26.2.3 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.2.3 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学设计 课题 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 掌握用描点法画出函数 y=ax2+bx+c 的图象；2. 掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；3. 经历探索二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质。 教学重点 用描点法画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 教学难点 正确理解二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的性质，掌握其对称轴与顶点坐标公式的推导和运用。 教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 配方选择题、增减性综合题、图象判断题、平移顶点题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、回顾复习 引入课题 一、回顾复习，引入课题 【问题】1. 你能说出函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2. 函数 图象与函数 的图象有什么关系？ 3. 函数 具有哪些性质？ 开口方向向下，对称轴为 x＝2，顶点坐标为（2，1）；它的图象可以看成是将函数 的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的；当 x＜2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x＞2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x＝2 时，函数取得最大值，最大值为1。 前面我们研究了 与 型二次函数，对于一般形式 ，如何研究它的图象和性质呢？今天我们继续探究。 口述顶点式二次函数的图象特征与性质，复习上一课时内容，为用配方法研究一般式作铺垫。 先复习上一节第3课时的内容，使学生能更自然地考虑用配方法解决本课时思考问题。 二、探索新知 归纳知识 二、探索新知，归纳知识 【探究1】对于函数 ，如何画出它的图象，并说明这个函数具有哪些性质？ 先将 配方，得 ，据此采用描点法作图，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1) 列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表； ： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … (2) 描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3) 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象。 说明：(1) 列表时，应根据对称轴是 x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，相应的函数值是相等的；(2) 直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许 x 轴、y 轴选取的长度单位不同，要根据具体问题选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 函数 的性质：开口向上，对称轴为 x＝6，顶点坐标（6，3）；当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＝6 时，有最小值3。 【探究2】你能用上面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗？ 配方：。所以抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝−1，顶点坐标是（−1，3）；当 x＜−1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞−1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＝−1 时，函数取得最大值，最大值为3。 【归纳】一般地，二次函数 可以通过配方化成 的形式，即 。 对称轴是 ，顶点坐标是 。 如果 a＞0，当 时，y 随 x 的增大而减小，当 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 时，y 随 x 的增大而增大，当 时，y 随 x 的增大而减小。 学生分组讨论、交流合作，各组选派代表发表意见；学生画图象、教师巡视指导，让一位同学板演，学生自纠，教师点评；学生尝试总结，老师适当补充和引导。 先将所给函数通过配方写成 y=a（x-h）2+k 的形式，然后画出图象并由图象得出性质；抛物线的增减性：当 a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当 a＜0，开口向下时，对称轴左升右降。 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】二次函数 化为 的形式，下列正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：B。（。） 【例2】如图，已知二次函数 ，当 −1＜x＜a 时，y 随 x 的增大而增大，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a＞1　　B．−1＜a≤1　　C．a＞0　　D．−1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线 。因为函数图象开口向下，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，所以 a≤1；又因为 −1＜x＜a，所以 a＞−1。所以 −1＜a≤1，故选 B。 【例3】已知抛物线 和直线 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（　　） A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D 解析：A 图和 D 图中直线 过一、三、四象限，所以 a＞0，b＜0，所以抛物线 的开口向上，对称轴 ，所以选项 A 错，选项 D 正确；B 图和 C 图中直线过二、三、四象限，所以 a＜0，b＜0，所以抛物线的开口向下，且对称轴 ，所以选项 B、C 错。故选 D。 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是（　　） A．(−3，−6)　　B．(1，−4)　　C．(1，−6)　　D．(−3，−4) 解析：二次函数 配方得 ，将其向右平移2个单位得 ，再向下平移1个单位得 ，此时二次函数图象的顶点为（1，−6），故选 C。 先配方定形，再依据对称轴与开口方向判断增减范围；多种函数图象的识别，一般先确定其中一种函数（如一次函数）的图象，再根据图象得到解析式中字母的特点，最后结合二次函数的开口方向、对称轴或特殊点对选项逐一考察；利用平移规律（“上加下减，左加右减”）确定平移后解析式，进而判断顶点坐标。 四道题分别巩固配方定形、对称轴与增减性的综合应用、图象与系数关系的识别、平移与顶点计算，层层递进，发展数形结合与推理能力。 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 二次函数 图象的对称轴是直线（　　） A．x＝−3　　B．x＝−6　　C．x＝6　　D．x＝4 答案：A。（。） 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先沿 x 轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向上平移2个单位长度，得到抛物线 ，则抛物线 的函数表达式为（　　） A．　B．　C．　D． 答案：B。（逆推：将 向左平移3个单位、再向下平移2个单位，得 。） 3. 若抛物线 与 y 轴交点为（0，−3），则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 x＝−1 C．当 x＞−1 时，y 随 x 的增大而减小 D．c 的值为 −3 答案：C。（由（0，−3）得 c＝−3，D 正确；a＝1＞0 开口向上，A 正确；对称轴 ，B 正确；开口向上时对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，C 不正确。） 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m），（3，n）在抛物线 （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线 x＝t。 （1）当 c＝2，m＝n 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值； （2）点（x₀，m）（x₀≠1）在抛物线上。若 m＜n＜c，求 t 的取值范围及 x₀ 的取值范围。 解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，得 m＝a+b+c，n＝9a+3b+c。因为 m＝n，所以 a+b+c＝9a+3b+c，整理得 b＝−4a，所以抛物线的对称轴为 ，即 t＝2。因为 c＝2，所以抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）。 （2）因为 m＜n＜c，所以 a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得 −4a＜b＜−3a，所以 ，即 。由对称性，点（x₀，m）与点（1，m）关于直线 x＝t 对称，所以 ；当 时，x₀＝2；当 t＝2 时，x₀＝3。所以 x₀ 的取值范围是 2＜x₀＜3。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；先由系数定开口与对称轴，再逐项排查，综合题注意利用对称性转化。 四道题分别巩固对称轴公式、平移逆推、性质综合判断与对称性应用，全面检验本课目标的达成，发展数形结合与推理能力。 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 能用描点法画出函数 的图象；用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2. 配方结论：，对称轴 ，顶点 。 3. 增减性：a＞0 时对称轴左降右升，a＜0 时对称轴左升右降。 自主梳理配方定形、对称轴与顶点公式、增减性口诀，把一般式纳入顶点式的研究体系。 用配方法将二次函数 y=ax2+bx+c 转化为 y=a（x-h）2+k 的形式，再根据上节课的学习得出其图象与性质，完善知识结构。 六、布置作业 六、布置作业 1. 用配方法确定二次函数 的顶点坐标和对称轴，并说明它的图象由抛物线 经过怎样的平移得到。 参考答案：，顶点坐标（2，3），对称轴是直线 x＝2；由抛物线 向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度得到。 2. 已知抛物线 。说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，并说明 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大、x 为何值时 y 随 x 的增大而减小。 参考答案：，开口向下，对称轴是直线 x＝−2，顶点（−2，3）是最高点，最大值为3；x＜−2 时 y 随 x 的增大而增大，x＞−2 时 y 随 x 的增大而减小。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先配方定形，再由顶点式读出图象特征与性质并核对。 作业从“配方定形”到“说性质、说平移”层层递进，及时巩固本课的配方方法与图象性质。 板书设计 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一、配方法 = 二、顶点与对称轴 对称轴 x=，顶点 三、增减性 a＞0：对称轴左降右升；a＜0：对称轴左升右降 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $