5.1认识方程 培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“认识方程”，通过基础辨析、情境应用到创新拓展的三阶设计，强化方程概念理解与建模能力，培养抽象思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方程定义、一元一次方程概念|选择填空聚焦概念辨析（如方程判定、解的验证），夯实符号意识| |中档层|列方程、简单求解|解答题结合生活情境（如截木条、年龄问题），培养推理能力与模型意识| |提升层|综合应用与新定义|以“鸡兔同笼”“定值方程”等问题，深化数学建模与创新思维，体现应用意识|

5.1认识方程 培优测试 一、选择题（每题3分，共27分） 1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（　　） A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤ 2．根据下面所给条件，能列出方程的是（　　） A．一个数的是6 B．x与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% 3．对于等式： ，下列说法正确的是（　　） A．不是方程 B．是方程，其解只有2 C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2 4．下列各式中，是一元一次方程的有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．按如图所示的运算程序：若输入x的值是29，则输出结果是（　　） A．257 B．261 C．286 D．293 7．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C． D． 8．已知方程是关于x的一元一次方程，则（　　） A．2 B． C． D． 9．方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题（每题4分，共24分） 10．观察方程 ， ， ， 的未知数的个数和未知数的次数，从这些方程的共同特征，可以将它们称为　 　． 11．《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍，被视为“算经之首”．其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈三百．问人数，金价各几何？其大意是，假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余300钱．问人数，金价各是多少？如果设有x个人，根据题意所列方程为　 　． 12．《莱因德纸草书》是古埃及培训年轻抄写员时可能使用的问题合集，其中记载了下列一个简单的问题：一个量与它的一半及它的三分之一加在一起变成10.若设这个量为x，则根据题意可列出方程　 　. 13． 若方程是关于的一元一次方程，则　 　 ． 14．若关于x的一元一次方程的解是负数，则m的取值范围是　 　． 15．已知关于x的方程的解为，则代数式的值是　 　． 三、解答题（共8题，共69分） 16．七年级上册11.1.1一元一次方程 同步练习）某校七年级的一名学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道题只看到如下字样：“甲、乙两地相距120千米”，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时， ？请你将这道题补充完整，并列出方程． 17．根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程． （1）从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段为多少？ （2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？” 18．（湘教版七年级数学上册 3.1建立一元一次方程模型 同步练习）已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程. （1）求m和x的值. （2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值. 19．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程. （1）求m的值及方程的解. （2）求代数式 的值. 20．已知方程是关于x的一元一次方程. （1）求代数式的值； （2）求关于y的方程的解. 21．已知 是关于x的一元一次方程. （1）求m的值； （2）若 ，求出y的值； （3）若数a满足 ，试化简： . 22．学校计划购买6张“双鱼”牌乒乓球桌和a副“红双喜”牌乒乓球拍（不少于6副）． A、B两家体育商品店的价格相同，球桌每张1000元，球拍每副200元．A店优惠政策是每买一张乒乓球桌，送一副球拍；B店的优惠政策为所有商品打八五折． （1）规定只能到其中一个店购买乒乓球桌和乒乓球拍，请分别用含a的代数式表示在A、B两家体育商品店购买这些物品所需的费用，并化简． （2）若到A、B两家店购买，所需费用相等，求a的值． 23．我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b-a，则称该方程为“定值方程”.例如：2x=4的解为x=2=4-2，则该方程2x=4是“定值方程”.请根据上述规定解答下列问题： （1）判断方程4x=6　 　（回答“是”或“不是”）“定值方程”； （2）若a=3，有符合要求的“定值方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由. （3）若关于x的一元一次方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是“定值方程”， 求代数式5-3m+3n的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】方程的定义及分类 【解析】【解答】解：含有未知数的等式叫做方程， ①是方程； ②，不含有未知数，故不是方程； ③不是等式，故不是方程； ④是方程； ⑤是方程； ⑥不是等式，故不是方程； 故方程有：①④⑤. 故答案为：C． 【分析】方程的概念：含有未知数的等式就叫做方程，判断一个式子是不是方程主要看两个方面：一是是否含有未知数，二是看是不是等式，同时满足这两个条件即是方程. 2．【答案】A 【知识点】方程的定义及分类；列一元一次方程 【解析】【解答】A. 一个数的是6，设这个数为x，则有 ，是方程，故符合题意； B. x与1的差的，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意； C. 甲数的2倍与乙数的，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，y，不是方程，故不符合题意； D. a与b的和的60％，根据题意列式为： ，不是方程，故不符合题意， 故答案为：A. 【分析】根据条件列出代数式，再根据方程的定义判断即可。 3．【答案】D 【知识点】一元一次方程的解；方程的定义及分类 【解析】【解答】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程， （1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2； （2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0． 故答案为：D． 【分析】含有未知数的等式叫做方程，能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，据此逐一判断即可. 4．【答案】C 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【解答】解：（1）是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； （2）12-x是多项式，不是方程，故此选项不符合题意； （3）2+3=5x只含有一个未知数，且未知数项的次数是1的整式方程，所以此方程是一元一次方程，故此选项符合题意； （4）x-y=3是方程，但含有两个未知数，是二元一次方程，故此选项不符合题意； （5）t=1只含有一个未知数，且未知数项的次数是1的整式方程，所以此方程是一元一次方程，故此选项符合题意. 故答案为：C. 【分析】只含有一个未知数，且未知数项的次数是1的整式方程就是一元一次方程，据此一一判断得出答案. 5．【答案】D 【知识点】列一元一次方程 【解析】【解答】解：设鸡有x只，则兔子有（35-x）只， 根据题意可得：， 故答案为：D． 【分析】设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，根据题意列出方程即可． 6．【答案】A 【知识点】一元一次方程的解；列一元一次方程 【解析】【解答】输入29，计算，3×29-1=86＜251，进入循环，输入86，计算3×86-1=257＞251，选择是，输出结果257. 故答案为A. 【分析】本题考查运算程序的计算选择。按照要求计算，按结果是否符合，选择进入循环，还是输出即可。 7．【答案】D 【知识点】列一元一次方程 【解析】【解答】当快马追上慢马的时候，此时快马所行时间为x天，慢马因为先行12天，因此所用时间为（x+12）天.因为两种马所行的路程相等，所以可列方程为：240x=150（x+12）. 故答案为：D. 【分析】根据快马追上慢马时，两种马所行的路程相等列出方程即可. 8．【答案】C 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【解答】∵方程（m-2）x|m|-1+7＝0是关于x的一元一次方程， ∴ ∴m＝-2 故答案为：C 【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可 9．【答案】A 【知识点】一元一次方程的解 【解析】【解答】将x＝2代入方程，得：-3（★-9）＝10-1， 解得：★＝6， 即★处的数字是6． 故答案为：A． 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字 10．【答案】二元五次方程 【知识点】方程的定义及分类 【解析】【解答】解：∵ ，有x、y两个未知数，x5是5次项 ； ，有x、y两个未知数，最高次项2x4y 是5次项 ； ，有x、y两个未知数，x5， 2x4y， 2y5都是5次项 ； ， ，有x、y两个未知数，x5是5次项 . ∴都是二元五次方程. 故答案为： 二元五次方程. 【分析】因为这四个方程都有两个未知数x、y，未知数的最高次项都是5，且5次项的系数都不等于0，可知它们都是二元五次方程. 11．【答案】 【知识点】列一元一次方程 【解析】【解答】解：由题意得， 故答案为： 【分析】设有x个人，根据“合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余300钱”即可列出方程。 12．【答案】 【知识点】根据数量关系列方程 【解析】【解答】解：设这个量为x，根据题意可列出方程：， 故答案为：. 【分析】设这个量为x，则它的一半可表示为x，三分之一可表示为x，然后根据加在一起变成10即可列出方程. 13．【答案】2023 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【解答】∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：k=0， ∴， 故答案为：2023. 【分析】先利用一元一次方程的定义求出k的值，再将其代入计算即可. 14．【答案】 【知识点】一元一次方程的解 【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解是负数， ∴x=m-4＜0， ∴m＜4， 故答案为：m＜4. 【分析】根据题意先求出x=m-4＜0，再求解即可。 15．【答案】1 【知识点】代数式求值；一元一次方程的解 【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解为， ∴将x=2代入解得a=2， 当a=2时，， 故答案为：1 【分析】先根据一元一次方程的根即可得到a的值，进而即可得到代数式的值。 16．【答案】解：补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？ 设x小时后两车相遇，依题意得：45x+35x=120 【知识点】根据数量关系列方程 【解析】【分析】开放性的命题，答案不唯一，补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？设x小时后两车相遇，根据相遇问题中的等量关系甲所走的路程+乙所走的路程=总路程即可列出方程。 17．【答案】（1）解：设截下的每段为xcm，根据题意，可列出方程为：60－2x=10， 它是一元一次方程． （2）解：设小红的岁数为x，根据题意可列出方程为：2x+10=30.它是一元一次方程. 【知识点】一元一次方程的概念；根据数量关系列方程 【解析】【分析】（1）设截下的每段为xcm，根据“从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条”即可得到方程； （2）设小红的岁数为x，根据“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数”即可得到方程。 18．【答案】（1）解：∵方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程， 将 代入原方程得 （2）解：将 代入|2n+m|=1得 【知识点】一元一次方程的概念；解含绝对值符号的一元一次方程 【解析】【分析】（1）因为方程为一元一次方程，所以可得（3m-4）=0且（5-3m）≠0，得出m的数值代入原方程，可以解出x的数值。 （2）将（1）中求出的m的数值代入关系式中，可求得n的数值。 19．【答案】（1）解： 方程 是关于 的一元一次方程， 且 ， ， 原一元一次方程化为： ，解得 （2）解：原式 ， 当 时，原式 【知识点】一元一次方程的概念；利用整式的加减运算化简求值 【解析】【分析】（1）根据方程为一元一次方程可得1-m2=0且m+1≠0，求解可得m的值，据此可得一元一次方程，然后求解即可； （2）根据去括号法则、合并同类项法则对原式进行化简，然后将x、m的值代入进行计算. 20．【答案】（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且−（m＋1）≠0， ∴m＝1， 原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4， ∵， 当x＝4时，原式＝； （2）解：方程化为， ∴y＋2＝4或y＋2＝−4， ∴y＝2或y＝−6. 【知识点】一元一次方程的概念 【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元一次方程”并结合题意可得关于m的方程和不等式，解之可得m的值，把m的值代入原方程求出x的值；则代数式的值可求解； （2）把（1）求得的m和x的值代入方程可得关于y的方程，解之可求解. 21．【答案】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， 即 ， 或 ， 或6； （3）解： ，即 ， ， ， ， . 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；一元一次方程的概念 【解析】【分析】(1)根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于0求解；(2)根据绝对值意义转化为两个方程求解；(3)确定a的范围，去绝对值合并. 22．【答案】（1）解：根据题意得：在A店购买：6×1000+200（a﹣6）＝200a+4800； 在B店购买：（6×1000+200a）×0.85＝170a+5100． 答：A、B两家体育商品店购买这些物品所需的费用分别是元、（170a+5100）元． （2）解：根据题意得：200a+4800＝170a+5100， 解得：a＝10． 答：到A、B两家店购买，所需费用相等时a＝10． 【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）根据总价=单价×数量结合两店的促销方案，即可得出A、B两店的费用与a之间的函数关系； （2）根据两店的费用，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出答案。 23．【答案】（1）不是 （2）解：∵a＝3， ∴x＝b−3， ∴b−3＝ ， ∴b＝ ， 即b＝ 时有符合要求的“定值方程”； （3）解：由题可知， ①， 设 ，则 ，解得： ， ∴②， ①－②得： ， ∴5-3m+3n . 【知识点】代数式求值；一元一次方程的解 【解析】【解答】解：（1）∵4x=6， ∴ ， ∵ ， ， ∴4x=6不是定值方程； 故答案为：不是； 【分析】（1）根据 “定值方程” 的定义进行判断即可； （2）当a=3时假设有，根据“定值方程” 的定义可得b−3＝ ，据此求出b值即可； （3） 由2x=mn+m是“定值方程” ，可得 ① ， 由-2x=mn+n是“定值方程” 可得 ② ，利用①-②求出m-n的值，再将原代数式变形为5-3（m-n），然后整体代入计算即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $