精品解析：江苏省苏州实验中学2026-2027学年高一上学期青创班10月质量检测数学试题

2026～2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 命题人：王正军 审核人：王弟成 注意事项： 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分为150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请您务必将自己的姓名等信息用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 重排说明：以上页数为原卷页数，本版按内容另行分页；题干、选项与题图已依据较清晰原卷逐页校对． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，且，则的值为（ ） A. 18 B. C. 0 D. 16 3. 在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有一竖着放的壁画，最高点处离地面10m，最低点处离地面6m，若从离地高3m的处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（ ）m A. B. C. D. 6. 已知函数，，设，，若任意满足条件的值，均满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若是函数的零点，为函数图像的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 8. 已知函数，关于的不等式的解集为，若关于的不等式的解集中有且仅有7个整数，则满足条件的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，函数有4052个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______． 13. 若实数满足，则的最小值为______． 14. 在斜中，已知，其中，若为定值，则实数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求证：函数图像为中心对称图形； （2）若，求关于的不等式的解集． 16. 函数部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． 17. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）当时有成立，求实数的取值范围； （3）若函数的最小值为，求实数的值． 18. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）若该三角形的内切圆的半径为，试求的最大值． 19. 某精密仪器的信号强度由函数决定，为信号锐度参数（其中）． （1）当时， ①仪器检测到当信号锐度参数为4时，信号强度为，为了保证系统稳定性，需要计算此时锐度参数为6的信号强度，请协助计算； ②若该仪器的能耗模型为，为了防止过载，需设定一个安全系数，使得能耗始终不超过倍的基准信号强度，试求安全系数的允许范围； （2）现有一组供电电池，其输出效率满足，（参数，且），若要求仪器在任何时刻的信号强度都不低于电池的最高输出效率，且为了获得更纯净的波形，希望锐度参数（偶数）尽可能的大，请问设计师最大可以将设置为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 命题人：王正军 审核人：王弟成 注意事项： 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分为150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，请您务必将自己的姓名等信息用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 重排说明：以上页数为原卷页数，本版按内容另行分页；题干、选项与题图已依据较清晰原卷逐页校对． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义和不等式的性质求出集合，然后利用并集的定义求出结果即可. 【详解】因为集合，所以，解得. 所以集合； 因为集合，所以，解得. 解得. 所以. 2. 已知函数为奇函数，且，则的值为（ ） A. 18 B. C. 0 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质列出等式，进而求出结果. 【详解】因为为奇函数，设为，则. 即，化简得. 由于，所以. 3. 在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由下图可知，若三角形有两解，需满足， ，， 由得，由得，所以， 联立得，即的取值范围是. 4. 已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是.    5. 如图，有一竖着放的壁画，最高点处离地面10m，最低点处离地面6m，若从离地高3m的处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（ ）m A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑到取最大值时，也取最大值，所以用离墙距离表示，并用基本不等式求得的最大值，此时等号成立条件便是离墙距离. 【详解】设视线与地面所成角为，视线与地面所成角为，视角最大时，离墙的距离为米， 则由题意可得，，， 则，当且仅当，即时等号成立. 因为，所以，且当取最大值时，也取最大值， 因此当时，取最大值. 6. 已知函数，，设，，若任意满足条件的值，均满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用方程计算得出，应用一元二次不等式解集列式计算求解参数. 【详解】函数，，所以， 函数，， 若任意满足条件的值，均满足，即， 是的子集， 所以或是空集， 所以或 所以或， 则实数的取值范围是.         7. 已知函数，若是函数的零点，为函数图像的一条对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】若是函数的零点，则；为函数图像的一条对称轴，则，再结合在上单调即可求得的取值范围. 【详解】若是函数的零点，则；为函数图像的一条对称轴，则，设函数的最小正周期为，那么 ， 令，则， 由于在上单调，则存在， 使得：, 又，故 ，又，故的最大值为. 8. 已知函数，关于的不等式的解集为，若关于的不等式的解集中有且仅有7个整数，则满足条件的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由不等式解集为，利用一元二次不等式根与系数关系得到用表示，结合区间恒成立求出；再化简第二个不等式，根据解集恰好个整数得到，最后取交集得到的范围. 【详解】由关于的不等式的解集为， 可知的解集为且在恒成立， 即，则，即， 则即，整理得在恒成立， 所以，解得， 不等式即， 整理得，又，所以可化为, 解集为，因为解集中有且仅有个整数， 所以，解得， 综上可得的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用指数函数、对数函数、幂函数性质，结合作差法及基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，当时，，命题若，则不是真命题； 对于B，由，得，则，， 命题若，则是真命题； 对于C，由，得，而，则，， 命题若，则是真命题； 对于D，， ，因此， 命题是真命题. 10. 已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A，观察图象确定的范围即可判断；对于B，由图象可知，通过化简即可判断；对于C，由图象可知为方程即的两根，把转化为关于的函数即可判断；对于D，由BC选项的分析可知，，，故，利用均值不等式即可判断. 【详解】如图，作出函数的图象， 对于A，由图象可知，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则，正确； 对于B，由图象可知，即， 即，，正确； 对于C，由图象可知为方程即的两根， 所以，， 设，由于，所以，那么， 由于在上单调递减，故， 所以，正确； 对于D，由BC选项的分析可知，， 由图像可知即， 所以，那么 , 由于,当且仅当即时取等号， 所以，错误. 11. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，函数有4052个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，确定在上的最大值点判断A；举例说明判断C；确定函数的周期，借助二次函数求出值域判断B；求出在上的零点个数判断D. 【详解】对于A，当时，， 存在，使得，，而， 因此在上不单调递增，A错误； 函数的定义域为R， ，是函数的周期， 对于B，当时，，， 当时，，当时，， 在上的值域为，因此函数的值域为，B正确； 对于C，由，得，函数的图象关于直线不对称，C错误； 对于D，当时，由，得，而，则， 解得，即在长为一个周期的区间内只有1个零点，且为该区间的中点， 区间的长度为个周期，因此函数有4052个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】对不等式左侧因式分解：，由于，因此， 二次函数开口向上，小于0的解集为两根之间的区间，即解集为. 题目给出解集为，该区间的长度为；我们求出的解集区间长度为右端点减左端点：. 令区间长度相等可得：，结合条件，解得. 13. 若实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得最小值为，根据等号成立时的条件，设，可顺利消去两个未知数，再利用题中不等式求出的最小值，可得要求代数式的最小值. 【详解】实数均为正数，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立. 设该代数式取最小值时，，其中，则，， 故， 且，所以，因此，故，当且仅当时等号成立. 因此的最小值为，当且仅当，且时，有最小值， 即当时，的最小值为. 14. 在斜中，已知，其中，若为定值，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对题干等式同除，展开两角差正弦并切化弦，将用定值和代换，利用等式与变量无关，分离常数项与一次项系数列方程组，结合求出，得到. 【详解】等式两边同时除以， 整理得， 由，可得， 又， 所以可得， 设，则， 所以，得， 因为，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求证：函数图像为中心对称图形； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. （2） 【解析】 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 16. 函数部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用函数过点即可求得，进而可得函数的解析式； （2）①利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式. ②由题意可得，解方程求得方程的解，进而可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得，，所以， 所以，解得，所以， 又因为函数过点，所以， 所以，所以，所以 又，所以，所以； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 将函数的图像沿着轴向右平移个单位可得函数的图象； 再将函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象，即； ②由题意得，所以， 所以， 所以， 所以； 所以或， 所以或， 因为，所以， 所以或或， 解得或或，所以， 所以. 17. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）当时有成立，求实数的取值范围； （3）若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【小问1详解】 因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 18. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）若该三角形的内切圆的半径为，试求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式以及二倍角公式即可求解， （2）利用正弦定理边角互化，由三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解范围， （3）利用等面积法求解半径的表达式，进而利用三角恒等变换，以及三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由正弦定理可得， 由于在三角形中,故, 进而, 故， 由于，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得三角形的外接圆半径满足， 故, , 由于,故, 故,所以. 【小问3详解】 由等面积法可得，故， ， 令由于，所以 故， 故当时，取到最大值，且最大值为. 19. 某精密仪器的信号强度由函数决定，为信号锐度参数（其中）． （1）当时， ①仪器检测到当信号锐度参数为4时，信号强度为，为了保证系统稳定性，需要计算此时锐度参数为6的信号强度，请协助计算； ②若该仪器的能耗模型为，为了防止过载，需设定一个安全系数，使得能耗始终不超过倍的基准信号强度，试求安全系数的允许范围； （2）现有一组供电电池，其输出效率满足，（参数，且），若要求仪器在任何时刻的信号强度都不低于电池的最高输出效率，且为了获得更纯净的波形，希望锐度参数（偶数）尽可能的大，请问设计师最大可以将设置为多少？ 【答案】（1）①，②． （2）22 【解析】 【分析】（1）①应用完全平方公式可求解，进而根据三次方公式即可代入求解， ②分离参数，将不等式转化为求解，利用 与的关系时，整体换元法，结合二次函数的性质即可求解最值， （2）利用基本不等式求解的最值，进而将问题转化为求解，令 ，构造函数 ，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值得解． 【小问1详解】 当 时， 设该时刻为 ，由， 故， 所以． 于是． 所以锐度参数为 6 时的信号强度为 ． ②记，则，且． 于是； 又． 设，．要使 对一切实数 恒成立，只需 不小于 的最大值． ， 即， 故当时，取到最大值，故 ， 即安全系数 的取值范围为 ． 【小问2详解】 由 （）知 ，于是把 代入得 ． 令 ，则 ． 当且仅当 ，即 （也就是 ）时取等号，此时 ，． 所以 的最大值为 ． 由 为偶数，记 （正整数），令 ，则 ． 设 ，则， 当时，，当 时，，所以 在单调递减，在单调递增，故在 处取得最小值 ． 依题意，信号强度 始终不低于电池的最高输出效率 ，即 ，等价于 ． 因为 ，所以 ，即 ； 时最小信号强度为 ，满足要求； 时 ，不满足要求． 又 为偶数，故 的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $