精品解析：山东省青岛第五十八中学2027届高三上学期期初调研数学试题

2027届青岛市第五十八中学高三期初调研 数学试题 2026.08 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，得或，即， 因为集合，所以. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则的系数为. 故选：D. 3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍， ， ， ． 4. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由时的解析式求出，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，故， 又因为当时，，故，所以． 故选：A. 6. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称. 则，，且，， 故. 故选：B 7. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意不断计算即可解出． 【详解】因为为强率，由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为弱率，所以， 故选：B. 8. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 10. 设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. D. 直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 13. 写出一个最小正周期为2的奇函数________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，， 满足，即是奇函数； 根据最小正周期，可得. 故函数可以是中任一个，可取. 故答案为：. 14. 已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设等边的边长为，在上的投影分别为，作，，，，根据求出，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】如图，在上的投影分别为， 不妨设，，， 作，，，， 设等边的边长为， 则， ， ， 由得，， 化简得，解得， 又，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量， 则， 令，则，， 则， 则， 由题意得平面的一个法向量， 设所在平面与所成的二面角为， 则， 所以， 即所在平面与所成的二面角的正弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 设函数，曲线在点处的切线方程为. 15. 求，的值； 16. 求的单调区间. 【答案】15. ， 16. 的单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，根据求的值即可； （2）由题意判断的符号，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间． 【15题详解】 因为，所以. 依题设，，即， 解得. 【16题详解】 由（1）知. 由及知与同号， 令，则． 所以，当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增． 故是在区间上的最小值， 从而 综上可知，．故的单调递增区间为. 【考点】导数的应用；运算求解能力 【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点． 17. 已知数列的前项和为，向量，，且与共线. （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和. 【答案】（1）\；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接由平面向量共线定理即可得出的表达式，并运用即可求出数列的通项公式； （2）解不等式，得正整数的个数，即得，然后用分组求和法求得和． 试题解析：：(1)向量，，且与共线. 所以 ， 所以 （2）对，若，则， 因此， 故得， 于是 ． 18. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 【答案】（1） 设的中点为，连接、，则， 因为三角形PAB为等边三角形，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，借助线面垂直判定定理可得平面，即可利用线面垂直性质定理得到； （2）过点作的垂线，设垂足为，利用线面垂直判定定理可得平面，即可得，则可建立适当空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）过点作的垂线，设垂足为，借助线面垂直判定定理与性质定理可得，即可得，再结合各边长可表示出，结合辅助角公式计算即可得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为， 由（1）得，平面，由平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，则， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，即. ， ，设平面法向量， 则，即， 取，可得，，即得， 设直线与平面夹角为，则； 【小问3详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 由平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又平面，所以，故， 则， ， 故， 因为，所以， 又因为， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 19. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1； （2）证明：设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得. （2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知曲线．设关于直线对称的曲线为，为上一点且位于第一象限，按照如下方式构造点：令为上的一点，且．过点作平行于轴的直线与交于，记为坐标原点． （1）讨论与公共点的个数； （2）设直线与在点处的切线斜率之积为．证明：； （3）设为线段的中点，证明：. 【答案】（1）与有且仅有 1 个公共点. （2）直线的斜率为.在处的切线斜率为.故. 记，则.由于是关于的对称曲线，故，即是的反函数图象. 设，则.由 垂直于直线及对称性知. 过作竖直线交于，故，即得. 又在第一象限，故，， 要证，即证，整理得. 令，则，故在上单调递增. 又，所以，因此. （3）为的中点，故，即在直线上，从而. 令，则. 则所证不等式等价于，即. 由（2）得，得， 故. 定义，则，同理. 下证在上单调递增. 求导得，记分子为. 由（2）对任意有，即. 取（），故. 代入得 . 而， 由（2）得.故，即，单调递增. 由且在第一象限可知，且由知单调递减， 所以，故， 即， 从而 ，即. 【解析】 【分析】（1）互为反函数的两条曲线的公共点必在对称轴上，故将问题转化为求与的交点个数，通过构造函数研究单调性即可. （2）分别写出直线的斜率与在处的切线斜率，利用消去横坐标，将转化为关于的函数不等式，构造函数求导证明. （3）由对称性知中点在上，可用表示；再利用递推关系，将不等式转化为某函数的单调性问题，借助第（2）问结论与凸函数性质完成证明. 【小问1详解】 因为与关于对称，所以其公共点必在上. 则与的公共点个数即为方程的根的个数，也即函数的零点个数. 令，则，且 ，当且仅当时等号成立. 故在上单调递增，仅有唯一零点. 因此与有且仅有 1 个公共点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届青岛市第五十八中学高三期初调研 数学试题 2026.08 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 10. 设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. D. 直线的斜率为 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，满足，，则=__________. 13. 写出一个最小正周期为2的奇函数________． 14. 已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 设函数，曲线在点处的切线方程为. 15. 求，的值； 16. 求的单调区间. 17. 已知数列的前项和为，向量，，且与共线. （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和. 18. 在三棱锥中，等边三角形的边长为，点为的中点，设二面角的平面角分别为． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 19. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 20. 已知曲线．设关于直线对称的曲线为，为上一点且位于第一象限，按照如下方式构造点：令为上的一点，且．过点作平行于轴的直线与交于，记为坐标原点． （1）讨论与公共点的个数； （2）设直线与在点处的切线斜率之积为．证明：； （3）设为线段的中点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $