5.5 一元一次方程的应用 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

5.5 一元一次方程的应用 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第5章 一元一次方程 · 第5课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、用一元一次方程解决实际问题的一般过程 1. 审题：分析题意，找出题中的数量及其关系； 2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）； 3. 列方程：根据相等关系列出方程； 4. 解方程：求出未知数的值； 5. 检验：检查求得的值是否正确、是否符合实际情形，并作答。 其中，检验的具体过程可以省略不写，但“答”不能漏；所求结果要符合实际意义（人数、件数等应为正整数）。 二、常见的相等关系 · 行程问题：路程 = 速度 × 时间。相遇时，两者所走路程之和 = 总路程；追及时，快者所走路程 − 慢者所走路程 = 追及前两者相距的路程。 · 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间。各部分工作量之和 = 总工作量（当总工作量未知时，常把它看作 1）。 · 销售问题：售价 = 标价 × 折扣；毛利润 = 售价 − 进价；标价 = 进价 ×(1 + 利润率)；毛利率 = 。 · 配套问题：按“配套比”列方程。如 1 张桌子配 4 把椅子，则椅子数 = 4 × 桌子数。 · 调配问题：调出后人数减少、调入后人数增加，但调配前后总人数不变。 · 数字问题：两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字。 三、列方程解应用题的关键 1. 借助示意图（行程、调配）或列表（调配、销售）整理数量关系； 2. 先用文字写出相等关系，再把其中一个未知量设为 x，其余未知量用含 x 的代数式表示； 3. 注意单位统一，并检验结果是否符合实际。 第二部分 典例精讲 例1　票数与销售额（教材例 1）： 每年 9 月 5 日为“中华慈善日”。某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张 30 元，学生享受半价优惠。某场演出共售出 966 张票，收入 25800 元。这场演出共售出学生票多少张？ 【分析】相等关系：全价票张数 + 学生票张数 = 966；全价票总收入 + 学生票总收入 = 25800。 【解答】设售出学生票 x 张，则售出全价票 (966−x) 张。由题意，得 。解得 。答：这场演出共售出学生票 212 张。 【点拨】票数、票价、总票价之间的关系是“票数 × 票价 = 总票价”；学生票的票价是全价票的一半。 例2　工程问题（教材例 2）： 某工程队承包了全长 2400 米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30 个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工 8 米。甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？ 【解答】设乙班组每月施工 x 米，则甲班组每月施工 (x+8) 米。由题意，得 。解得 ，所以 。答：甲班组平均每月施工 44 米，乙班组平均每月施工 36 米。 【点拨】“从两端同时施工”时，两个班组的工作量之和等于隧道全长；工作量 = 每月施工长度 × 施工月数。 例3　相遇问题（教材例 5）： A，B 两地相距 260 千米，甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，相向而行。甲车先出发 1 小时，乙车出发 2 小时后与甲车相遇。已知甲车每小时比乙车少行 5 千米。甲、乙两车的速度分别是多少？ 图1 相遇问题示意图（甲车共行驶 1+2=3 小时，乙车行驶 2 小时） 【分析】如图 1，甲车共行驶 小时，乙车行驶 2 小时；两车所走路程之和等于全程 260 千米。 【解答】设乙车的速度为 x 千米/时，则甲车的速度为 (x−5) 千米/时。由题意，得 。解得 ，所以 。答：甲车的速度是 50 千米/时，乙车的速度是 55 千米/时。 【点拨】相遇问题的核心相等关系是“两者路程之和 = 总路程”；先出发的一方要多算行驶时间。 例4　调配问题（教材例 6）： 学校组织植树活动，已知在甲地植树的有 23 人，在乙地植树的有 17 人。现调 20 人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的 2 倍。应调往甲、乙两地各多少人？ 【解答】设应调往甲地 x 人，则调往乙地 (20−x) 人。由题意，得 ，即 。解得 ，所以 。答：应调往甲地 17 人，乙地 3 人。 【点拨】设调往甲地 x 人，则调往乙地 (20−x) 人；相等关系是“甲地增加后人数 = 2 × 乙地增加后人数”。 例5　销售与毛利率（教材例 7）： 某商店一款无线耳机按进价提高 30% 后标价，再优惠 15 元销售，能获得 20% 的毛利率。销售一副该款耳机所得的毛利润为多少元？ 【分析】相等关系：标价 = 进价 ×(1 + 30%)；售价 = 标价 − 15；售价 × 毛利率 = 售价 − 进价。 【解答】设该款耳机的进价为 x 元，则售价为 [(1+30%)x − 15] 元。由题意，得 。解得 。所以毛利润为 （元）。答：销售一副该款耳机所得的毛利润是 75 元。 【点拨】“毛利率”的分母是售价而不是进价；毛利润 = 售价 − 进价。 例6　集合问题（教材例 8）： 七年级二班有 45 人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多 5 人，两个社都参加的有 20 人。参加书画社的有多少人？ 图2 参加两个社的人数关系示意图 【分析】如图 2，参加书画社的人数 + 参加文学社的人数 − 两个社都参加的人数 = 总人数。 【解答】设参加书画社的有 x 人，则参加文学社的有 (x+5) 人。由题意，得 。解得 。答：参加书画社的有 30 人。 【点拨】当题目中“至少参加一项”时，两类活动重复计算的部分要减去。 例7　配套问题（教材作业题）： 有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子 2 张或椅子 5 把。现有 39 块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配 4 把椅子）？ 【解答】设用 x 块木料生产桌子，则用 (39−x) 块木料生产椅子。由题意，得 ，即 。解得 ，所以 。此时生产桌子 （张），椅子 （把），且 ，恰好配套。答：用 15 块木料生产桌子、24 块木料生产椅子，恰好配套。 【点拨】配套问题的相等关系由“配套比”给出：椅子数 = 4 × 桌子数。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目主要选自近三年杭州市各区期末、期中考试真题（题后标注题源，已去除年份；标注“教材”的为教材原题）。答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）第 19 届亚洲运动会在杭州圆满闭幕。居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10 枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的 5 倍少 9 枚，中国、日本、韩国三个国家共获得 295 枚金牌。求中国获得的金牌数。（杭州拱墅区期末） 2.（5分）某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备。市场调查发现：每套队服比每个足球多 60 元，三套队服与五个足球的费用相等。求足球的单价。（杭州拱墅区锦绣育才教育集团期末） 3.（5分）某校组织七年级全体师生参加社会实践活动。如果单独租用 30 座客车若干辆，会有 15 人没有座位；如果单独租用 45 座客车，可少租 3 辆，且还余 15 个座位。则七年级全体师生共有 ______ 人。（杭州钱塘区期末） 4.（5分）甲每天生产某种零件 80 个，甲生产 3 天后，乙也加入生产同一种零件，再经过 5 天，两人共生产这种零件 940 个。乙每天生产这种零件多少个？（教材课内练习） 5.（5分）有三个数从小到大排列，后一个数比前一个数大 3。已知这三个数的和为 27，求这三个数。（教材作业题） 6.（5分）某高校组织学生志愿者参加活动。第一批志愿者共 26 人，其中去乒乓球赛场的有 10 人，去羽毛球赛场的有 16 人。现再调 10 人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的 2 倍。问应分别调往两个赛场各多少人？（杭州上城区期末） B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）某商店用 70000 元的资金购进 A，B 两种商品共 600 件，进价与标价如下表： 类型　　进价（元/件）　　标价（元/件） A　　　150　　　　　　220 B　　　100　　　　　　150 （1）求 A 商品购进的数量； （2）商店为了促销，决定 A 商品按标价打 8 折、B 商品按标价打 9 折销售。当 600 件商品全部售完时，求商店获得的总利润（总利润 = 总售价 − 总进价）。（杭州西湖区期末） 8.（10分）2025 年元旦期间，某班数学小组对 A，B 两个商场的糖果促销活动进行调研，了解到如下信息： 信息1：A 商场从厂家直接购进甲种糖果 800 千克、乙种糖果 950 千克，共支付 77600 元。已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵 8 元。 信息2：B 商场从厂家购进甲、乙两种糖果，进价与 A 商场相同，并将乙种糖果按进价提高 50% 后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利 9.6 元。 （1）求甲、乙两种糖果每千克的进价； （2）求 B 商场中乙种糖果是打几折售卖的；如果甲种糖果也按这个折扣售卖，每千克可获利 8 元，求甲种糖果的标价。（杭州钱塘区期末） 9.（10分）2025 年动画电影《哪吒之魔童闹海》上映后，全国多个城市票房表现亮眼。下表为甲、乙、丙、丁四个城市该电影的票房，及与当年全国单城市票房冠军的票房对比（单位：万元）： 城市　　　　　　　甲市　　乙市　　丙市　　丁市 该城市票房　　　　3500　　b　　　 4200　　c 冠军票房　　　　　5800　　6500　　4500　　4800 票房差　　　　　　a　　　 −2100　 −300　　d 注：票房差指该城市票房与当年全国单城市票房冠军票房的差。 （1）上表中 a = ______，b = ______； （2）已知四个城市的总票房为 15600 万元，电影票的价格为 35 元/张，求丁市该电影的观影人数为多少万人？（杭州上城区期末） 10.（10分）学校 AI 编程社团开展代码调试任务：若每个小组调试 12 段代码，还剩下 20 段代码未调试；若优化工具参数、提高调试效率，每个小组调试 17 段代码，则总任务多调试了 10 段代码。求该编程社团一共分成多少小组。小方和小西分别用两种思路列方程，请你先理解两人的思路，再选择一种解答： （1）小方：设小组数为 x 个，根据两种方案中调试的代码总量不变列方程； （2）小西：设这批待调试的代码有 y 段，根据编程社团的小组数量不变列方程。（杭州拱墅区期末） 11.（10分）某商场周年庆推出促销活动，优惠方案如下表： 一次购物总金额　　　　　　　优惠措施 不超过 400 元　　　　　　　　不优惠 超过 400 元但不超过 600 元　　按总售价打 9 折 超过 600 元　　　　　　　　　其中 600 元部分打 8 折，超过 600 元的部分打七五折 （1）圆圆一次性购买了 500 多元的商品，付款总额为 495 元，求她所购商品的原价总金额； （2）城城提醒她：花同样的钱，还可以选一些其他商品。求这些其他商品的原价金额。（杭州上城区期末） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）某班元旦迎新年活动购买奖品，计划购买笔记本 20 本、盲盒 30 个，共需 1380 元，其中盲盒比笔记本贵 6 元。 （1）求盲盒和笔记本的单价； （2）后来调整方案，需要购买上面两种奖品共 70 件（奖品单价不变）。班长做完预算后说：“我这次购买这两种奖品需要 1922 元。” 请你用方程知识说明班长的预算肯定算错了。（杭州文澜中学期末） 13.（10分）书店举行购书优惠活动：购书原价不超过 100 元，按原价的九折付款；超过 100 元但不超过 200 元，按原价的八折付款；超过 200 元，按原价的七折付款。小滨两次购书总共付款 211.2 元，第二次购书原价是第一次的 3 倍，求小滨这两次购书原价的总和。（杭州滨江区期末） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1212 张。 例2甲班组 44 米/月，乙班组 36 米/月。 例3甲车 50 千米/时，乙车 55 千米/时。 例4调往甲地 17 人，乙地 3 人。 例575 元。 例630 人。 例715 块木料生产桌子（30 张），24 块木料生产椅子（120 把），恰好配套。 A组 基础过关 1．201 枚。设韩国获得 x 枚，则日本 (x+10) 枚、中国 (5x−9) 枚，由 ，解得 ，所以中国获得 （枚）。 2．90 元。设每个足球 x 元，则每套队服 (x+60) 元，由 ，解得 。 3．345。设租用 30 座客车 x 辆，则人数为 ；由题意得 ，解得 ，所以共有 （人）。 4．60 个。设乙每天生产 x 个，甲共生产 个，故 ，解得 。 5．6，9，12。设中间一个数为 x，则三个数为 、、，由 ，解得 。 6．调往乒乓球赛场 2 人，羽毛球赛场 8 人。设调往乒乓球赛场 x 人，则 ，解得 。 B组 能力提升 7．（1）设购进 A 商品 x 件，则 ，解得 。所以 A 商品 200 件、B 商品 400 件。 （2）总售价为 （元），总利润为 （元）。 8．（1）设甲种糖果每千克进价 x 元，则 ，解得 。所以甲种每千克 40 元、乙种每千克 48 元。 （2）乙种糖果标价为 （元），打折后售价为 （元），折扣为 ，即打八折。设甲种糖果标价为 a 元，则 ，解得 （元）。 9．（1）a = −2300，b = 4400。 （2）丁市票房为 （万元），观影人数为 （人），即 100 万人。 10．6 个小组。 （1）由 ，解得 。 （2）由 ，即 ，解得 ，所以小组数为 （个）。 11．（1）设原价总额为 x 元。因购买 500 多元，按 9 折付款，由 得 （元）。 （2）设其他商品原价总额为 y 元，则走“超过 600 元”的方案：，解得 。所以其他商品的金额为 （元）。 C组 拓展探究 12．（1）设笔记本单价 x 元，则盲盒单价 (x+6) 元，由 解得 。所以笔记本 24 元/本，盲盒 30 元/个。 （2）设购买笔记本 a 本，则盲盒 (70−a) 个，总费用为 （元）。因为 a 为整数，所以 一定是 6 的倍数；而 不是 6 的倍数，无论 a 取何整数都不能等于 1922，所以班长的预算肯定算错了。 13．256 元或 281.6 元。设第一次购书原价为 x 元，则第二次为 3x 元。① 当第一次不超过 100 元、第二次超过 100 元但不超过 200 元时，由 得 ，总价为 （元）；② 当第一次不超过 100 元、第二次超过 200 元时，由 得 ，总价为 （元）。 / 学科网（北京）股份有限公司 $