精品解析：江苏省泰州市兴化市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题部分 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：D． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 5. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 6. 抛物线上有点，，若．则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质．通过计算点和点的纵坐标表达式，结合的范围，比较和的大小及其与的关系． 【详解】解：∵ 抛物线为， ∴对称轴：直线， ∵， ∴， ∵对于点，点到对称轴距离分别为： ，， ∴， ∵， ∴， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴距离大， ∵， ∴， ∵时，， 当时，，，即， 当时，，，即， ∴， 故选：A． 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8. 如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定是解决本题的关键． 根据题意可得，进而可证是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：∵的半径是1， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 9. 二次函数的图象向左平移2个单位后得到的二次函数图象的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键． 根据函数图像平移规律，得到新函数解析式，进而即可得到平移后的顶点坐标． 【详解】解：由题意得，将向左平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∴新顶点坐标为． 故答案为：． 10. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，，与是位似形，点O为位似中心，若点A的对应点坐标为，则点B的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似性质．由点A与点的坐标关系，确定位似中心为原点，位似比为2，根据位似变换的性质，点B的对应点的坐标可通过位似比计算得出． 【详解】解：∵点的对应点，位似中心为原点， ∴位似比， ∵点B的坐标为， ∴根据位似变换，点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（或或或）（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查图形的中心旋转，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n可以为（或或或）． 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 13. 如图，已知M、N两点分别在的边上，，若的周长与的周长之比为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的周长与的周长之比为， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 二次函数图象的对称轴为直线，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴．根据题意利用二次函数对称轴公式求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 16. 如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，平行线间线段成比例，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 过点O作于点D，连接，先求出，，分类讨论：①当点E在点之间时，过点F作于M， ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M， 逐个分析求解即可． 【详解】解：过点O作于点D，连接，如图 ∴， ∵为直径， ∴， ， ∴， ∴， ①当点E在之间时，过点F作于M，如图 ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，即． ∵， ∴， ∴，即， 解得． ②当点E在之间时， 过点F作的延长线于点M，如图 由①，同理可得： ∴， ， ∴， 解得． ∵， ∴即， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值即可． 本题考查特殊角的三角函数值等． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．两名运动员10次测试成绩的平均数、中位数： 甲 乙 平均数 中位数 m （1）表中m的值为___________； （2）如果你是教练，会选择哪位运动员参加比赛？说明理由． 【答案】（1） （2） 选乙运动员参加比赛，理由如下： 甲、乙的平均数和中位数相同，但从折线图能看出，乙的成绩波动逐渐变小，发挥稳定；而甲的成绩波动较大，发挥不稳定．因此选乙更合适． 【解析】 【分析】本题考查折线图，中位数，根据折线图的波动情况做决策，掌握知识点是解题的关键． （1）先将甲10次测试成绩数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据折线图的波动情况做决策即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩数据从小到大排序： ， 中位数为第5、6个数的平均值： ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 19. 如图，是的高，，． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，继而求出，即可解答； （2）先求出，，得到，再根据，即可求出． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 【答案】（1）；理由： ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC∽△ADE； （2）DE 的长为2 【解析】 【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，进而得出△ADE∽△ABC； （2）由△ADE∽△ABC，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AB=2AD，BC=4， ∴， ∴DE=2， 即DE的长为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠BAC=∠DAE是解题的关键． 21. 已知二次函数（是常数）的图象是抛物线． （1）若抛物线与轴只有一个公共点．求的值： （2）求证：抛物线顶点在函数的图象上． 【答案】（1）， （2） 解：∵，，， ∴ 即顶点坐标为， ∵令，函数， ∴抛物线顶点在函数的图象上． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题． （1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解． （2）根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，代入解析式进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以， 解得，． 【小问2详解】 略 22. 如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4． （1）证明：APN∽ABC； （2）求矩形PQMN的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形PQMN是矩形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC； （2）S矩形PQMN= 48． 【解析】 【分析】（1）由PN∥BC即可得出结论； （2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵PQ：PN=3：4， ∴设PQ=3x，则PN=4x， ∵四边形PQMN为矩形， ∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x， 又PN∥BC， ∵△APN∽△ABC， ∴， 即， 解得x=2， ∴PQ=6，PN=8， ∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长． （1）求灯杆的高度； （2）若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （2）根据题意得，由（1）得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， ∴，即， 解得：， 即灯杆的高度为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 由（1）得， ∴， ∴，即， 解得：， 即此时这位同学的影长的长为． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，BC= 4 cm．点P从点A出发，以1 cm／s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2 cm／s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动． （1）试写出△PBQ的面积 S （cm2）与动点运动时间 t （s）之间的函数表达式； （2）运动时间 t 为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？． 【答案】（1）S△PBQ ；（2）当s时，△PBQ的面积最大，最大值是cm2 【解析】 【分析】（1）利用t表示出BP、BQ，利用三角形的面积计算方法列出关于t的函数关系式； （2）利用（1）中的函数探讨最大值问题即可． 【详解】（1）S△PBQ （2）∵且0≤t≤2 ∴当s时，△PBQ的面积最大，最大值是cm2 25. 已知是的内接三角形． （1）如图1，点O在AB上，，求证：直线AD与相切； （2）如图2，点O不在AB上，延长BC至点D，使得，连接AD，且． ①若点C是BD的黄金分割点()，且，求AD的长； ②若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵AB是直径， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴直线AD与相切； （2）①2，② 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定、相似三角形的判定与性质、黄金分割以及解直角三角形，解题的关键是熟练运用圆的性质、相似三角形的判定定理和勾股定理． （1）利用直径所对圆周角为直角，结合，证明，从而判定切线； （2）①根据黄金分割的定义求出，再通过证明，得到，从而求解； ②先利用相似三角形求出，再通过勾股定理求出高，结合圆周角性质求圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵点C是BD的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， 将，代入，， ∴， ∴； ②∵， ∴， 已知，代入得，解得， ∴， 作，设，， 在和中，由勾股定理：， ∴， 已知代入得： ， 解得， 在中， ∴， 在中， ， 如图：延长AO交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴半径为． 26. 已知二次函数，顶点为P． （1）若二次函数的图象与x轴的一个交点为，求二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标； （2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，分别为点M、点N． ①判断： ___________0(填“”、“”或“”)，并说明理由； ②若为等边三角形，求的值． （3）已知直线l经过原点O，在（1）的条件下，若二次函数的图象上存在点，使得与A关于直线l对称，直接写出点的个数n以及相应a的取值范围． 【答案】（1） （2）①，理由如下： 由题意可得：二次函数顶点P的坐标为， ∵ ∵与x轴有两个不同的交点， ∴， 化简可得， ∴； ② （3），或；，或 【解析】 【分析】（1）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的对称性即可得解； （2）①由题意可得二次函数顶点P的坐标为，设，则，结合与x轴有两个不同的交点，得出，化简即可得出结果；② （3）由题意可得点在原点O为圆心，为半径的圆上，且在第二或第三象限，由（1）得，设，再讨论当时，当时，分别画出图象，结合图象分析即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为； 【小问2详解】 解：①略 ②由①得， 令，则， ∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，分别为点M、点N， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵直线l经过原点O，，二次函数的图象上存在点，使得与A关于直线l对称， ∴点在原点O为圆心，为半径的圆上，且在第二或第三象限， 由（1）得， 当时，设， 当二次函数图象经过点Q时，将代入可得， 解得：， 由图可得，此时， 当二次函数图象与y轴交点在上时，，即， 由图可得，此时， 当二次函数图象与y轴交点在点Q上方时，，即， 由图象可得，此时， 当时，设， 当二次函数图象经过点时，将代入可得， 解得：， 由图可得，此时， 当二次函数图象与y轴交点在上时，，即， 由图可得，此时， 当二次函数图象与y轴交点在点下方时，，即， 由图象可得，此时， 综上所述，，或；，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—特殊三角形问题，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题部分 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 抛物线上有点，，若．则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 8. 如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 9. 二次函数的图象向左平移2个单位后得到的二次函数图象的顶点坐标为___________． 10. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 11. 在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，，与是位似形，点O为位似中心，若点A的对应点坐标为，则点B的对应点的坐标为___________． 12. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 13. 如图，已知M、N两点分别在的边上，，若的周长与的周长之比为，则___________． 14. 二次函数图象的对称轴为直线，则的值为___________． 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 16. 如图，是的直径，，弦，E为弦上一动点，过E作于G，交直线于点F．若，则的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．两名运动员10次测试成绩的平均数、中位数： 甲 乙 平均数 中位数 m （1）表中m的值为___________； （2）如果你是教练，会选择哪位运动员参加比赛？说明理由． 19. 如图，是的高，，． （1）求的值； （2）若，求的长． 20. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 21. 已知二次函数（是常数）的图象是抛物线． （1）若抛物线与轴只有一个公共点．求的值： （2）求证：抛物线顶点在函数的图象上． 22. 如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4． （1）证明：APN∽ABC； （2）求矩形PQMN的面积． 23. 如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长． （1）求灯杆的高度； （2）若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，BC= 4 cm．点P从点A出发，以1 cm／s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2 cm／s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动． （1）试写出△PBQ的面积 S （cm2）与动点运动时间 t （s）之间的函数表达式； （2）运动时间 t 为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？． 25. 已知是的内接三角形． （1）如图1，点O在AB上，，求证：直线AD与相切； （2）如图2，点O不在AB上，延长BC至点D，使得，连接AD，且． ①若点C是BD的黄金分割点()，且，求AD的长； ②若，，求的半径． 26. 已知二次函数，顶点为P． （1）若二次函数的图象与x轴的一个交点为，求二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标； （2）若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，分别为点M、点N． ①判断： ___________0(填“”、“”或“”)，并说明理由； ②若为等边三角形，求的值． （3）已知直线l经过原点O，在（1）的条件下，若二次函数的图象上存在点，使得与A关于直线l对称，直接写出点的个数n以及相应a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $