精品解析：上海市七宝中学2026-2027学年高一上学期10月练习数学试卷

七宝中学2026学年第一学期高一数学10月练习 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写班级、姓名，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为 ，集合 ，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用补集的运算法则可得答案. 【详解】由，得： 补集 . 故答案为： 2. 已知集合，集合，求____________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组，可得交集的元素. 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 3. 关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得， 故不等式的解集为. 4. “若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 5. 已知，，那么的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】用不等式的性质. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则. 故答案为：. 【点睛】此题考查不等式的性质，注意同向不等式可以相加不可以相减. 6. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 7. 已知，若关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，对任意的，，可得出，即可得解. 【详解】由题意可知，关于的不等式无解，即对任意的，， 所以，， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解 【详解】设或，或 若是的必要条件，则 （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时，无解. 综上： 故答案为： 9. 已知关于的不等式的解集为．若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由1不在解集内，分分母为 0、分式值大于 0 两类讨论，解分式不等式后合并参数范围． 【详解】已知，即不满足不等式，则： 时，分母，解得，此时不在定义域内，不属于解集，符合条件； 分式有意义但值大于0，即，等价于，解得或； 综上可得，实数的取值范围是． 10. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为同解不等式，然后根据三种情况来分类讨论，列出相应的不等式，求得的取值范围. 【详解】由题意，不等式可转化为， ①当，即时，不等式解集为， 很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意； ②当，即时， 此时，故， 不等式可转化为， 此时解集为或， 很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意； ③当，即时， 此时，故， 不等式可转化为， 此时解集为， 当时，， 要使原不等式解集中整数恰有4个， 则这4个整数分别为， 所以，解得， 综上所述，可得实数的取值范围是. 11. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，，得到，，从而根据绝对值三角不等式得到，进而即可得到的最大值． 【详解】设，，则，， 又，， 则， 当，且，，，时取等号， 故的最大值为． 12. 已知集合（），满足：对任意，与至少有一个属于．则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先取，得到，从而得到，，，…，，再利用累加法即可得到，进而即可求解． 【详解】由，即集合中的最小元素为，最大元素为， 取，则，则， 则必有，所以， 又， 则， 又（），则，则必有， 又， 所以，，，…，， 令， 则， 即，则， 所以． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可判断ACD；作差法比较大小即可判断B. 【详解】对于A，当时，显然不满足，故A错误； 对于B，， 因为，若，则且，可得，这与矛盾， 所以，且，故， 故，故B正确； 对于C，当时，显然不满足，故C错误； 对于D，当时，满足， 但，显然不成立，故D错误. 故选：B 14. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集可得且，再利用基本不等式可求的最大值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 故且，故. 又， 当且仅当即，即时等号成立. 故选：B. 16. 设有限集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知元素个数均不相同的有限集合，，，…，都是全体正整数集的非空真子集，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有限集合特征值与元素个数的关系。核心是不等式估计： 元集合的特征值 不小于 ，故特征值之和至少为 ，由总和等于 67 得 ；再构造元素个数依次为 1，2，．．．，12 的集合，验证特征值之和恰为 67，验证 可达，故最大值为 12. 【详解】设集合 含有 个元素。对任意 元有限集合 ， 由于 个互不相同的正整数都落在 与 之间（含端点）， 故 即 ，当 时取等号。 因为 是两两不同的正整数，其和最小的情形为 ，所以 于是 若 ，则 ，与条件矛盾，故 取 各集合元素个数分别为 ，两两不同； 对应特征值分别为 ，其和为 满足题意，故 可以达到. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （1）已知 且，用反证法证明： 或 ； （2）已知一元二次方程 的两个不等实根为，且，求实数的值. 【答案】（1）假设且，则，与已知条件矛盾，所以假设不成立，即或； （2） 【解析】 【分析】（1）假设且，推出矛盾即可证明； （2）根据题意利用韦达定理得出两根之和及两根之积的关系式，解方程即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由方程的两根为，得， 解得或； 由韦达定理可得， 所以， 整理可得，解得或（舍去）. 所以. 18. 求下列关于的不等式的解： （1）（）； （2）（且）． 【答案】（1）当时，此时不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 【解析】 【小问1详解】 ，化简为， 当时，，此时不等式无解； 当时，解得； 当时，解得； 【小问2详解】 不等式为，即. 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，由得. 方程的根为或 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为 19. 为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用万元满足．已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定该厂家的产量与销量相等，且均为万件． （1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （2）请问投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用 “利润 = 销售收入 - 生产成本 - 促销费用” 的等量关系，代入销量p的表达式，化简得到利润关于促销费的函数； （2）将利润函数变形凑出基本不等式结构，求出最值点，结合定义域验证端点后确定最大值． 【小问1详解】 由题意可知 ． 【小问2详解】 ，，故， ，当且仅当，即时取等， 此时万元， 故投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大． 20. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)解集为给定闭区间，说明抛物线开口向上且区间端点为对应方程的两根，由韦达定理建立方程求； (2)解集为空集等价于 恒成立，分类讨论二次项系数后，由判别式小于 0解关于 的不等式； (3)存在 使对一切 恒成立，把 k 视为主元转化为一次函数在闭区间上的最值问题，再求分式函数的最大值. 【小问1详解】 令 若 ，则 的解集为两根之间的闭区间，故 ，且 恰为方程 的两根. 由韦达定理，两根和为 解得 【小问2详解】 当且仅当 无解，即 对一切恒成立 ①若 ，则 有解 ，不合题意； ②若 ，抛物线开口向下， 的解集非空，不合题意； ③若 ，抛物线开口向上， 无解当且仅当判别式 综上， 【小问3详解】 依题意，存在实数，使关于的不等式 对一切 恒成立。 设 ，则需 恒成立 ①若 ，即 ，则 不可能恒成立，不合题意； ②若 ，则 在 上单调递增，需 且 ， 即 且 由 且 ，得 求 令 ，则 时 当 （即 ）时 对 ，由 由基本不等式 ， ，当且仅当 ，时取等号 故 在 上的最大值为 ，因此存在满足条件的 当且仅当 综上， 21. 已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】（1），，， （2） 如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3） 若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值； （2）可构造恰当的映射，以证明结论； （3）第三问可通过分类讨论求解问题. 【小问1详解】 由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2026学年第一学期高一数学10月练习 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写班级、姓名，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集为 ，集合 ，则 ________. 2. 已知集合，集合，求____________． 3. 关于的不等式的解集为_________． 4. “若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 5. 已知，，那么的取值范围是___________. 6. 已知，且，则的最小值是__________. 7. 已知，若关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 8. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 9. 已知关于的不等式的解集为．若，则实数的取值范围是_________． 10. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围是_________． 11. 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 12. 已知集合（），满足：对任意，与至少有一个属于．则____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 16. 设有限集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知元素个数均不相同的有限集合，，，…，都是全体正整数集的非空真子集，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （1）已知 且，用反证法证明： 或 ； （2）已知一元二次方程 的两个不等实根为，且，求实数的值. 18. 求下列关于的不等式的解： （1）（）； （2）（且）． 19. 为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用万元满足．已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定该厂家的产量与销量相等，且均为万件． （1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （2）请问投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？ 20. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $