精品解析：江西南昌市第一中学等校2026－2027学年九年级上学期数学第一次检测卷

2026-2027学年九年级数学上学期第一次检测卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】根据题意，得， 所以一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与根的关系是解题的关键．当，一元二次方程有两个不相等的实数根；当，一元二次方程有两个相等的实数根；当，一元二次方程没有实数根． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵在中，二次项系数， ∴开口向下，原说法错误，不符合题意； B、由解析式可得对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； C、∵函数图象开口向下，顶点坐标为， ∴函数有最大值3，原说法错误，不符合题意； D、由解析式可得顶点坐标是，原说法正确，符合题意． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可． 【详解】∵， ∴原抛物线顶点坐标为（1，2）， ∵向右平移1个单位，再向上平移5个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，7）， ∴所得抛物线解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便． 6. 二次函数的部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤对任意实数，不等式总成立．其中正确的结论有_____．（填序号） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 8. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入一元二次方程中，即可求出的值． 【详解】解：将代入一元二次方程中，得到： ， 所以． 9. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 10. 已知二次函数的顶点坐标为，且其图像经过点，则此二次函数的解析式是________________． 【答案】 【解析】 【分析】先设二次函数的解析式为，再代入顶点坐标，点，即可求出二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为，代入顶点坐标， 得到： ， 再代入点，得到 ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 11. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，3，7，不能构成三角形， 当时，三边为3，5，7，能构成三角形． ∴这个三角形的周长为； 故答案为：15． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求得点的坐标为，再得出，当时，利用等腰直角三角形性质可求得点的坐标为，运用待定系数法可得直线的函数表达式为，将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为运用待定系数法可得直线的函数表达式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，则，过点作于点，如图， 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为， 由点，， 设直线的函数表达式为， ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得 ， ∴直线的函数表达式为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象的平移，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，把求两函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题是解题的关键． 三、解答题：（每题6分，共30分，解答题要有必要的文字说明） 13. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 14. 关于的方程有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 【答案】m=1，此时方程的根为x1=x2=1 【解析】 【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有两个相等的实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）=0， 解得：m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 15. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）； （2）当时，自变量的值为或6 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 16. 某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元， （1）求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率， （2）若保持（1）中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元，理由如下： 亿元， ∵， ∴预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意建立方程求出对应的增长率是解题的关键． （1）设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x，根据六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元建立方程求解即可； （2）根据（1）所求结合八月份的工业产值可求出九月份的工业产值，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为； 【小问2详解】 略 17. 已知二次函数． （1）当为何值时，有最值？是多少？ （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）当时，有最大值，最大值为10． （2）当时，取得最小值，最小值，当时，取得最大值，最大值． 【解析】 【分析】（1）先配方成顶点式，即可求解最值． （2）可得对称轴为直线，则时，随的增大而增大，即可求解最值． 【小问1详解】 解：， ， ∴二次函数开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为10． 【小问2详解】 解：由（1）可得对称轴为直线 当时，随的增大而增大， 由知，当时，取得最小值，最小值， 当时，取得最大值，最大值． 四．解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 19. 公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到7月份的销量，该经销商发现进价为30元的品牌头盔4月份到7月份的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 35 40 45 50 销售量（件） 650 600 550 500 （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数是___________（填“一次函数”或“二次函数”），并写出这个函数解析式____________； （2）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过70元，为使月销售利润达到10000元，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? （3）设月销售利润为元，该品牌头盔实际售价定为多少时，月销售利润达到最大值，最大值为多少元． 【答案】（1）一次函数， （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 （3）当时，取最大值，最大值是12250元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据“利润（售价进价）月销量”列一元二次方程，注意售价不超过70元的限制； （3）设月销售利润为元，列出与的二次关系式，用配方法求最大值． 【小问1详解】 解：设． 把、代入得： ， 解得，， ∴． ∴这个函数是一次函数，解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得，． ∵，不符合物价局的规定，舍去， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【小问3详解】 解：设月销售利润为元， 则 ． ∵，且， ∴当时，取最大值，最大值为12250元． ∴该品牌头盔实际售价定为65元/个时，月销售利润达到最大值，最大值为12250元． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用：待定系数法求解析式、列方程解应用题（注意检验所得解是否符合实际限制）、配方法求二次函数的最大值． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 五．解答题（每题9分，共18分） 21. 阅读材料：已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得，， ， 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、满足、，且，求的值． （2）已知实数、满足、，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据题中给出的方法以及根与系数的关系即可求出答案； （2）设，根据题意可知、是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根， ，， ； 【小问2详解】 解：设，则， 将代入，化简得：， 、是方程的两个实数根， ，， ． 22. 如图，抛物线过点，点，交轴于点． （1）求b，c的值； （2）求直线的解析式； （3）点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）当时，的值取最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）把、两点的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求、； （2）由（1）求出点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （3）过点作轴的垂线交于点，以为底、点与点到直线的距离之和为高表示的面积，配方求最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点、， ∴ 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：设点，其中， 过点作轴的垂线，交线段于点， 则， ∴． ∵为水平线段，点、到直线的距离之和为， ∴ ． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为． 六．解答题（12分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形． ①若，，则矩形的面积是_____； ②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____； ③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，它的顶点坐标为． （2）①36；②；③点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点和分别代入，即可求抛物线的函数表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标． （2）①已知，，确定图像的垂直高度与水平宽度，相乘可得矩形的面积； ②已知，矩形的垂直高度，结合抛物线对称性确定点横坐标的取值范围，即可得到水平宽度的取值范围; ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时，第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【小问1详解】 解：将点和分别代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 它的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①：如图1所示， 时， ， 故图像的最低点为， 到最高点之间的距离为： ， 所以矩形一边的长为9， 另一边的长度： ， 所以，矩形的面积： ． ②：如图2所示， ，矩形的垂直高度， 点M关于对称的点，横坐标的值为4， 所以要保证矩形的垂直高度，则，点N的横坐标不能大于4， 同时，点N又要在对称轴的右侧， 所以矩形的水平宽度p的取值最小值为，最大值为， 故范围是． ③：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时， ， （舍去）； 第二种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第三种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第四种情况：当时，， （舍去）； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次检测卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤对任意实数，不等式总成立．其中正确的结论有_____．（填序号） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 8. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____． 9. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 10. 已知二次函数的顶点坐标为，且其图像经过点，则此二次函数的解析式是________________． 11. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 三、解答题：（每题6分，共30分，解答题要有必要的文字说明） 13. 解方程： （1） （2）． 14. 关于的方程有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 15. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 16. 某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216亿元， （1）求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率， （2）若保持（1）中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？请判断并说明理由． 17. 已知二次函数． （1）当为何值时，有最值？是多少？ （2）当时，求函数的最值． 四．解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 19. 公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到7月份的销量，该经销商发现进价为30元的品牌头盔4月份到7月份的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 35 40 45 50 销售量（件） 650 600 550 500 （1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数是___________（填“一次函数”或“二次函数”），并写出这个函数解析式____________； （2）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过70元，为使月销售利润达到10000元，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? （3）设月销售利润为元，该品牌头盔实际售价定为多少时，月销售利润达到最大值，最大值为多少元． 20. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 五．解答题（每题9分，共18分） 21. 阅读材料：已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得，， ， 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、满足、，且，求的值． （2）已知实数、满足、，且，求的值． 22. 如图，抛物线过点，点，交轴于点． （1）求b，c的值； （2）求直线的解析式； （3）点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． 六．解答题（12分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形． ①若，，则矩形的面积是_____； ②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____； ③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $