2.2 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“用因式分解法求解一元二次方程”，通过复习直接开平方法、配方法等已学解法，对比引出因式分解法的适用场景，搭建从方程结构分析到因式分解步骤的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料分层设计基础达标与能力提升，基础部分含知识点判断、解方程及变式训练，能力提升融入跨物理应用（如竖直上抛运动）和综合问题，易错点提示避免失根培养严谨思维，答案解析详细助力自主学习，发展学生推理意识与模型意识，提升数学思维与表达能力。

第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 01基础达标 知识点一 用因式分解法解方程 1. 下列方程能用因式分解法求解的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 3. 整式与的积为，则一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【变式】 4. 以3和为两根的一元二次方程是 （ ）； A. B. C. D. 5. 方程的解为___________． 知识点二 用适当的方法解方程 6. 解方程，最适当的解法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 7. 在下列各题的空格中填写适当的解法： （1）解方程，用________法较简便． （2）解方程，用________法较简便． 8. 用适当的方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 易错点 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 9. 一元二次方程的解为__________． 02能力提升 10. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　 A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 11. 已知k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，则函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【变式】 13. 已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 【跨物理·竖直上抛运动】 14. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过_____秒落回到地面． 15. 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 16. 若规定两个实数a、b通过运算※，得到3ab，即a※b＝3ab，如2※5＝3×2×5＝30． （1）（﹣）※x＝______； （2）若x※x﹣2※x﹣2※4＝0，求x的值． 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 01基础达标 知识点一 用因式分解法解方程 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题可利用题干给出的因式分解结果，用因式分解法求解一元二次方程，依据是若两个因式乘积为，则至少一个因式的值为． 【详解】解：∵ 题干已知 ， ∴ 一元二次方程 可化为 ， 令每个因式等于，得 或 ， 解得 ，． 【变式】 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列式即可. 【详解】设这样的方程为x2+bx+c=0，则根据根与系数的关系可得b=-（3-1）=-2，c=3×（-1）=-3；所以方程是x2-2x-3=0．故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，要求掌握根与系数的关系. 【5题答案】 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 知识点二 用适当的方法解方程 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】观察方程可得左右两边都含有公因式，移项后可提取公因式因式分解，直接将方程降次为一元一次方程求解，步骤最简便，因此最适当的解法为因式分解法. 【详解】解：原方程为， 移项得， 提取公因式可得， 即， 可直接转化为两个一元一次方程求解，计算简便，因此最适当的解法是因式分解法. 【7题答案】 【答案】 ①. 因式分解 ②. 直接开平方 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的不同结构特征，选择合适的简便解法，通过观察方程左右两边的形式特点即可判断. 【详解】（1）对于方程，方程左边可提取公因式因式分解，分解后可直接得到方程的根，计算过程简便，因此用因式分解法较简便. （2）对于方程，方程左边是完全平方形式，右边为正的常数，符合直接开平方法的应用形式，两边直接开平方即可求解，因此用直接开平方法较简便. 【8题答案】 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）方程移项后，左边利用提公因式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解； （3）两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， . ， ，， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【小问3详解】 解：， ， ， , 解得：，． 易错点 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根 【9题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题可通过移项提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 提取公因式得 ， 整理得， ∴或， 解得，． 02能力提升 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据题意得出，，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是0， ∴，， 解得：， 故选：C． 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b， ∴，， ∴函数的图像不经过第二象限， 故选：B． 【12题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【变式】 【13题答案】 【答案】11或13 【解析】 【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可． 【详解】解：x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5＝13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5＝11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故答案为11或13 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键． 【跨物理·竖直上抛运动】 【14题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【详解】解：， 落回地面时， 所以， 解得：或， 因为时间为零时未扔出， 所以舍去． 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2． 【15题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解后，求出方程的解即可； （2）方程左边先因式分解，移项后利用提公因式法因式分解，然后求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： 即， 解得：，； 【小问2详解】 解： 即 ， 解得：，． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算法则进行运算即可； （2）根据新定义运算法则把原方程化为：，再解方程即可得到答案. 【小问1详解】 解： a※b＝3ab， （﹣）※x 故答案为： 【小问2详解】 解： x※x﹣2※x﹣2※4＝0， 即 解得： 【点睛】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”，理解新定义的运算法则是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $