精品解析：江苏泰州市兴化市2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明： 1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 【详解】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球， ∴球的总个数为， ∴取出红球的概率为． 2. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 3. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4. 已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 5. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份该厂家电车销售的平均月增长率为x， ∴可列方程：． 6. ，分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据切线性质得到，，先求出圆心角；分点在优弧、劣弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形对角互补计算． 【详解】解：①当点在优弧上时，连接，， ，分别切于，， ，， ． 四边形内角和为，， ． ， ． ②当点在劣弧上时，连接，，在优弧上取一点，连接、， 由①得， 圆内接四边形对角互补， ． 的度数为或． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 已知直径为10，点到点O距离为8，则点在_____．（填“上、内或外”） 【答案】外 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】∵⊙O的直径为10， ∴⊙O的半径为5， ∵点A到圆心O的距离为8， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点A在圆外． 故答案为：外. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外时，d＞r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d＜r．反之也成立． 8. 我校九年级学生在参加“青春有梦”演讲比赛中，有4位女生和6位男生获奖，现从中任选一位学生代表去领奖，则选中______生可能性大．（填写“女”或“男”） 【答案】男 【解析】 【分析】根据任选一位学生代表去领奖，分别计算出选中“女”和“男”的概率比较即可． 【详解】解：由题意得： 选中男生的概率为：， 选中女生的概率为：， ， 选中男生可能性大， 故答案为：男． 【点睛】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 9. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 10. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 11. 如图，四边形内接于，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， 故答案为：． 12. 如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1， ∵OC⊥AB， ∴D为AB的中点． ∴AB=2AD． 故答案为： 13. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 15. 反比例函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：当时，则有，即， ∵，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 16. 如图，点，分别在射线，上，，，，若与，，都相切，则的半径等于________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据与，，都相切，分在内部和在外部两种 情况求解． 【详解】解：与，，都相切， 点一定在的平分线上， ， ，，， ， 是直角三角形，， 当在内部时，如下图所示，切点分别为点、、， 设的半径为，则， 则， ， 解得：； ，， 四边形是正方形， ， ， ， 当在外部时，如下图所示，切点分别为点、、， 设的半径为，则， 则有，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的半径为或． 三．解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程进行计算即可解答． （2）利用因式分解法解方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 18. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选择计算机视觉的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同， ∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 欢欢 乐乐 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种， ∴他们同时选择计算机视觉的概率为． 19. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：无论取何值，方程总有个不相等实数根． 【答案】（1）， （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有个不相等实数根． 【解析】 【分析】（1）将代入方程即可确定m的值，再利用根与系数的关系得出，即可确定； （2）根据题意直接利用根的判别式即可证明． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：； ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可求出的度数． （2）先在中根据勾股定理求出的长，再在中根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 22. 内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，，由图可知是直径，则； （2）取格点，，由图可知四边形是正方形，则垂直平分，由图可得经过圆心，可得，则，即平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解； （2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 解得：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 24. 综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，过点O作于H， ∵扇形的圆心角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴剪下的扇形的半径为； 【小问2详解】 解：， ∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为． 25. 已知，为矩形的对角线，，分别是线段，上的动点（不含端点），，延长至，使得，连接，． （1）如图，，平分． ①若，求的值； ②求的度数； （2）如图，，若，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）①作于点，利用角平分线的性质求得，利用等积法列式计算即可求解； ②证明，利用正方形的性质求解即可； （2）作于点，证明，推出，证明，推出，再证明，推出是的垂直平分线，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①作于点， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是定值， 作于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 26. 已知，是的外接圆的直径，，是上的一点，满足，连接并延长交于点，连结． （1）如图，若，求的值； （2）如图，点在弦上，过点作于，交于点． ①若，求证：； ②若，连接，，且是以为腰的等腰三角形，设，求的值． 【答案】（1）2 （2）①证明：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）由是的直径，，可得，可得，即可求得的长； （1）①连接，由是的直径，，可得，再由圆周角定理可得，则，由，可得，可证得，由，，，可得，即可证明结论； ②分和两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①略 ②（Ⅰ）当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，则， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 整理得， ∴，即， 解得，， 当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，，， ，点在弦上，符合题意； ∴； （Ⅱ）当时，如图，连接， 同理（Ⅰ）可得，，， ∴， 设，则， ， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ， ∵当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，， ∴，点在弦上，符合题意； ∴； 综上所述，的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明： 1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A. B. C. D. 5. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 6. ，分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 已知直径为10，点到点O距离为8，则点在_____．（填“上、内或外”） 8. 我校九年级学生在参加“青春有梦”演讲比赛中，有4位女生和6位男生获奖，现从中任选一位学生代表去领奖，则选中______生可能性大．（填写“女”或“男”） 9. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 10. 已知方程的两个根是和，则_________． 11. 如图，四边形内接于，若，则_______． 12. 如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______． 13. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 15. 反比例函数，当时，的取值范围是__________． 16. 如图，点，分别在射线，上，，，，若与，，都相切，则的半径等于________． 三．解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 19. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：无论取何值，方程总有个不相等实数根． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 21. 如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留）． 22. 内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图中的圆上找一点，使得平分． 23. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 24. 综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 25. 已知，为矩形的对角线，，分别是线段，上的动点（不含端点），，延长至，使得，连接，． （1）如图，，平分． ①若，求的值； ②求的度数； （2）如图，，若，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 26. 已知，是的外接圆的直径，，是上的一点，满足，连接并延长交于点，连结． （1）如图，若，求的值； （2）如图，点在弦上，过点作于，交于点． ①若，求证：； ②若，连接，，且是以为腰的等腰三角形，设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $