精品解析：江苏南京航空航天大学苏州附属中学（星湖街校区）2026-2027学年第一学期高一年级10月限时练习数学试卷

南航苏州附中2026-2027学年第一学期高一年级10月限时练习 数学 一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人. A. 10 B. 12 C. 14 D. 19 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 已知的最大值是 B. 的最大值为5 C. 已知的最小值为3 D. 的最小值为2 8. 若正数满足，则的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对得部分分，有选错不得分． 9. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 10. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “不等式在上恒成立”的充要条件是“”， C. “”的必要不充分条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 11. 若，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为______． 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 14. 若，，，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． （3）若，，求的取值范围． 16. （1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 17. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄. （1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本） （2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2026-2027学年第一学期高一年级10月限时练习 数学 一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由， 所以. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 3. 广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人. A. 10 B. 12 C. 14 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 6. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，时，取得最小值4， 由有解，则，解得或． 故实数m的取值范围是或. 故选：D 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 已知的最大值是 B. 的最大值为5 C. 已知的最小值为3 D. 的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 8. 若正数满足，则的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，解得，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值. 【详解】由题意，设，解得其中， 因为，所以，整理得， 又由， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对得部分分，有选错不得分． 9. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法判断A、B，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组）并求解即可判断C，将两边平方，再解一元二次不等式，即可判断D. 【详解】对于A：不等式，即，即，解得， 所以的解集是，故A正确； 对于B：不等式，即，所以不等式的解集为空集，故B错误； 对于C：不等式，即，即，等价于，解得， 所以的解集是，故C正确； 对于D：由得，即， 则，即， 解得，故不等式的解集是，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “不等式在上恒成立”的充要条件是“”， C. “”的必要不充分条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐项判断即可. 【详解】当时，推不出， 故不是的必要条件，故A不正确； 不等式在上恒成立，故B正确； 或，所以或是的必要不充分条件，故C正确； 当时，，故“”是“”的不充分条件，故D错误. 故选：BC 11. 若，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：， 当且仅当取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 令，函数在单调递减， 当时，，故B错误； 对于C：，，， ， 由基本不等式：， 当且仅当，此时， ，最大值为，故C正确； 对于D：， 最小值是，不是，故D错误. 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可． 【详解】由可知， ，，即， ， ，解得或， 当时，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，，， 则． 故答案为． 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 14. 若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由已知条件得出，分、两种情况讨论，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分析可知，则，根据交集结果可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为全集，集合， 当时，，则或， 所以，. 【小问2详解】 若，则. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是或；. 【小问3详解】 若，，则， 显然，则，解得， 所以且，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. （1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得出，即可得出的最大值； （2）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （4）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （5）由已知等式变形得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为； （2）因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； （3）因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为； （4）因为，所以， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最大值为； （5）因为，，，所以， 即，即，即， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 17. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄. （1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本） （2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量. 【答案】（1） （2）该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故. 【小问2详解】 当时，，且当时，单调递增， 当时，单调递减，此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 所以该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）得到，1是方程的两根，由韦达定理得到a和b的值； （2）（i）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集； （ⅱ）变形，得到，则在上恒成立，故，求出解集即可. 【小问1详解】 由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． 【小问2详解】 （i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $