26.2.2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质--教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课题名称 26.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 内容解析 《二次函数y=a(x-h)²的图象和性质》是在学生已经学习了最简单的二次函数y=ax²的图象和性质的基础上，进一步研究顶点式二次函数的图象和性质。本节课主要研究y=a(x-h)²与y=ax²的图象之间的平移关系，以及对称轴、顶点坐标、增减性等性质。 从知识体系来看，本节课是二次函数图象和性质学习的第二课时，起着承上启下的作用：它既是对y=ax²图象和性质的深化，又为后续学习y=a(x-h)²+k的图象和性质以及一般二次函数的研究奠定基础。通过本节课的学习，学生将进一步理解数形结合的数学思想，掌握研究函数图象平移变换的方法。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了一次函数、反比例函数等知识的基础上，进一步研究二次函数的图象、性质及其应用。本章的主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用。二次函数是初中函数体系的重要组成部分，也是中考的重点和难点。 对应课标： ①会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ②通过实际问题分析数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。 ③能根据已知条件确定二次函数的表达式。 ④理解二次函数与一元二次方程的关系。 ⑤能利用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.会画出二次函数y=a(x-h)²的图象，能说出它与y=ax²图象的关系（左右平移规律）。（几何直观、运算能力） 2.通过观察图象，能归纳说出y=a(x-h)²的图象特征：对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h, 0)，以及开口方向、增减性、最值等性质。（抽象能力、推理能力） 3.经历从y=ax²到y=a(x-h)²的探究过程，体会从特殊到一般的研究方法和数形结合的思想，发展模型观念。（模型观念） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能正确画出y=(x-2)²、y=(x+1)²等函数的图象，并能说出它们与y=x²图象的平移关系。 达成目标2的标志是：学生能准确说出y=a(x-h)²的对称轴、顶点坐标、开口方向和增减性。 达成目标3的标志是：学生能类比y=ax²的研究方法，自主探究y=a(x-h)²的图象和性质。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了y=ax²的图象和性质，掌握了描点法画函数图象的方法，了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点、增减性等基本概念。学生在上一节课的学习中已经初步掌握了研究二次函数的基本思路：画图象—观察图象—归纳性质。学生具备了一定的类比学习能力和数形结合思想基础。 困惑点或探索点 学生容易混淆“左加右减”的平移规律，特别是当h为负数时（如y=(x+2)² = y=(x-(-2))²），学生可能会搞不清是向左还是向右平移；对平移只改变位置、不改变形状和开口大小这一点理解可能不够深刻。 教学 重难点 教学重点 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，以及它与y=ax²图象的平移关系。 教学难点 理解抛物线左右平移规律“左加右减”，以及h的正负对对称轴位置的影响。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：y=a(x-h)²是二次函数顶点式的重要组成部分，掌握它的图象和性质是研究一般二次函数的基础。抛物线的平移规律在解决实际问题（如拱桥、喷泉等）中有着广泛的应用。 学什么：y=a(x-h)²的图象画法、与y=ax²的平移关系、对称轴（直线x=h）、顶点坐标（(h, 0)）、开口方向、增减性、最值，以及h的正负对图象位置的影响。 怎么学：采用“类比旧知—画图对比—探究规律—归纳性质”的教学思路。先复习y=ax²的图象和性质，再引导学生画出y=(x-2)²和y=(x+1)²的图象，通过对比观察归纳平移规律。让学生在动手实践、自主探究、合作交流的过程中建构知识。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 创设情境 复习引入 师：上节课我们学习了最简单的二次函数y=ax²，它的图象是什么？ 生：抛物线。 师：它的对称轴、顶点、开口方向分别是什么？ 生：对称轴是y轴（直线x=0），顶点是原点(0, 0)；a>0时开口向上，a<0时开口向下。 师：很好。如果我们把抛物线左右平移一下，它的解析式会发生什么变化？图象又会有什么变化？今天我们就来研究这个问题。 问题：我们知道y=x²的图象是顶点在原点的抛物线。如果把抛物线向右平移2个单位，顶点会到哪里？对应的解析式是什么？ 学生能回忆起y=ax²的图象和性质。 学生能思考抛物线平移后顶点位置的变化。 通过复习y=ax²的图象和性质，为类比学习y=a(x-h)²做好铺垫。 通过创设平移情境，激发学生的探究欲望，明确本节课的学习目标。 概念探究 探究y=a(x-h)²的图象和性质 探究1：画y=(x-2)²的图象，探究向右平移 师：请同学们用描点法画出y=(x-2)²的图象，并与y=x²的图象对比。 第一步：列表。 x … 0 1 2 3 4 … y=(x-2)² … 4 1 0 1 4 … 第二步：描点、连线。 （学生动手画图。） 师：观察两个图象，它们有什么关系？ 生1：形状完全相同，开口大小一样。 生2：y=(x-2)²的图象可以看作是y=x²的图象向右平移2个单位得到的。 生3：y=(x-2)²的顶点在(2, 0)，对称轴是直线x=2。 （教师展示向右平移的对比图。） 探究2：画y=(x+1)²的图象，探究向左平移 师：类比刚才的方法，请同学们画出y=(x+1)²的图象，看看它与y=x²有什么关系。 （学生分组画图，自主探究。） 师：谁来说一说你的发现？ 生1：y=(x+1)²的图象是y=x²向左平移1个单位得到的。 生2：顶点在(-1, 0)，对称轴是直线x=-1。 生3：开口方向和大小都没变。 （教师展示向左平移的对比图。） 探究3：归纳平移规律和性质 师：请同学们思考：y=a(x-h)²的图象与y=ax²的图象有什么关系？ 生：左右平移。 师：规律是什么？ 生：当h>0时，向右平移h个单位；当h<0时，向左平移|h|个单位。 师：对，我们总结为“左加右减”——在x上“加”就是向左移，“减”就是向右移。 师：y=a(x-h)²的性质有哪些？ （1）对称轴：直线x=h （2）顶点坐标：(h, 0) （3）开口方向：a>0时向上，a<0时向下 （4）增减性： 当a>0时，x<h时y随x增大而减小，x>h时y随x增大而增大； 当a<0时，x<h时y随x增大而增大，x>h时y随x增大而减小。 （5）最值：a>0时x=h时y最小值=0；a<0时x=h时y最大值=0。 （教师展示三个函数的对比图和一般性质示意图。） 学生能用描点法正确画出y=(x-2)²和y=(x+1)²的图象。 学生能通过对比观察，归纳出左右平移的规律。 学生能准确说出y=a(x-h)²的对称轴、顶点坐标和开口方向。 学生能理解“左加右减”的平移规律。 通过让学生动手画图，经历描点法画函数图象的过程，培养运算能力和几何直观。 通过对比观察y=ax²和y=a(x-h)²的图象，引导学生自主归纳平移规律，体现学生的主体地位。 通过从特殊到一般的探究过程，渗透数形结合和分类讨论的数学思想。 通过多个图象的对比，帮助学生直观理解平移规律，突破教学难点。 课堂练习 知识巩固 辨析应用 练习1：填空 （1）抛物线y=3(x-1)²的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______。 （2）抛物线y=-2(x+3)²的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______。 （3）抛物线y=5x²向______平移______个单位得到y=5(x-4)²。 参考答案：（1）上，直线x=1，(1, 0)；（2）下，直线x=-3，(-3, 0)；（3）右，4。 练习2：说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y = (x+5)² （2）y = -3(x-2)² （3）y = (x+1)² 参考答案： （1）开口向上，对称轴直线x=-5，顶点(-5, 0)； （2）开口向下，对称轴直线x=2，顶点(2, 0)； （3）开口向上，对称轴直线x=-1，顶点(-1, 0)。 练习3：已知抛物线y=a(x-h)²的顶点坐标是(3, 0)，且经过点(1, 2)。 （1）求这个抛物线的解析式； （2）说出它的开口方向和对称轴。 参考答案：（1）y = (x-3)²；（2）开口向上，对称轴是直线x=3。 学生能准确说出y=a(x-h)²的对称轴、顶点坐标和开口方向。 学生能根据平移规律说出两个抛物线之间的平移关系。 学生能利用已知点求二次函数的解析式。 通过基础填空题，巩固学生对y=a(x-h)²图象和性质的基本认识。 通过辨析题，加深学生对h的正负与对称轴位置关系的理解。 通过综合应用题，培养学生的运算能力和知识迁移能力。 反思总结 学生为主体发言总结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 生1：我知道了y=a(x-h)²的图象是抛物线，对称轴是直线x=h，顶点是(h, 0)。 生2：我知道了“左加右减”的平移规律——在x上加就是向左移，减就是向右移。 生3：我学会了根据解析式判断开口方向、对称轴和顶点坐标。 师：本节课你还有哪些疑惑？ 生：如果抛物线既左右平移又上下平移，解析式会是什么样的？ 师：这个问题很好，我们下节课学习y=a(x-h)²+k时再来探究。 学生能主动归纳本节课所学的主要内容，形成知识体系。 学生能提出自己的疑惑和问题，养成反思的习惯。 通过学生自主总结，梳理本节课的知识脉络，加深对y=a(x-h)²图象和性质的理解。 通过提出疑惑，激发学生进一步学习的兴趣，为下节课学习y=a(x-h)²+k埋下伏笔。 板书设计 26.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 1. 图象：抛物线（与y=ax²形状相同，位置不同） 2. 平移规律：“左加右减” h>0：向右平移h个单位 h<0：向左平移|h|个单位 3. 性质： 对称轴：直线x = h 顶点坐标：(h, 0) 开口方向：a>0向上，a<0向下 增减性： a>0时，x<h减，x>h增 a<0时，x<h增，x>h减 最值：x=h时，y=0（a>0最小，a<0最大） 提纲挈领，重点突出，便于学生梳理知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $