精品解析：山东省青岛第九中学2026-2027学年第一学期高三期初适应性检测(一)数学试题

青岛九中2026-2027学年第一学期高三期初适应性检测（一） 数学试题 2026.08 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.8 C. D. 2.5 【答案】B 【解析】 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对于A，由，得向量与不共线，A错误； 对于B，由，得向量与不共线，B错误； 对于C，，显然，则向量与共线， 且有公共点，于是、、三点共线，C正确； 对于D，，由，得向量与不共线，D错误. 故选：C 3. 已知，，则（ ）． A. 3 B. C. -3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】由已知对原式进行平方，利用弦化切化简可得正切方程，解方程即可. 【详解】∵， 两边平方可得：， ∴， 化为， 化为：， 解得或． 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，已知弦求正切一般利用齐次化正切的方法化简求解，属于简单题. 4. 已知为自然对数的底数，曲线的点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意结合导数的几何意义可得在处的导数值等于，从而可求出的值. 【详解】由，得， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为切线与直线平行， 所以，解得． 故选：B． 5. 已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 6. 若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式变形分离参数得 ，构造函数并求导判断其在 上单调递增，利用开区间端点处的极限确定参数范围. 【详解】由题意，对任意恒有. 因 ，两边取自然对数得. 令 ，，求导得，可知在上递增. 当 时，，故 ，所以在 上严格递增. 当时， . 故要使不等式恒成立，必须且只需. 即的取值范围为 . 7. 棋盘上标有第0、1、2...100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为，设．则下列结论正确的有（ ） ①；； ②数列（）是公比为的等比数列； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，的值，先让棋子在站，然后得到在站和站的概率，得到三个站之间的概率关系，整理得到数列的通项，根据通项得到，，，从而对四个结论进行判断，得到答案. 【详解】根据题意第站，硬币掷出正面到达第站，所以， 从第站，硬币掷出反面，或从第站硬币掷出正面，到达第站，所以， 从第站，硬币掷出反面，或从第站硬币掷出正面，到达第站， 所以， 所以结论①正确； 从第站，硬币掷出正面到达第站；或从第站，硬币掷出反面，到达第站， 所以， 即， 而， 所以（）是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以结论②正确； ， 而，所以， 而当棋子跳到第站时，游戏停止， 故. 从而得到，故， 所以结论③错误； ， 所以结论④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查建立数列模型解决实际问题，累加法求数列通项，考查化归与转化和分类讨论的思想，属于难题. 8. 已知随机变量，若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的方程公式求，化简不等式可得，设，由条件可得在为减函数，根据单调性与导数的关系可求的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以不等式可化为， 又， 所以， 所以， 由已知对任意的，且时，， 设，则在为减函数， 因为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. C. 的虚部为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由，移项得， 所以，即， 因为，所以， 解得， 对于选项A：的实部为1，所以A正确； 对于选项B：，所以B错误； 对于选项C：的虚部为，所以C错误； 对于选项D：，所以D正确. 10. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 11. 设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 点的横坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，作出辅助线，由题目条件和双曲线定义，余弦定理得到，，，得到渐近线方程和离心率；C选项，求出，得到三角形面积；D选项，联立直线和双曲线方程，得到点的横坐标. 【详解】A选项，设， 双曲线：的渐近线方程为， 显然与垂直，故直线的方程为， ，故原点到的距离为2，即，故， 过点作⊥，垂足为，则， 又为的中点，故， 因为，所以，， 由勾股定理得， 由双曲线定义得，则， 其中，又，所以， 由余弦定理得， 故，，双曲线的渐近线方程为，A正确； B选项，双曲线的离心率为，B错误； C选项，联立直线：与直线：得， 解得，故， 所以，C正确； D选项，联立与双曲线：得， 即，解得或（舍去）， 点的横坐标为，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，故，， 又，故， 即，可得， 故离心率为 13. 函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式得到的最简表达式，令，得到关于的三角方程，求解三角方程的通解；根据，，求出的取值范围，将零点个数转化为对应的三角方程的解在的取值范围上的个数问题；根据三角函数的周期性和取值特点，结合三个解的条件，列出关于的不等式，求解不等式取得取值范围. 【详解】. 令，得，即. 或，. ，，. 要使在上有三个零点，则，解得. 综上，的取值范围为. 14. 设存在，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，，， 由，令，求得，得到，又由，得到，结合公比为，即可求解. 【详解】由函数，且， 可得， 则 ， 因为成等比数列，所以， 可得， 令，可得 即， 整理得，即， 因为，所以， 当时，可得； 当时，可得； 又因为，所以， 又由，， 所以等比数列的公比为，其中， 所以的所有可取公比的乘积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体和． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为与共面，所以连接与相交于点， 因为和是相同的正四面体，所以，、都是等边三角形， 则，所以四边形为菱形，则为的中点， 过点、分别作平面、平面，垂足分别为、， 根据正四面体的性质可知、分别为、的中心且E,F在DC上， 且， 设正四面体的棱长为，则，， 平面，平面，， ，同理可得， 所以，，故四边形为平行四边形，故， 因为四边形为菱形，则，因此，. （2） 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点，过点、分别作平面、平面，垂足分别为、，证明出四边形为菱形，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得出，即可证得结论成立； （2）设，取线段的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，取线段的中点，连接， 易知，所以，为的中点， 因为四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，平面， 因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， . 由图形可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表： 级别 生产线 合计 甲 乙 一级品 35 30 65 二级品 15 20 35 合计 50 50 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？ （2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）无关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解； （2）根据全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【小问1详解】 零假设为：这种药品的级别与生产线无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为这种药品的级别与生产线无关 【小问2详解】 设“任取一件药品为二级品”，“药品为甲生产线生产”，“药品为乙生产线生产”， 由题意可知，，，，， 由全概率公式得，； 所以. 17. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得； （2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 18. 蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． （1）求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； （2）证明：点P在蔓叶线C上； （3）设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 【答案】（1） （2）证明：设，已知直线OM的方程为，联立圆A的方程， 整理得 设，由，及，得 将代入右端，右端； 将代入左端，左端 方程左端等于右端．所以点P的坐标满足蔓叶线方程，点P在蔓叶线C上． （3）证明：，消y，得， 设，则 ， 所以，所以，即直线恒过. 【解析】 【分析】（1）由 及 得 ，解分式不等式得横坐标范围； （2）设点坐标，由直线与圆联立得点，利用得点坐标，代入蔓叶线方程验证； （3）联立直线与蔓叶线消元得三次方程，由韦达定理将斜率之和表示为参数关系，得直线过定点． 【小问1详解】 由及得，所以． 综上，蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． （1）求的解析式； （2）证明：当时，； （3）设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，恒有， 令，且，则， 当时，，即在上递增； 当时，，即在上递减； 所以，故，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式； （2）构造且，利用导数研究其单调性并判断与1的大小关系，即可证结论； （3）利用定义求在处的阶帕德近似函数，并研究的极值确定为界点，再讨论、、并结合导数判断是否为的极大值，即可求范围. 【小问1详解】 由题意，可设，且，则， 而，，且，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令在处的阶帕德近似为， 由，则，故， 由，，而，则， 所以，故， 由，而，则， 综上，，且， 令，则恒成立， 所以在R上递增，即， 故时，时， 所以时，时， 此时，时不是极值点； 以为界，讨论如下： 由连续函数， 当，则，而， 在上，递减，在上，递增，则， 所以，在两侧恒成立，是极小值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，有， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定为界点，再讨论参数并利用导数研究单调性，及与1的大小关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2026-2027学年第一学期高三期初适应性检测（一） 数学试题 2026.08 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.8 C. D. 2.5 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 已知，，则（ ）． A. 3 B. C. -3 D. 3或 4. 已知为自然对数的底数，曲线的点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 5. 已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 棋盘上标有第0、1、2...100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为，设．则下列结论正确的有（ ） ①；； ②数列（）是公比为的等比数列； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知随机变量，若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. C. 的虚部为 D. 10. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 11. 设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 点的横坐标为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 13. 函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 14. 设存在，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体和． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表： 级别 生产线 合计 甲 乙 一级品 35 30 65 二级品 15 20 35 合计 50 50 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？ （2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角的值； （2）若，求的取值范围. 18. 蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． （1）求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； （2）证明：点P在蔓叶线C上； （3）设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． （1）求的解析式； （2）证明：当时，； （3）设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $