上海市奉贤区实验中学2026-2027学年沪教版八年级上学期期中考试数学模拟试卷

上海市奉贤区实验中学2026-2027学年八年级上学期 期中考试数学模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．下列实数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 3．下列二次根式中的最简二次根式是(　　) A． B． C． D． 4．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题（每题 4分，共48分） 7．的平方根是 _______． 8．比较大小，填“＞”或“＜”号：_________ 9．已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 10．计算：________． 11．不等式的解集是________． 12．方程x=x的解为_____ 13．若是一元二次方程的其中一个解，则m的值为 _____． 14．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 15．已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 16．已知1天有，那么1天共有________s（用科学记数法表示）． 17．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 18．我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下： 由题意，可知，得． 原方程变形为， ， （舍去）或， ． 已知，参考以上方法，可求得________． 三、解答题（共72分） 19．计算 20．计算：． 21．计算：． 22．解方程∶ 23．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．如图，在的方格中，已知点A，B，C都在格点上．请仅用一把无刻度的直尺按要求作图，分别画出线段的垂直平分线和的平分线．（温馨提示：请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）． 26．如图1是由17个边长均为1的小正方形组成的图形，我们按图2的虚线、将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图2中，拼成的大正方形的面积为______，边的长为______． (2)现将图2水平放置在如图3所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，在图3中画出点E的位置，并求出点E所表示的实数． 27．给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，该点被称为“费马点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故 ， 由 ① （从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空） 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 ② ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ③ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，，，点为平面上任意一点，求的最小值； (3)如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设费用最低为 元．（结果用含a的式子表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市奉贤区实验中学2026-2027学年八年级上学期 期中考试数学模拟试卷 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．下列实数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念，例如：无限不循环小数，开方开不尽的数等． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有无理数，符合题意； D．是有理数，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 【答案】B 【分析】此题考查的是平方根、立方根、算术平方根，直接根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：A、，2的平方根是，故不符合题意； B、是9的平方根，正确，故符合题意； C、25的算术平方根是5，故不符合题意； D、负数有立方根，故不符合题意． 故选：B． 3．下列二次根式中的最简二次根式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、原式=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； C、符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误． 故选C 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 4．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、属于一元二次方程，故A选项符合题意； B、中若，不属于一元二次方程，故B选项不符合题意； C、中有含两个未知数、，不属于一元二次方程，故C选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于一元二次方程，故D选项不符合题意； 故选：A． 5．下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，选项正确； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误； 选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，选项错误； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误． 故选：． 6．已知，则式子化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，熟记绝对值的性质是解题的关键． 二、填空题（每题 4分，共48分） 7．的平方根是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，求分数的平方根，需分别求分子和分母的平方根，再考虑正负值即可． 【详解】解：∵ 且 ， ∴ 的平方根是． 故答案为：． 8．比较大小，填“＞”或“＜”号：_________ 【答案】＜ 【分析】根据-1＞1，即可进行比较． 【详解】∵-1＞1， ∴＞，即＜． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较． 9．已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的性质； 根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴根据同类二次根式的性质有：， 解得． 故答案为： 10．计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先移项，合并同类项，然后将系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 12．方程x=x的解为_____ 【答案】0,1 【分析】移项，用因式分解法解方程即可. 【详解】解：∵x=x2， ∴x2－x=0， ∴x(x-1)=0 ∴x=0或x-1=0, ∴x=0或x=1， 故答案为0，1. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键. 13．若是一元二次方程的其中一个解，则m的值为 _____． 【答案】3 【分析】把代入方程，可得，再由，即可求解． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立是解题的关键． 14．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 15．已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质及算术平方根的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，其中，将待求的算术平方根转化为已知的算术平方根进行计算． 观察可知可分解为与的乘积，而是完全平方数，因此可利用二次根式的性质将转化为，再结合已知的和进行估算． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式的性质，可得： ． ∵，， ∴． 故答案为：． 16．已知1天有，那么1天共有________s（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握“将数表示成，其中，为整数”是解题的关键. 【详解】解：1天秒 化成科学记数法形式： 秒 故答案为： ． 17．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 【答案】或2 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 18．我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下： 由题意，可知，得． 原方程变形为， ， （舍去）或， ． 已知，参考以上方法，可求得________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，参照材料，把原方程变形为，求解即可． 【详解】解∶由题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 解得（舍去）或， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 19．计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先分母有理化，再运用二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 21．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先对二次根式进行化简，然后再分别计算乘法，最后再进行减法运算即可． 【详解】解： 22．解方程∶ 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先去分母、移项将方程变形为，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 变形得， 因式分解，得， 整理，得， ∴或， ∴，． 23．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，等式右边没有同时加4 (2) 正确的解答过程如下： 移项，得． 两边同时除以2，得． 配方，得， 即， ． 故，． 【详解】略 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】0，0 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把整理得，以及把整理得，再运算，即可作答． 【详解】解：， ， 则， 当，时，则． 25．如图，在的方格中，已知点A，B，C都在格点上．请仅用一把无刻度的直尺按要求作图，分别画出线段的垂直平分线和的平分线．（温馨提示：请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）． 【答案】 解：如图，直线，射线即为所求； 【分析】本题考查了使用无刻度的直尺作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 取格点，连接，则直线即为所求，由勾股定理可得，则由线段垂直平分线的判定可得线段的垂直平分线即为直线；由网格特征可得共线，根据勾股定理可得，，则由等腰三角形的性质可得平分． 【详解】略 26．如图1是由17个边长均为1的小正方形组成的图形，我们按图2的虚线、将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图2中，拼成的大正方形的面积为______，边的长为______． (2)现将图2水平放置在如图3所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，在图3中画出点E的位置，并求出点E所表示的实数． 【答案】(1)17， (2)或 【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是： （1）根据17个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【详解】（1）解：∵由17个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为； ∴， ∴， 故答案为：17，； （2）解：∵， ∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或． 27．给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，该点被称为“费马点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故 ， 由 ① （从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空） 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 ② ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ③ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，，，点为平面上任意一点，求的最小值； (3)如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设费用最低为 元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①两点之间线段最短；②；③ (2)13 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3， 若， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． ∴已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故：①两点之间线段最短；②；③． （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为； （3）解：总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $