上海市宝山区淞谊实验学校2026-2027学年沪教版（五四制）上学期八年级期中数学模拟试卷

上海市宝山区淞谊实验学校2026-2026学年上学期 八年级期中数学模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4分，共24分） 1．下列实数是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 4．下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．设是方程的两个根，且，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 6．已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．的平方根是_______． 8．的倒数是_____． 9．已知，则_______________． 10．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．某种猪瘟病毒的直径为120nm，“120nm”用科学记数法表示为_____m． 11．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是______． 12．最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 13．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____________． 15．已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 16．如图，在四边形 中，，，，，，则 ____． 17．若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形，则称这个长方形为完美长方形．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形（如图），其中标注为1号和2号的正方形的边长分别为x，y，则8号正方形的边长为_____．（用含x，y的代数式表示） 18．如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______． 三、解答题（共72分） 19．计算∶ 20．计算：． 21．解方程：． 22．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0． 23．先化简再求值： ，其中 ． 24．已知关于x 的一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值． 25．已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 26．为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，A，B是小河同侧的两个村庄． (2)如图②，A，B是小河异侧的两个村庄． 27．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 28．（1）如图1，，E是的中点，平分，过E作，垂足为F．求证：． （2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交、于B、D，请猜想、、三者之间的数量关系，并证明． （3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交、于B、D点，且B、D两点都在的同侧．请直接写出、、三者之间的数量关系 ．    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山区淞谊实验学校2026-2026学年上学期 八年级期中数学模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4分，共24分） 1．下列实数是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：3.14，是有理数，是无理数． 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式； B、原式＝，故B是最简二次根式； C、原式＝2，故C不是最简二次根式； D、原式＝，故D不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 3．当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接利用，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选C 4．下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．分别找出各个选项中的，，，求出一元二次方程根判别式的值，然后进行判断即可． 【详解】解：A、，，，，方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、，，，，方程有两个相等的实数根，故此选项不符合题意； C、，，，，方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D、，，，，方程没有实数根，故此选项符合题意； 故选：D． 5．设是方程的两个根，且，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得到，，代入解方程即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 6．已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，证明，根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵点C在线段上， ∴，， ∴， ∴，；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∵，， ∴， ∴；故③正确； 故选D 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．的平方根是_______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 的平方根，即45的平方根为． 故答案为：． 8．的倒数是_____． 【答案】/ 【分析】根据倒数的定义写出所求表达式，再利用平方差公式进行分母有理化化简即可得到结果． 【详解】解：的倒数是： ． 9．已知，则_______________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 10．纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m．某种猪瘟病毒的直径为120nm，“120nm”用科学记数法表示为_____m． 【答案】1.2×10-7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】mm， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再代入不等式，通过移项和有理化分母求解即可． 本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化，熟练掌握解不等式，分母有理化是解题的关键． 【详解】解：由题意，a是3的算术平方根， 故； 故变形得， 故， 移项得， 即， 由， 故 故解集为， 故答案为：． 12．最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，方程有两个实数根，则，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 16．如图，在四边形 中，，，，，，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故四边形的面积为． 故答案为：． 17．若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形，则称这个长方形为完美长方形．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形（如图），其中标注为1号和2号的正方形的边长分别为x，y，则8号正方形的边长为_____．（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解各个正方形的边之间的和差关系是解题的关键．根据各个正方形的边的和差关系分别表示出第3个，第4个，第5个，第6个，第7个，第8个正方形的边长即可． 【详解】解：∵1号和2号的正方形的边长分别为x，y， ∴第3个正方形的边长是：， 则第4个正方形的边长是：； 第5个正方形的边长是：； 第6个正方形的边长是：； 第7个正方形的边长是：； 则第8个正方形的边长是：． 故答案为：． 18．如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为______． 【答案】 【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出，再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为边上的中线，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共72分） 19．计算∶ 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行除法和分母有理化的运算，再进行合并即可，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解： ． 21．解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 于是，得，或， ∴，． 22．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0． 【答案】x1=，x2=． 【详解】试题分析：根据配方法的步骤先把常数项移到右边，一次项移到左边，再把二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，然后进行整理即可． 试题解析： 2x2﹣3x﹣3=0． 2x2﹣3x=3, x2-=, , , , x1=，x2=. 23．先化简再求值： ，其中 ． 【答案】； 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 24．已知关于x 的一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值． 【答案】k的值为3 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，均为所列方程的解， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴舍去， ∴k的值为3． 25．已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意：，即， 解得：； （2）解：由题意可得，即， 解得：． 26．为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，A，B是小河同侧的两个村庄． (2)如图②，A，B是小河异侧的两个村庄． 【答案】(1) 如图①所示． (2) 如图②所示． 【分析】利用垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，（1）连接两个村庄所在的点，作线段的垂直平分线与小河的交点为所求；（2）连接两个村庄所在的点，作线段的垂直平分线与小河的交点为所求． 【详解】（1）（1）略 （2）（2）略 【点睛】本题主要考查尺规作图—作线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线性质,是解题的关键． 27．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 28．（1）如图1，，E是的中点，平分，过E作，垂足为F．求证：． （2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交、于B、D，请猜想、、三者之间的数量关系，并证明． （3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交、于B、D点，且B、D两点都在的同侧．请直接写出、、三者之间的数量关系 ．    【答案】（1）证明：， ， 平分， ， ∴在和中， ， ， ， 是中点， ， ； （2），证明如下： 过点E作于F，如图所示：   ，且， ， 又 是的角平分线，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ； （3） 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，利用可证得，进而可证，再根据中点的性质可证明结论． （2）过点E作于F，根据平行线的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，利用等量代换即可求解． （3）取，连接，根据平行线的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，利用等量代换即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取，连接，如图所示：   是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握基础知识，借助恰当的辅助线，利用等量代换思想解决问题是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $