精品解析：江西赣州市上犹县第二中学、四中学校等校联考2026-2027学年九年级上学期第一次综合练习数学试题

九年级数学第一次综合练习 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 点均在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 8. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 9. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 10. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 11. 如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是_______． 12. 抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 用你喜欢的方法解下列方程： （1） （2） 14. 在图1，2所示抛物线中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图1中作出点，使线段最小； （2）在图2中作出点，使点与点关于对称轴对称． 15. 已知二次函数． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 0 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②当时，x的取值范围是______． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的一个根是2，求k的值 （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 17. 在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 19. 2025赛季赣超第12轮展开角逐，鹰潭队坐镇主场迎战景德镇队，吸引了大量观众前往鹰潭奥体中心现场观看比赛。 （1）【赣超效应】比赛期间许多外地游客来鹰潭游玩，经估算，第一天鹰潭接待外地游客约2万人次，第三天接待外地游客约万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】鹰潭龙虎山近年实施保护性开发，古越水街等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元；当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 六、解答题（每题12分，共12分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线． （1）求a的值． （2）若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； （3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次综合练习 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、是关于x的一元二次方程，故该选项满足题意； B、不是整式方程，故该选项不满足题意； C、，当时，其为一元一次方程，故该选项不满足题意； D、，化简后不含有二次项，故该选项不满足题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 点均在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 6. 如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 二、填空题（每题3分，共18分） 7. 已知二次函数 的图象开口向下，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的定义和开口向下，可以求得的值． 【详解】解：二次函数 的图象开口向下， ，， 解得， 故答案为： ． 8. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 9. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 10. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 11. 如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上，其运算结果和这个数相同，列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得， 故这个数为． 12. 抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【详解】解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 用你喜欢的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）此方程无实数根 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 此方程无实数根． 14. 在图1，2所示抛物线中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点平行于轴的直线是它的对称轴，点在对称轴上运动．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图1中作出点，使线段最小； （2）在图2中作出点，使点与点关于对称轴对称． 【答案】（1） 点即为所求： （2） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，轴对称的性质，二次函数的图象与性质． （1）连接与抛物线的对称轴的交点即为点，连接，由抛物线的对称性可得，那么的最小值即为的最小值，再由两点之间线段最短求解； （2）在（1）作图的基础上，连接并延长与抛物线交点即为点，根据抛物线的对称性即可说理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 已知二次函数． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 0 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②当时，x的取值范围是______． 【答案】（1），0 （2）①增大；②或 【解析】 【分析】（1）把和代入求出y的值，再在平面直角坐标系中描出各点，最后用平滑的曲线连接即可； （2）根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把代入得：， 故答案为：，0， 该函数的图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知： ①当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； ②当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的一个根是2，求k的值 （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【答案】（1） （2） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有一个根是2， ∴把代入得， 解得； 【小问2详解】 略 17. 在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）秒或2秒 【解析】 【分析】（1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长． （2）利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，，， 【小问2详解】 解：∵在长方形中，， ∴， 解得：，； 当秒或2秒时，的长度等于. 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】（1） （2）当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 19. 2025赛季赣超第12轮展开角逐，鹰潭队坐镇主场迎战景德镇队，吸引了大量观众前往鹰潭奥体中心现场观看比赛。 （1）【赣超效应】比赛期间许多外地游客来鹰潭游玩，经估算，第一天鹰潭接待外地游客约2万人次，第三天接待外地游客约万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】鹰潭龙虎山近年实施保护性开发，古越水街等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元；当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）售价应降低2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 由题意得： ， 解得 ，（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去）， 答：售价应降低2元． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 22. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 六、解答题（每题12分，共12分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线． （1）求a的值． （2）若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； （3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 【答案】（1） （2）取得最大值为 （3）n的值为或 【解析】 【分析】（1）把代入求出a的值即可； （2）设，得出点的纵坐标为，求出直线的解析式为，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与轴交于点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为：， 设， ∵轴， 点的纵坐标为， 把代入得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，开口向下， 当时，取得最大值为； 【小问3详解】 解：直线向下平移n个单位后的关系式为， 如图，当平移后的直线过点B时，直线与图像G有且只有三个交点， 把代入得：， 解得：； 原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：， 当平移后的直线与抛物线相切时，直线与图象G有且只有三个交点， ∴此时方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 综上分析可知，n的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析，二次函数的最值，一次函数图象的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $