26.2.2 第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2 第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 教学设计 课题 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 能利用描点法画出二次函数 y=a（x-h）2 的图象；2. 经历二次函数 y=a（x-h）2 性质探究的过程，理解函数 y=a（x-h）2 的性质，理解二次函数 y=a（x-h）2 的图象与二次函数 y=ax2 的图象的关系。 教学重点 会用描点法画出二次函数 y=a（x-h）2 的图象，理解其性质，理解它与二次函数 y=ax2 的图象的关系。 教学难点 理解二次函数 y=a（x-h）2 的性质，理解它的图象与二次函数 y=ax2 的图象的相互关系。 教学方法 类比探究、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 求 a、h 的值题与等腰直角三角形综合题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 引入课题 一、复习回顾，引入课题 【问题】在同一平面直角坐标系内，画出二次函数 与 的图象，并回答： (1) 说出两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标； (2) 说出它们所具有的公共性质。 两条抛物线形状相同，后者由前者向下平移1个单位长度得到；开口都向下，对称轴都是 y 轴，顶点分别为（0，0）与（0，−1）；公共性质：a＝−1＜0，开口向下，对称轴是 y 轴，x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，x＞0 时 y 随 x 的增大而减小，x＝0 时分别取得最大值 0 与 −1。 【师生活动】学生回答，教师订正。上节课我们研究了“对称轴不变、顶点上下平移”的 ，本节课探究“对称轴和顶点都变”的 。 画图并回答两条抛物线的关系与公共性质，复习 y=ax2+k 的研究经验，为新课类比作铺垫。 先复习上一节课内容（对称轴不变，顶点变），引入到本节课探究中（对称轴和顶点都变），凸显知识的发生与发展脉络。 二、探索新知 归纳知识 二、探索新知，归纳知识 【探究】在同一平面直角坐标系内，画出二次函数 与二次函数 的图象。 先列表： ： x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … y … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … ： x … −2 −1 0 1 2 3 4 … y … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … 描点、连线，作出函数图象如图： 【追问】这两个二次函数的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？ 分组讨论、交流合作，达成共识：函数 与 的图象开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同； 的图象可以看作是 的图象向左平移1个单位长度得到的，它的对称轴是直线 x＝−1，顶点坐标是（−1，0）； 的图象可以看作是 的图象向右平移1个单位长度得到的，它的对称轴是直线 x＝1，顶点坐标是（1，0）。 【思考】你能归纳出函数 的图象特征和性质吗？ 当 h＞0 时，抛物线 向右平移 h 个单位长度，就得到抛物线 ；当 h＜0 时，抛物线 向左平移 |h| 个单位长度，就得到抛物线 。抛物线 的顶点坐标为（h，0），对称轴是直线 x＝h。 【归纳性质】a＞0 时，开口向上，顶点（h，0）是最低点，最小值为0，x＜h 时 y 随 x 的增大而减小，x＞h 时 y 随 x 的增大而增大；a＜0 时，开口向下，顶点（h，0）是最高点，最大值为0，x＜h 时 y 随 x 的增大而增大，x＞h 时 y 随 x 的增大而减小。 学生画图，教师巡视、指导；分组讨论交流，各组选派代表发表意见；类比上节课的方法，从列表、图象中归纳平移规律与性质。 本节图象左右平移，对称轴和顶点都改变了；该结论与上课时的结论相近，可类比探究；根据抛物线平移的规律，向右平移 h 个单位后 a 不变，括号内变“减去 h”，若向左平移 h 个单位，括号内应“加上 h”，即“左加右减”。 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】已知抛物线 （a≠0）的顶点坐标是（−2，0），且图象经过点（−4，2），求 a，h 的值。 解：因为抛物线 （a≠0）的顶点坐标为（−2，0），所以 。又因为抛物线 经过点（−4，2），所以 ，即 4a＝2，所以 。 【例2】对于二次函数 ，下列结论正确的是（　　） A．y 随 x 的增大而增大 B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C．当 x＞−1 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 解析：因为 a＝9＞0，抛物线开口向上，而 h＝1，对称轴是直线 x＝1，所以当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大。故选 D。 【例3】能否向左或向右平移函数 的图象，使得到的新的图象经过点（−9，−8）？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。 解：能。设平移后的函数为 ，将 x＝−9，y＝−8 代入，得 ，即 ，所以 −9−h＝±4，解得 或 。所以平移后的函数为 或 ，即抛物线的顶点为（−5，0）或（−13，0），所以向左平移5或13个单位长度。 【例4】把函数 的图象向右平移4个单位后，其顶点为 C，图象与直线 y＝x 分别相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），求 △ABC 的面积。 分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线的解析式，确定 C 点坐标；再解由抛物线解析式与 y＝x 组成的方程组，确定 A、B 两点的坐标；最后求 △ABC 的面积。 解：平移后的函数为 ，顶点 C 的坐标为（4，0）。联立 与 ，整理得 ，解得 ，。因为点 A 在点 B 的左边，所以 A（2，2），B（8，8）。 S△ABC＝S△OBC−S△OAC＝。 由顶点定 h、由定点定 a；依据增减性与对称轴判断选项；利用平移规律先确定平移后抛物线解析式，再联立求交点、割补求面积。 利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式；两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的；体会数形结合与转化思想。 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 1. 抛物线 和 的对称轴分别是（　　） A．y 轴，x＝2　　B．x＝2，x＝−2 C．x＝−2，x＝2　　D．y 轴，x＝−2 答案：D。（ 的对称轴是 y 轴； 的对称轴是直线 x＝−2。） 2. 对于任何非零实数 h，抛物线 与抛物线 的相同点是（　　） A．顶点相同　　B．对称轴相同　　C．开口方向相同　　D．都有最低点 答案：C。（两条抛物线的 a 都为 −1＜0，开口方向相同；顶点（0，0）与（h，0）不同，对称轴 y 轴与 x＝h 不同；开口向下都有最高点而无最低点，D 错。） 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=b（x−a）2 的图象大致为（　　） A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D 答案：A。（A 中直线上升且交 y 轴正半轴，则 a＞0，b＞0，抛物线开口向上、对称轴 x＝a 在 y 轴右侧、顶点（a，0）在 x 轴正半轴上，与图象一致；B 中 a＜0，对称轴应在 y 轴左侧，矛盾；C 中 b＜0，抛物线开口应向下，矛盾；D 中直线上升得 b＞0，抛物线开口应向上，矛盾。） 4. 已知函数 ，当函数 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是 　　　　　　。 参考答案：x＞−3。（a＝＜0，开口向下，对称轴是直线 x＝−3，对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小。） 5. 已知抛物线 的顶点为 A，抛物线与 y 轴交于点 B，过点 B 作 x 轴的平行线交抛物线于另外一点 C，如图。 ① 求 A，B，C 三点的坐标； ② 求 △ABC 的面积； ③ 试判断 △ABC 的形状，并说明理由。 解：① 如图，抛物线 的顶点为 A（5，0）。当 x＝0 时，，所以点 B 为（0，5）。因为对称轴为直线 x＝5，所以点 C 的坐标为（10，5）。 ② BC＝10，点 A 到直线 BC 的距离为 5，所以 S△ABC＝。 ③ ，同理 ，BC＝10。因为 ，所以 △ABC 是等腰直角三角形。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；先判断开口方向与对称轴，再逐项排查。 五道题分别巩固对称轴识别、开口方向比较、图象综合判断、增减性应用与几何综合，全面检验本课目标的达成，发展数形结合与推理能力。 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 1. 抛物线 的顶点坐标为（h，0），对称轴是直线 x＝h；它由抛物线 左右平移得到（h＞0 向右平移 h 个单位长度，h＜0 向左平移 |h| 个单位长度，即“左加右减”）。 2. 在同一直角坐标系中，理解函数 y=a（x−h）2 的图象与函数 y=ax2 的图象的联系和区别；能说出函数 y=a（x−h）2 图象的性质。 自主梳理顶点、对称轴与平移规律（左加右减），类比 y=ax2+k 的研究路径归纳性质。 类似函数 y=ax2+k 的研究过程，研究函数 y=a（x-h）2 的图象和性质，探究函数 y=ax2 与函数 y=a（x-h）2 的联系，完善知识结构。 六、布置作业 六、布置作业 1. 已知抛物线 。说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标，并说明它的图象由抛物线 经过怎样的平移得到；当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 参考答案：a＝2＞0，开口向上，对称轴是直线 x＝3，顶点（3，0）；由抛物线 向右平移3个单位长度得到；当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小。 2. 已知抛物线 的顶点坐标是（−1，0），且图象经过点（1，−2）。求 a，h 的值，并说明该抛物线由 怎样平移得到。 参考答案：由顶点（−1，0）得 h＝−1；把（1，−2）代入 ，得 ，所以 。该抛物线 由 向左平移1个单位长度得到。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，先定顶点与对称轴，再定系数，并运用性质解答。 作业从“说图象特征”到“求系数”，层层递进，及时巩固 y=a（x-h）2 的图象、性质与平移规律。 板书设计 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 一、y=a（x-h）2 的图象特征 顶点（h，0），对称轴是直线 x＝h，与 形状相同 二、平移规律（左加右减） h＞0： 向右平移 h 个单位；h＜0：向左平移 |h| 个单位 三、y=a（x-h）2 的性质 a＞0：开口向上，最小值0，x＜h 递减，x＞h 递增 a＜0：开口向下，最大值0，x＜h 递增，x＞h 递减 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $