精品解析：上海市进才中学2026-2027学年第一学期10月阶段检测高一数学试卷

上海市进才中学 2026学年第一学期10月阶段检测 高一数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1. 已知集合，且，则______． 2. 已知，则“”是“”的______条件．（充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要） 3. 已知，则满足条件的集合的个数为________. 4. 已知，则的取值范围是_____. 5. 不等式的解集为______． 6. 某班共人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为__________ 7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是________． 8. 已知集合，满足，则整数的所有可能取值有______个． 9. 设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 10. 某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少达到______． 11. 设实数a，b，c满足，则的最小值为______． 12. 已知集合．设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则n的最大值为______． 二、单选题（本题满分12分，共有4题，每小题3分） 13. 已知a，R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 若不等式的解集包含集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 数学组Y老师在白纸上写下以下四个命题： ①这四个命题中至少有一个是真的； ②这四个命题中至少有两个是真的； ③这四个命题中至少有两个是假的； ④这四个命题中至少有一个是假的. 每个命题非真即假.问Y老师在纸上写的假命题有几个?（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本题满分52分，共有5小题） 17. 已知，，．求证：a，b中至少有一个大于等于0． 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数a的取值范围． 19. 回答下列问题： （1）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集． 20. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 21. 已知集合，其中．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．由A中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．集合S和T中的元素个数分别为m和n． （1）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； （2）对任何具有性质P的集合A，n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） （3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学 2026学年第一学期10月阶段检测 高一数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1. 已知集合，且，则______． 【答案】或 【解析】 【详解】由得，解得， 当时： 当时，均满足集合中元素的互异性，故． 2. 已知，则“”是“”的______条件．（充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】利用取特殊值和不等式性质，结合充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】充分性：因为，取，但是，故充分性不成立； 必要性：由，则，故必要性成立； 所以若，则“”是“”的必要不充分条件． 3. 已知，则满足条件的集合的个数为________. 【答案】8 【解析】 【分析】将集合分为包含个元素四种情况，根据包含关系列举出满足条件的集合，从而得到结果. 【详解】由知： 当集合中有个元素时，有满足题意，共个 当集合中有个元素时，有，，满足题意，共个 当集合中有个元素时，有，，满足题意，共个 当集合中有个元素时，有满足题意，共个 满足条件的集合共有：个 故答案为 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解集合，关键是能够明确子集的定义，确定所求集合中的元素的个数，属于基础题. 4. 已知，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】由题设，则. 故答案为： 5. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将不等式变为，通分后可得到，将分式不等式等价转化为整式不等式求解即可. 【详解】移项通分得，即，它等价于，解得或．故解集为． 6. 某班共人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为__________ 【答案】 【解析】 【分析】用集合表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，表示全班学生组成的集合，作出图，可得出答案. 【详解】解：用集合表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，表示全班学生组成的集合，作出图如下图所示： 设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的学生人数为， 则，解得. 因此，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为， 故答案为：. 7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的图象可知方程的两根分别为1和2，且，然后利用韦达定理可求得，，代入中化简求解即可. 【详解】根据函数图像可知，方程的两根分别为1和2，且， 根据韦达定理，可知，，即，， 代入中可得， 化简可得，解得． 故答案为： 8. 已知集合，满足，则整数的所有可能取值有______个． 【答案】9 【解析】 【分析】根据集合包含关系，对参数分类讨论分析即可. 【详解】当时，，而，满足题意， 当时，，要使，则，所以， 综上，整数a的可能取值为共9个． 9. 设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 10. 某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少达到______． 【答案】 【解析】 【分析】设静水船速为v，结合顺逆流航行时间加上停留时间构建不等式，解分式不等式求得船速最小值． 【详解】设船在静水中的速度为vkm/h（）． 依题意得，即． 去分母整理得，即，解得． 故船的速度至少达到． 11. 设实数a，b，c满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合配方得到，进而根据平方的非负性即可得到答案． 【详解】因为，所以， 当，，（此时成立）时取到等号．故最小值为． 12. 已知集合．设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则n的最大值为______． 【答案】52 【解析】 【分析】利用同余性质，由、是的倍数推出集合中元素模同余，再确定余数只能是、、，统计中各类剩余类元素个数，选取元素最多的剩余类得到集合元素个数的最大值. 【详解】任取．由条件，与都是的倍数，两式相减得也是的倍数， 故中任意两个元素模同余．又是的倍数， 故，于是中所有元素除以的余数必为、、之一． 在中，除以余、余、余的数分别有个、个（到）、个（到）． 当取全体除以余（或余）的数时，共有个元素，且任意三个元素之和仍是的倍数，满足条件．故的最大值为． 二、单选题（本题满分12分，共有4题，每小题3分） 13. 已知a，R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】“”能推出“”，举出反例可得充分性不成立，得到答案 【详解】若，则，从而，即“”能推出“”； 反之，取，，满足，但不满足． 故“”是“”的必要不充分条件． 14. 如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设两根为，，方程有一正根一负根，则，解得； 15. 若不等式的解集包含集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解集包含集合,等价于对任意都有，然后求解恒成立问题即可. 【详解】不等式的解集包含集合， 等价于对任意都有， 即，亦即对一切成立． 于是时，且， 故． 16. 数学组Y老师在白纸上写下以下四个命题： ①这四个命题中至少有一个是真的； ②这四个命题中至少有两个是真的； ③这四个命题中至少有两个是假的； ④这四个命题中至少有一个是假的. 每个命题非真即假.问Y老师在纸上写的假命题有几个?（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论假命题为0，1，2，3时，是否与四个命题表述一致即可. 【详解】设四个命题中真命题的个数为t，则①真，②真，③真，④真． 逐一检验：时③④为真，应为，矛盾；时①③④为真，应为，矛盾； 时四个命题全为真，应为，矛盾；时①②④为真、③为假，恰有3个真命题，符合； 时①②为真，应为，矛盾． 所以恰有1个假命题，选B． 三、解答题（本题满分52分，共有5小题） 17. 已知，，．求证：a，b中至少有一个大于等于0． 【答案】（反证法）假设且．由得，即． 于是，与矛盾．所以a，b中至少有一个大于等于0． 【解析】 【详解】略 18. 已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）将代入求出集B，先求集合A在实数集内的补集，再计算两个集合的交集； （2）由推出，分B为空集和非空集合两类讨论，列不等式组求解参数a的范围． 【小问1详解】 当时，．而，其在中的补集，所以． 【小问2详解】 即． ①当时，，即，符合； ②当时，需且且，即． 综上，a的取值范围是． 19. 回答下列问题： （1）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为． 【解析】 【小问1详解】 当时，的解集为，不是空集，符合； 当时，需，即； 当时，抛物线开口向下，必有解． 综上，． 【小问2详解】 原不等式即，即． ①当时，原不等式等价于，又，所以解集为； ②当时，原不等式即，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，原不等式即，解集为； ⑤当时，，解集为． 综上，①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当时，解集为； ⑤当时，解集为． 20. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）对命题，分（一次不等式恒成立）与（二次函数开口向上且判别式小于）两种情况讨论，求出为真时的取值范围； （2）先由存在性命题求出为真时的范围，再依据 “有且只有一个真命题”，分真假、假真两类求交集，最后合并得到的范围. 【小问1详解】 当时，恒成立，符合； 当时，需且，即. 综上，为真时． 【小问2详解】 命题q为真，等价于存在使，即，即． 所以p真时，q真时．“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：，且或，得； ②p假q真：或，且，得． 综上，． 21. 已知集合，其中．若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P．由A中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．集合S和T中的元素个数分别为m和n． （1）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； （2）对任何具有性质P的集合A，n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） （3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）具有性质P，此时，；不具有性质P． （2）． （3）．证明：定义映射：，． ①定义合理：若，则a，且，于是、，且，故． ②是单射：若），则，从而，由得，故． ③是满射：任取，则x，且．令，，则，故，且． 综上，是S到T的一一对应，所以． 【解析】 【分析】（1）由性质的定义，代入检验即可得到结果；（2）由A中共个元素，性质保证互为倒数的元素不能同时出现，则的有序对最多可取组，即可证明；（3）根据题意，构造映射，证明其是一一对应，一一对应的两个元素个数必然相等，即可证明. 【小问1详解】 对集合：，，都不属于该集合，故它具有性质P． 此时满足的有序数对为、； 满足的有序数对为、．所以，． 对集合，因为，且，不满足“对任意，总有”，故它不具有性质P． 【小问2详解】 n的最大值为．（简证：任取A中两个不同元素a，b，若，则由性质P知，故每一对不同的元素至多产生T中一个有序数对；又，故形如的数对都不计入，所以．当时，对任意有，此时．） 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $