2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册期中模拟试题（第一章-第三章3.3）

2026-2027学年第一学期高一数学期中模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题范围：第一章集合与常用逻辑用语~第三章3.3幂函数 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集定义可直接求得结果. 【详解】由补集定义知：，. 故选：C. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 3．已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据题意设幂函数，求出的值，写出函数解析式，再计算的值． 【详解】 解：设幂函数的图象经过点， 则， ， ， ． 故选：A． 4．已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】当为负数时，A选项显然不成立； 当时，B选项显然不成立； 根据不等式的同向可加性可知C正确； 当为负数时，D选项显然不成立； 故选：C. 5．已知，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案． 【详解】因为 ， 又，所以， 当且仅当时取，故选B． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用． 6．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得， 当为真时，对，不等式恒成立， 则， 而，当且仅当时取等号，满足题意， 所以， 所以为假时，． 故选：A． 7．设函数f(x)=在R上是增函数，则a的取值范围是（    ） A．(-，3］ B．( -，2) C．(-，2］ D．［2，3］ 【答案】C 【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可． 【详解】函数在上是增函数， 可得：， 解得 故实数的取值范围是，． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题． 8．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由题意可得，即，所以不等式可化为，，且和是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可． 【详解】函数的值域为， ，， 不等式可化为， 不等式的解集为， 和是方程的两个根，设，， ，， 又， ，解得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列图形中， y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数的定义逐个分析判断即可 【详解】对于ABC，由图像可知，每一个都有唯一确定的与其对应，所以图像表示的为y是x的函数，所以ABC正确， 对于D，由图像可知，有的有两个与其对应，不满足函数的定义，所以此图像表示的不是函数，所以D错误， 故选：ABC 10．已知满足，则（        ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由，解不等式可判断，由，解不等式可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断；，利用换元法及基本不等式求解可判断. 【详解】对于：，移项可得， 所以，即，即， 解得，又因为，所以，故错误； 对于：， 即，解得或（舍），故正确； 对于：， 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故错误； 对于：， 令，则，， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故正确. 故选：. 11．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 【答案】ABC 【分析】对于A，令即可得到函数的定义域；对于B，利用分离常数法将化为即可求出函数的值域；对于C，证明即可得到函数的对称中心，从而证明；对于D，求出的单调区间，根据是单调区间的子集，列不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，因为，所以函数的值域为，故B正确； 因为，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心为，故C正确； 由B选项知，，所以函数在，上单调递减，若在上单调递减，则或，解得或，故D错误； 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则______________. 【答案】4 【分析】由里往外直接代入计算即可. 【详解】由题得. 故答案为：4 13．若不等式对于一切恒成立，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求在上的最小值即可. 【详解】不等式对于一切恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时取等号.故，即的最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，同时也考查了参变分离求函数最值的方法，属于基础题. 14．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用函数的性质将问题转化得到不等式，解不等式即可. 【详解】设， 由且，得， 则在上单调递增， 因为为奇函数，所以， 所以，故为偶函数， 而， 所以有，又在上单调递增， 所以，解得， 所以所求不等式解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数，分别用定义法： （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：函数在上是增函数. 【答案】（1）为奇函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求定义域，再比较与的关系，利用奇偶函数的定义即可. （2）设任意的且，求并判断其符号，根据函数单调性的定义即可证明. 【详解】（1）对于函数，其定义域为 因为对定义域内的每一个都有： ， 所以，函数为奇函数． （2）证明：设是区间上的任意两个实数，且，则 由得 而，则，即， 所以，即         因此，函数在上是增函数． 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 16．设集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可； （2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可 【详解】（1）由题意得： 当时， 故 （2）由“”是“”的必要不充分条件 可得： 当时，得 解得：； 当时，，解得. 综上，的取值范围为： 17．已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) (3)当，原不等式的解集为R；当，原不等式的解集为；当，原不等式的解集为或， 【分析】（1）一元二次不等式解集的分界点为所对应方程的根，所以的根为.即，列方程可解出； （2）恒成立，即恒成立，转化为关于的一元二次不等式大于解集为，所以恒成立，可解得的范围； （3）由，得，，所以分三种情况，再利用一元二次不等式解法，即可求解． 【详解】（1）由的解集为，所以是方程的两根， 所以，即，解得或． （2）因为恒成立，即恒成立， 则，整理得到，所以． （3）由，得， ①当，即，解集为R ②当，即，解集为 ③当，即，由，得到或，解集为或， 综上，①当，原不等式的解集为R ②当，原不等式的解集为 ③当，原不等式的解集为或， 18．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)7万件；万元. 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元， 依题意得，当时，；     当时，， 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值；     当时，设， 则即， 函数在区间上为减函数.     当时，取得最大值， 由，则可知年产量为7万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 19．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值． 【详解】（1）当时，， 所以 （2）设，显然在上递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以解得， 所以在内的“倒域区间”为． （3）因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，， 所以，即a，b同号，所以只需考虑或， 当时，根据的性质知，最大值为1，，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，最小值为，，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为． 所以． 依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，m应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数． 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一根知， 综上所述：． 【点睛】关键点点睛：（3）根据题中的意义我们需要将集合恰含有2个元素转化为与函数的图像有两个交点，来求解. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学期中模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题范围：第一章集合与常用逻辑用语~第三章3.3幂函数 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 4．已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是 A． B． C． D． 6．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设函数f(x)=在R上是增函数，则a的取值范围是（    ） A．(-，3］ B．( -，2) C．(-，2］ D．［2，3］ 8．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列图形中， y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知满足，则（        ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则______________. 13．若不等式对于一切恒成立，则的最大值为__________. 14．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数，分别用定义法： （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：函数在上是增函数. 16．设集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17．已知函数． (1)当不等式的解集为时，求实数的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围， (3)设为常数，解关于的不等式． 18．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $