 图2 天平（教材作业题第 3 题） 11.（10分）有一批生产桌椅的木料，每块木料都相同。已知一块木料可以生产桌子 2 张或椅子 5 把。如何分配 78 块这样的木料，才能使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配 4 把椅子）？请你设未知数、列出方程。（杭州滨江区期末） 12.（10分）某次高铁列车把速度从 250 千米/时提高到 350 千米/时，运行时间可以缩短 49 分钟。设速度提高后从上海到北京需要 小时，请列出一个含未知数 的方程。（教材·课内练习） C组　拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 13.（10分）《算法统宗》中有这样一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。”大意是：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两。设有银子 两、人数 人，则下列方程正确的是（　　）　① ；② ；③ ；④ 。（杭州上城区期末） A. ①③　　B. ②④　　C. ②③　　D. ①④ 14.（10分）若关于 的方程 的解是正整数，求自然数 的所有值。（改编） （提示：先猜一猜 可能是哪些正整数，再用尝试检验的方法逐个验证，别直接去解方程。） 第四部分 参考答案 （答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例6】 例1（1）（3）（5）是方程，未知数分别是 ， 和 ， 和 ；（2）3x≠5 用不等号，（4）7+2=2+7 没有未知数，都不是方程。 例2（1）；（2）；（3）。 例3x=1 是方程的解，x=3 不是。 例4x=15。 例5。把 代入得 ，移项合并得 。 例6。甲用时 ，乙用时 ，甲比乙少用半小时。 A组　基础过关 1．①②④⑤⑥ 是方程，未知数依次是 、、、、 和 ；③ 只有式子没有等号，不是方程。 2．A奥运项目数为 ，由“奥运项目数 + 非奥运项目数 = 40”得 。 3．。地表温度 12 ℃ 加上下降升温 ℃，等于井内温度 18 ℃。 4．。把 代入得 。 5．。把 代入得 ，整理得 ，解得 。 6．D乙每小时行 千米，甲比乙少用 小时。 7．（1）是：左边 = ，右边 = ，两边相等；（2）不是：左边 = 4，右边 = 7；（3）是：左边 = 9，右边 = 。 8．C每 4 人一车空出 1 辆，人数为 ；每 3 人一车多出 9 人，人数为 ，两者相等。 B组　能力提升 9．设距离为 里。依据“空车、重车各行的时间加起来是 5 天÷3 趟”，得 。 10．。依据是天平平衡：左盘 3 个球共 g，右盘共 g，两边质量相等。 11．设用 块木料生产桌子，则用 块生产椅子。桌子共 张，椅子共 把，由“一张桌子配 4 把椅子”得 。 12．全程是 千米，所以提高前需 小时，比提高后多 小时，得 （即 ）。 C组　拓展探究 13．A①用人数列式：每人 7 两余 4 两、每人 9 两差 8 两，人数都是 与 ，故 正确；②把“余”写成了减、把“差”写成了加；用银子数反推人数时，④又把分子里的 4、8 放反了。 14．用尝试检验法逐个试 的正整数值： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，不是自然数，舍去； 再大， 就是负数了。所以自然数 的所有值是 、、。 / 学科网（北京）股份有限公司 $