第13讲 导数与零点 专项训练-2027届高三数学一轮复习

导数与零点 函数与导数 · 专题篇 零点的存在性与唯一性 一、把「有且仅有」拆成两句 至多一个： 在定义域上严格单调，或先增后减（先减后增）且极值不变号。 至少一个：在定义域内找到 ， 使 ，由零点存在定理即得。 二、端点值的取法 对数型优先取 ，；指数型优先取 ，；含参时取与参数无关的定点。 三、单调函数的值域是开区间或全体实数 在 上单调且 、 时，值域为全体实数，对每个 恰有一解。 四、含极值时先算极值点的函数值 若两个极值同号，零点只可能出现在「从 走向极值」的那一段里，这一段恰跨零一次。 五、偶函数的唯一零点必是 是偶函数且有唯一零点，则这个零点就是 ；于是只需令 时无零点，把参数分离出来求另一侧的值域。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数。求证：当时，有且仅有一个零点。 【切入点】定义域是 ，先求导；导函数分子的判别式随 变号，要分 与 两段。 【关键】。当 时判别式 ，分子非负， 在 上单调递增，至多一个零点；又 时 （），而 ，故恰有一个零点。当 时分子有两根 与 ， 在 增、 减、 增。由 得 ，代入极大值点得 ，记括号内为 ：对 有 且 ，故 ，，即 。于是 上恒有 ，而 、，所以在 内恰有一个零点。综上， 时 有且仅有一个零点。 【易错】 时 在定义域内只有零点 ，容易把 也数进去。证「极大值小于零」时，不要只写「由图象知」——要把 代回并给出 的单调性依据。 【答案】综上， 时 有且仅有一个零点 变式1-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若有两个极值点，证明：有且只有一个零点。 【切入点】题干把 的范围藏在「有两个极值点」里，先用它定出 ，再证零点唯一。 【关键】定义域为 ，，分子记作 。 时 ，无极值点； 时判别式 ，，也无极值点； 时 的两根之和为 、之积为 ，故两根 ， 都落在 内，确有两个极值点。所以 。令 ，由 得 ，即 ；把 代回 ，得极值处的函数值 。记 ，，故 在 减、 增，最小值 。于是两个极值都大于零： 时 ，而 ， 在 上递增，这一段恰跨零一次； 上 ，无零点。所以 有且只有一个零点。 【易错】把「有两个极值点」当成 就动手，会漏掉 与 这两段不合题意的排除。极值点处不要硬代原式求值——用 换元后 被消掉，剩下的 直接判定符号，比展开三次式省一半计算。 【答案】所以 有且只有一个零点 变式1-2（解答·★★★★★） 已知函数（，），。证明：关于的方程有且仅有一个实根。 【切入点】要证的是两个函数的差只有一个零点，构造 ，把 里的 化成 便于求导。 【关键】 的定义域为 。由 ，得 。求导：。当 时，，而 、、，所以 ， 在 上严格递减，零点至多一个。再看两端： 时 而其余各项有界，故 ； 时 是负的指数级，压过 的对数级，故 。结合连续性， 在 上恰有一个零点，即方程 有且仅有一个实根。 【易错】把 直接求导会得到一个带 的式子，与其余各项的单调性对不上；先化成 就一目了然。 的四项要逐项定号，不能只说「显然小于零」。 【答案】结合连续性， 在 上恰有一个零点，即方程 有且仅有一个实根 变式1-3（填空·★★★☆☆） 关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______________。 【切入点】 时两边相等，所以 一定是解；要让它是唯一解，就得让 除 外不再取到 。 【关键】记 ，则 。，，故 在 上严格递增。当 时 ，， 严格递增，方程有唯一解 ，符合。当 时 ， 时 ，故 有唯一零点 ， 在 上减、 上增，最小值是 。由 ：若 ，则 ，，最小值为 ，方程有唯一解 ，符合；若 ，则 ，，而 时 ，在两个单调段上各有一个解，共两解，不合；若 ，则 ，同样在 两侧各得一解，不合。综上， 或 。 【易错】 与 两种情形的单调性完全不同，必须分类； 是临界值，漏掉它答案就少一半。算 时不必求出 的具体值，用 比较即可。 【答案】或 变式1-4（填空·★★★☆☆） 已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______。 【切入点】 也是偶函数，有唯一零点时这个零点只能是 ；于是「 时无零点」即可，把 分离出来。 【关键】记 。由 是偶函数得 ，所以 是偶函数；若 是它的零点，则 也是。因此 只有一个零点时这个零点必为 。又 ， 确实是零点，只需让 时 。当 时， 即 ，记 ，则 不能落在 的值域内。。当 时 ，所以 ：在 上 ，在 上 ，故 的最大值为 。又 时 ， 时 ，所以 的值域是 。于是 。 【易错】「有且只有一个解」要先说明零点为什么必是 ——偶函数的零点成对出现，只有 例外，这一步是解题的关键，不能跳过。判 的符号要用熟知的 ，不能再求一次导绕远路。 【答案】 例2（解答·★★★★★） 已知函数。证明：方程，有唯一解。 【切入点】「方程 有唯一解」就是「 的值域是全体实数」＋「 严格单调」，两条各管一半。 【关键】 恒成立，所以 在 上单调递增。由单调性， 至多取到一个等于 的值，即解至多一个。再看两端： 时 而 ，故 ； 时 ，故 。又 的图象连续不断，所以对任意 都存在 使 ，即解至少一个。两半合起来，方程 对每个 都有唯一解。 【易错】只写「单调递增」只能说明解至多一个，漏掉存在性证明会丢分；同理只说两端一个趋于 、一个趋于 ，在 不单调时也推不出唯一。 【答案】两半合起来，方程 对每个 都有唯一解 零点个数的判定 一、两条主干 数交点：把 看成水平线 与 的图象，零点个数等于交点数。 分离参数：把含参方程整理成 或 ，再数 与 的交点。 二、求导定形，画草图前先算三样东西 单调区间、极值、两端趋势（， 时 的走向）。 三、先摘掉「白送」的零点 分段函数在分界点处两段都为 时，这个零点必定出现；先把它摘出来，剩下的要求数量就要相应减一。 四、分段函数必须逐段数交点再相加 两段的值域不同，同一条水平线与两段的交点个数也不同；要按 落在哪一段的值域里分别讨论。 五、含 或 时先除，再看形状 把方程两边同除 或 ， 这类就化成顶点在 的 V 形，左右两支分别与曲线定交点。 六、复合方程先证单调再降次 在 单调的前提下等价于 。 例3（单选·★★★☆☆） 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的零点个数由它的最小值决定，而最小值的取法随 的符号变，先分类。 【关键】。 时 恒成立， 在 上单调递增，至多一个零点，不合题意。 时令 得 ： 时 ， 时 ，故最小值 。又 时 、 时 ，所以有两个零点当且仅当最小值小于零，即 ，由 得 ，即 。故选 A。 【易错】 时最小值为 ， 只有 一个零点，端点要单独验一次。 那一支容易被跳过 —— 它不是「有一个零点」就是「没有零点」，都不合题意。 【答案】A 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 这种两层嵌套，先判断内层 单不单调，再决定能不能降成 。 【关键】 的定义域为 ，，故 在 上单调递增。由单调性，若 ，则 ； 时同理得 。所以 等价于 ，零点个数化为 的零点个数。，故 在 上增、 上减，最大值 。由 知最大值大于零；又 时 ， 时 ，所以 有两个零点。故选 C。 【易错】 直接当作 是不合法的，必须先证 单调，这一步是这类嵌套方程的通用钥匙。最大值 要真的判出正负，只写「显然大于零」会被当成没算。 【答案】C 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】问「零点所在的区间」，两条腿走路：单调性管唯一，两个异号函数值管存在。 【关键】定义域为 ，，故 在 上单调递增，零点至多一个。又 ，，由零点存在定理， 的唯一零点落在 内。故选 B。 【易错】取点要选在定义域内、算起来方便的整数点；单调性用导数写一行比口述「增函数加增函数」稳妥，漏了单调性就只能说明「至少一个」，不能定唯一。 【答案】B 变式3-3（解答·★★★★★） 已知函数，。讨论零点的个数。 【切入点】 即 ，直接分离参数，把零点个数转成直线 与 的交点个数。 【关键】令 ，，故 在 上减、 上增，最小值 。又 时 ， 时 ， 时 。所以 时无交点， 无零点； 时切于一点、 时只与右支相交，各有 个零点； 时左支、右支各交一次，共 个零点。所以 时无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】 要归到「 个零点」： 只有 一个根，不要因为 落在 的邻域就误判成两个。两端趋势必须写清 —— 时 而不是 ，这正是 上有两个交点的原因。 【答案】 时无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点 变式3-4（解答·★★★★★） 已知函数。函数。当时，讨论函数在区间上的零点个数。 【切入点】 代入即可得一个只含 与 的式子，再在闭区间 上作单调性判断。 【关键】，记 ，则 。当 时， 上分子恒小于零，故 在 上单调递减。又 ，。所以 时 ， 恒成立，无零点； 时 ，由单调性知 在 上有且仅有一个零点。所以 时无零点、 时有且仅有 个零点。 【易错】先化简再求导 —— 直接把 里的 留着，求导时会绕一大圈。端点 时 ，要归入「有一个零点」那一档。 【答案】 时无零点、 时有且仅有 个零点 变式3-5（解答·★★★★★） 已知函数。讨论的零点个数。 【切入点】 化为 ，右边是一个与参数无关的函数，画它的草图即可。 【关键】令 ，，故 在 上增、 上减，最大值 ，且 时 、 时 。于是直线 与 的交点数就是零点个数。按 落在哪一段分档：，即 时无交点，零点个数为 ；，即 时切于最高点，交 次；，即 时与左、右两支各交一次，共 次；，即 时只与右支交于 ，交 次；，即 时水平线落在左支之上、只与右支相交，交 次。所以 或 时 个零点； 时 个零点； 时无零点。所以 或 时有 个零点、 时有 个零点、 时无零点。 【易错】 的最大值是 ，而方程里出现的是 ，临界值要从 反解成 ，符号错一步答案全反。 时方程是 ，只有 一个根，归入「 个零点」。 【答案】 或 时有 个零点、 时有 个零点、 时无零点 变式3-6（解答·★★★★★） 已知函数，。讨论的零点个数。 【切入点】 有公因式 ，先约掉再分离参数，式子会简单一半。 【关键】由 ，，方程 等价于 ，即 。令 ，，故 在 上增、 上减，最大值 ，且 ， 时 ， 时 。所以 时无交点，零点个数为 ； 时切于一点，为 ； 时左支、右支各交一次，为 。所以 时无零点、 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】约公因式时要用到 与 ，这两个条件不写清就属于「除以可能为零的式子」。 在 时趋于 、在 时趋于 ，正负两支分居 轴两侧，是 上有两个交点的根本原因。 【答案】 时无零点、 时有 个零点、 时有 个零点 变式3-7（解答·★★★★★） 已知函数。设，为的导函数，讨论的零点个数。 【切入点】问的是 的零点个数，所以要把 分离成 ，再数交点。 【关键】，，由 得 。令 ，，故 在 上减、 上增，最小值 ；又 ， 时 ， 时 。所以 时无交点， 无零点； 时切于一点，交 次； 时两支各交一次，共 次； 时水平线只与右支相交，交 次。所以 时 无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】题目问的是 的零点，不是 的零点，分离时要把 单独留在一边，用 而不是 。 时 有唯一解 ，归入「 个零点」； 时才可能有两个零点，这两档不能并。 【答案】 时 无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点 变式3-8（解答·★★★★★） 已知函数。当时，求零点的个数。 【切入点】 时 ， 不为零，所以零点个数就是括号里那个函数的零点个数。 【关键】 时 ，定义域为 。令 ，，故 在 上增、 上减，最大值 。又 、，由零点存在定理， 在 与 上各有一个零点。所以 在 上有 个零点。所以 在 上有 个零点。 【易错】提公因式 之后别忘了 恒不为零，否则会误以为 也是一个零点。两端取点 与 是为了让对数项变成整数，取 之类的点算不出干净的符号。 【答案】 在 上有 个零点 变式3-9（解答·★★★★★） 已知函数。讨论函数的零点的个数。 【切入点】 里参数 只出现一次，直接分离成 。 【关键】定义域为 ，方程化为 。令 ，，故 在 上减、 上增，最小值 。又 ， 时 ， 时 ， 时 ， 时 。所以 时无交点； 时切于一点、 时只与左支相交，各有 个零点； 时两支各交一次，共 个零点。所以 时无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】 的最小值是 而不是 ，临界值要从「 与图象相切」来定。 时方程化为 ，只有 一个根，要归到「 个零点」而不是「 个」。 【答案】 时无零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 恰有 个零点，即直线 与 的图象恰有 个交点；两段都要先求导画形。 【关键】当 时 ，，故 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值 ，而 时 ，这一段的值域是 。当 时 单调递增，值域为 。逐段数水平线 与图象的交点：右支在 上交 次、 或 时交 次、 时不交；左支在 上交 次，其余不交。两段相加等于 的只有 与 两段。故选 B。 【易错】 时右支交 次、左支交 次，共 个，是最容易误判为「 个」的一段。左支的值域是左开右闭 —— 取不到 ， 时能取到 ，两个端点的开闭决定答案。 【答案】B 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________。 【切入点】 有两个零点，就是水平线 与 的图象有两个交点，先求导定极值。 【关键】，故 在 上减、 上增、 上减，极小值 、极大值 ，且 时 。于是 的值域是 ，两条水平线之间的每个 都对应 个原象，而 各只对应 个、 由 得 也只 个。所以 。 【易错】 要排除：分式方程 只有 一个根，它在「有两个零点」的题意之外。两个极值点 是切点，各自只对应一个原象，端点也要排除。 【答案】 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】题干给的是 有三根，要问的却是 的零点个数 —— 先由前者定出 ，再数后者。 【关键】 有三根，等价于 与 的图象有三个交点。当 时联立 得 ，非零根 ，故 时这一段有一个交点。当 时 化为 ，由 知它在 取最小值 ，两端都趋于 ，故 时有两个交点、 时只有一个。所以 。再数 ： 时 给出唯一根 ； 时 ，判别式 ，两根之和 、之积 ，故有两个不同的负根。共三个零点。故选 D。 【易错】两个方程要分清楚： 定 ， 才是本题要求的零点个数，混在一起会答成 以外的数。负半轴上要用「两根之和小于零、之积大于零」说明两根都负，只说判别式大于零是不够的。 【答案】D 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知在处取得极小值。若，讨论零点的个数。 【切入点】题设给的是「 处取极小值」，先用它把 ， 解出来， 的零点个数才谈得上。 【关键】由 得 ，又 ，两式联立解得 ，，故 ，。 在 取极大值 ，在 取极小值 。 即 ，于是数直线 与 图象的交点： 即 时交 次； 时交 次； 即 时交 次； 时交 次； 时交 次。所以 或 时有 个零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】 的零点是 ，不是 ，符号弄反会把答案的两段整个对调。「在 处取极小值」同时给出 与 两条信息，只用其中一条解不出 ，。 【答案】 或 时有 个零点、 或 时有 个零点、 时有 个零点 变式4-4（解答·★★★★☆） 已知函数，曲线在点处的切线方程为。讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0。 【切入点】先由切线方程定出 ，；证「零点之和为 」要找出 与 的关系。 【关键】切线 在 处的纵截距是 ，故 ，得 ；又切线斜率为 ，而 ，故 ，得 。于是 。，，故 在 上减、 上增，最小值 ；而 时 、 时 ，所以 有唯一零点 ， 在 上减、 上增。又 且 ，故最小值 ；而 时 ，所以 恰有两个零点，一个小于 、一个大于 。设 是零点，则 ，两边乘 得 ，即 ，也就是 。所以两个零点互为相反数，之和为 。 【易错】「互为零点」这一步不能靠观察，要把 的等式乘 整理成 的形状再说。 的最小值小于零、两端一个趋于 一个趋于 ，这三点合起来才能断定 只有一个零点。 【答案】所以两个零点互为相反数，之和为 变式4-5（解答·★★★★★） 已知函数（且，，）。讨论函数的零点个数。 【切入点】 两边取对数，把指数 与幂 都化成 与 的组合，再作分离。 【关键】由 且 ，两边取自然对数得 ，即 。。当 时 ，， 在 上单调递减，又 ，故只有 一个零点。当 时 在 上减、 上增，最小值 。若 ，则 ，最小值 ，只有一个零点；若 ，则 ，由 与单调性知 ，而 时 ，故在 上还有一个零点，共 个；若 ，则 ，同样 ，而 时 ，故在 上还有一个零点，共 个。所以 或 时 有 个零点、 且 时 有 个零点。 【易错】取对数前要说明 与 ，两边同除 时才不用分类。 是最容易漏的一档 —— 此时 ，极小值与 处的零点重合，只有一个零点。 【答案】 或 时 有 个零点、 且 时 有 个零点 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】，所以 一定是零点；「恰有 个」就变成「除 外恰有 个」，再把方程两边同除 分离出 。 【关键】 即 ， 时显然成立。当 时等价于 ，其中 。 时 ，最小值 ， 时 。 时 ， 在 上增、 上减，最大值 ，且 时 、 时 。按 分类数交点： 时左支交 次、右支交 次； 时左支交 次、右支交 次； 时左支交 次、右支交 次；而 时两段共 次、 或 时共 次（ 时只有右支 次）。所以除 外恰有 个零点时 。故选 D。 【易错】把 一起数进去会多算一个，最后答案整体错位。 时右支的 只对应 ，不能因为「 让 」就以为右支无解。三个临界值 ，， 都要单独验，只写开区间会漏。 【答案】D 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是零点，把它摘掉后方程两边同除 ，右端化成顶点在 的 V 形，左右两支分别定交点。 【关键】 即 ， 显然是零点。当 时两边同除 ，问题化为 与 的图象有 个交点，其中 、。当 时记 。在 上 ，：按 与 两支分别联立，得 与 ；当 时两式给出的 都落在 内，故这一段有 个交点。在 上 ，由 处 、之后指数增长反超一次线性增长，知它与 只交 次。共 个，故 。当 时： 上 ，无交点； 上 是顶点在 的 V 形，左支与 必交 次，右支 再交 次的临界是相切：设切点横坐标 ，由 与 得 ，代回消去 得 ，解得 。所以 时共 次。故选 A。 【易错】 同时让 与 取零，只算一次，把它漏掉或重复算都会让后面的讨论整体错位。 的临界值由切线条件给出，只画草图很容易把 误判成 。 【答案】A 变式5-2（解答·★★★★★） 已知（）。当时，试讨论函数的零点个数。 【切入点】 里参数同时在底数与系数上，先把 提出来，把 化成一个「一次式减指数式」的符号问题。 【关键】。记 ，则 ，。由 得 、，故 在 上单调递减，。当 时 ，， 在 上增、 上减，最大值 ，故 ， 在 上单调递减；又 ，所以只有一个零点。当 时 ，存在 使 ， 在 上增、 上减；由 知 ，而 时 ，故存在 使 。于是 在 上减、 上增、 上减：，而 时 ，故在 内有一个零点；又 且 时 ，所以共有两个零点。所以 时有 个零点、 时有 个零点。 【易错】 恰好让 ，是最容易漏的一档，它单独给「一个零点」。证 内必有零点时，要用 时 与 异号，不能只说「图象上看」。 【答案】 时有 个零点、 时有 个零点 变式5-3（解答·★★★★★） 已知函数，，。设函数。当时，讨论的零点个数。 【切入点】绝对值号内是 ，按 与 的大小拆掉绝对值；先看 这一段能不能有零点。 【关键】 的定义域为 。当 时 ，而 ，故 且 ， 恒成立，零点只能在 上。当 时， 使 ，故 ，。令 ，，记 ，，故 单调递增，最小值 ，无零点。当 时同理 ，最小值 ，仅当 时取零，有一个零点。当 时按 分段：在 上 ，由 得 ；记 ，，分子记作 ：，，，，故 ， 严格递增，方程 至多一解；又 而 ，故在 上恰有一解。在 上 ，令 ：，，，，恰有一解。所以 时共有两个零点。 【易错】 这一段必须先排掉 ——不排就会多算零点。 时 在 处换表达式，两段必须分开讨论； 严格递增的论证用 两步走，只写「显然递增」会被扣分。 【答案】所以 时共有两个零点 由零点个数求参数范围 一、反问题的唯一出口：分离参数 把零点方程整理成 ，则「 有 个零点」等价于「直线 与 有 个交点」。 二、分离不了时用「半分离」 参数与 纠缠（如 ）时，把 单独解出来变成 ，再研究 的单调性与值域。 三、两条决定答案的线 极值线： 的极大值、极小值；水平线： 与 时 的走向。 四、闭区间上的零点个数 「在 上恰有 个零点」＝ 端点函数值异号 ＋ 区间内极值点的个数与位置；参数由这两条一起卡。 五、复合零点个数 型先令 ，把 的取值范围算出来，再数每个 对应的原象个数。 六、端点情形必须单独验 参数取到极值时通常对应「相切」，交点个数比邻域少一个，是全题最容易漏的一档。 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数。若有两个零点，则的取值范围是________。 【切入点】 即 ，两边分别是一个对数式与一个一次式；换个角度：直线 与曲线 要有两个交点。 【关键】由 得 ，即 。记 ，则问题化为直线 与 的图象在 上恰有两个交点。注意直线 恒过定点 。 时直线不过第一象限，与曲线至多一个交点；若相切，设切点横坐标为 ，由 与 得 ，代回得 。而当 时，直线在 一段陡于曲线、在 一段又为负值，与曲线恰有两个交点。所以 。 【易错】直线过定点 这一步是本题的钥匙，不指出来就无法用「旋转直线」的方式讨论交点个数。相切那一点算出的 是分界值， 时只有一个交点，不能并进答案。 【答案】 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数。若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围。 【切入点】 有两个不相等的实数解，就是水平线 与 的图象有两个交点，先求最小值。 【关键】定义域为 。，故 在 上减、 上增，最小值 。又 时 ， 时 。所以区间 内的每个 都恰好对应两个解，即 。 【易错】定义域是 ，不是 ，左端以 为界而不是 ； 与 两头都是正的，这正是「最小值以下无解、最小值以上两解」的来源。 【答案】 变式6-2（填空·★★★★☆） 设，为实数，函数和。设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”。当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为__________。 【切入点】先利用 的单调性把 具体求出来，「零点贴近」就变成 在某个区间上有零点。 【关键】当 时 。由 与 在 上都是增函数， 单调递增，而 ，故 。「零点贴近」要求 ，即 ，也就是 在 内至少有一个零点。因为 ，而 的二次项系数为正，所以 在 上恰有一个零点当且仅当 ，即 。 【易错】 的两根之积为 ，说明它必然一正一负，所以 上「至少一个零点」与「恰有一个零点」等价，这一步交代清楚才能只用一个端点不等式收口。 时零点恰为 ，仍符合「贴近」，端点要取闭。 【答案】 变式6-3（解答·★★★★★） 已知函数（）有两个不同的零点，分别记为，，且。求实数的取值范围。 【切入点】 有两个零点，等价于它的最大值大于零；而最大值能否取到由 的符号决定。 【关键】定义域为 ，。当 ，即 时 ， 单调递增，至多一个零点，不合题意。当 时 有唯一零点 ， 在 上增、 上减，最大值 。又 时 ， 时 ，故有两个零点当且仅当最大值大于零，即 ，，解得 。 【易错】 这一支要先排掉 —— 单调函数至多一个零点，不可能「有两个不同的零点」。最大值写成 而不是 ：代 时 ，符号最容易错。 【答案】 变式6-4（解答·★★★★★） 已知函数，。若函数有且只有两个零点，求的取值范围。 【切入点】 里参数 只出现一次，分离后把 表示成一个单变量函数，再看它的最小值。 【关键】，由 且 得 。记 ，。当 时， 与 都随 增大而增大，故 在 上单调递增；而 时 ，，所以存在唯一的 使 。当 时 ，故 在 上减、 上增，最小值 。由 得 。注意函数 的导数 ，故 严格递增、零点唯一；而 的零点 满足 ，所以 ，即 ，。代入得 。又 与 时 ，所以 有且只有两个零点等价于 。 【易错】最小值的计算是本题的分水岭 ——关键一步是看出 的零点与 的根是同一个点，这要靠 严格递增证明，不能靠观察数值。只画图说「最小值约为 」在解答题里不给分，必须把 算出来。 【答案】 变式6-5（解答·★★★★★） 设函数，。若函数有两个不同零点，，求实数的取值范围。 【切入点】 两边乘 后 就被孤立了，右端 是一个只需求极值的单变量函数。 【关键】定义域为 。由 得 。令 ，，故 在 上减、 上增，最小值 。又 ， 时 ， 时 。所以直线 与 有两个交点当且仅当 ，即所求范围为 。 【易错】 在 时趋于 而不是 ，右端 时趋于 ——「两头一升一平」决定了只有 这一段有两解。 时 只有 一解，是端点，要排除。 【答案】 例7（填空·★★★☆☆） 已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________。 【切入点】解析式里的 由「偶函数」这条件直接定出，剩下只有一个参数 ；两个零点等价于最小值小于零。 【关键】由 得 ，而 ，代入化简得 ，故 。于是 ，。故 在 上减、 上增，最小值 ；又 时 （ 时 而 ）。所以有两个零点当且仅当 ，即 。 【易错】化简 时要用 ，直接对 求导会绕远。两端都趋于正无穷必须交代，否则「最小值小于零」只说明「至少两个零点」而不是「恰有两个」。 【答案】 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________。 【切入点】由 知 不是零点，于是可以把方程两边同除 ，把 分离出来。 【关键】 即 。记右端为 。当 时 ，，故 在 上单调递增，值域为 ；当 时 单调递减，值域为 。又 时 在该段上先增后减（有两个驻点），取值可正可负，与「 且唯一」的要求冲突，故只取 的那一支。要「有且仅有一个零点且 」，即这两段上方程各自恰有一解： 时 段有解而 段无解； 时 段取不到、 段恰在 取到。所以 。 【易错】 必须先排掉 —— 若不排， 的讨论会多出一整段。 段的值域是 （左开右闭）， 段的值域是 （右开），两个端点一开一闭，正是答案里既有区间又有单点 的原因。 【答案】 变式7-2（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是______。 【切入点】 与 互为反函数，图象关于 对称 ——把这层对称关系翻译成两个零点之间的关系，再加上对勾函数的单调性收口。 【关键】由 得 ，即 在 上；由 得 ，即 在 上。这两条曲线关于 对称，两点又都在双曲线 （它本身关于 对称）上，所以两点关于 对称，得 ，即 。于是 。记 ，由对勾函数的单调性，它取到最小值 ，且 时 。所以 的最大值为 ，无下界，取值范围是 。 【易错】对称性只能用在「两点同时在 上」这个前提之后，不能一上来就断言 。题目只问取值范围，不必求 的具体值；但要说明 ，最值才落在 处。 【答案】 变式7-3（填空·★★★★☆） 已知函数，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为________。 【切入点】 一定满足方程，先摘掉；当 时两边同除 ，右边变成 V 形 ，问题化为「 与 恰有 个交点」。 【关键】 的表达式为 与 ：前者在 上从 递增到 ，后者是顶点在 、开口向下且过 、 的抛物线。 的两支分别是 与 。逐段数交点： 时左支与 、右支与 各交一次，共 个，符合； 时两支恰好合为一点，只有 个，不合； 时左支与 交一次，还要右支与抛物线交一次，由 的两根之积为 知在 上恰有一根，符合； 时上式的判别式为零，恰有一根（相切），符合； 时右支就是 ，与抛物线在 处相切，恰有一根，符合； 或 时交点数为 或 ，不合； 时左支在 上与抛物线交两次，符合； 时为一解，不合； 时须 与抛物线交两次，由 的判别式 得 ，符合。所以 。 【易错】 摘掉之后， 在两段上都只取到一部分值，每一段的交点个数都要单独数，不能合并成一个单调函数处理。、、 三个相切点是四段区间的接缝，其中 与 单独成点、 与区间连成 ，端点的开闭全靠相切时交点是否算进去。 【答案】 变式7-4（解答·★★★★★） 已知函数，。若曲线与关于直线对称，关于的方程恰有三个不等实根，，，其中。求的取值范围。 【切入点】 的设定「两条曲线关于 对称」用来定出 ，再把方程 里的 解出来。 【关键】，它与 对称的曲线是 ，故 ，即 。方程 当 时两边都等于 ，所以 恒为一根。当 时整理得 ，即 。，分子记作 ：，，，，，，故 在 上小于零、在 上大于零，进而 、 且 。所以 在 上减、 上增；又 与 时 ，（可去间断点处的极限）。于是 在 时有两解当且仅当 。此时加上 这一根，共三根。所以 。 【易错】 恒为一根，必须先单独拎出来，否则会误以为「 有两个解」就够了。 处原式是 型，极限为 ，它是 在两侧的最低点，端点 时只有 一根，不合。 【答案】 零点的综合性质 一、三个零点的韦达关系 的三个零点 ，， 满足 、、。三次函数的二次项系数为零时，三个零点之和是定值。 二、平方和与倒数和都能用韦达换 ；。 三、零点的位置由极值点的符号卡定 时， 落在左极值点之左、 落在两个极值点之间、 落在右极值点之右。 四、两个零点的偏移问题 两式相减得 ，令 后 ，再用 放缩。 五、多选逐项断案 先定参数范围（或先把参数解出来），再逐项验证；含「存在」「最小」「最大」字样的选项，要给出取到的条件，不能只举一个例子。 例8（多选·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 【切入点】两个零点满足同一个方程，把两式相减与相加各得一条关系，这是处理「零点偏移」的固定起手式。 【关键】设 ，由 与 相减得 ，相加得 。A 项： 时 ， 在 上减、 上增，最小值 ，故 ，A 项正确。B 项：， 的图象下凸，故 ，B 项错误。C 项：记 ，由相减式得 ，于是 。记 ：，，，，故 对 成立，即 。所以 ，C 项正确。D 项：，把 与 都用 表示后 化为 的函数，研究其单调性知 取最小值时 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项最容易错 —— 说明图象是下凸的，此时中点函数值不大于两端函数值的平均，与选项的方向正好相反。C 项的关键是把 与 一并换成 的表达式，直接对 ， 硬算会陷进去。 【答案】ACD 变式8-1（多选·★★★☆☆） 已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【切入点】「恰有一个零点且 」是两件事：零点个数由单调性与极值定，零点的位置由 的符号定。 【关键】。当 时 ， 在 上单调递增，零点至多一个；又 ，而 时 ，所以零点恰有一个且落在 内，符合题意。当 时 的两根为 ， 在 上增、 上减、 上增；要恰有一个负零点，只要极小值 即可。令 ，不等式化为 ，由 得 ，解得 ，即 。综上 ，故 可取 ，，，不能取 。故选 CD。 【易错】 时 单调递增，「零点在 一侧」全靠 这一步，不写 就说不清零点在哪边。 时换成 后 ，这一步代换能把三次不等式降成二次，是关键操作。 【答案】CD 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，，分别是函数，，的零点，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个零点分别是三条曲线与 的交点横坐标，先把它们化成同一类型的比较问题。 【关键】由 得 ， 得 ， 得 ，即 。令 ，，故 ，即 ；令 ，，它在 上减、 上增，故 ，即 。由此 。比较 与 ：若 ，则 ，不可能是零点，故 ；再由 与 得 ，即 且 。比较 与 ： 时 ； 时 ；故 。所以 。故选 B。 【易错】三条曲线与 的交点横坐标要先化成统一的方程，不能各算各的。 可以直接解出 ，用它当刻度尺分别判断 、 最省力；要说明 需要先用导数证明 与 两个常见不等式。 【答案】B 例9（多选·★★★☆☆） 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 【切入点】三次函数有三个零点，先把极值定出来卡住 的范围，再用韦达关系把「三个零点之和」「两两之积和」都写出来。 【关键】，故 在 上增、 上减、 上增。有三个零点要求极大值 且极小值 ，解得 。由 得 、、。A 项：，正确。B 项：取 ，则由 得 ，此时 ，，， 成等差，存在性成立，正确。C 项：，而 ，所以取值范围是 ，C 项错误。D 项：，由 得 ，正确。故选 ABD。 【易错】C 项错在把 的范围记成了 —— 落在两个极值点之间，即 ，所以 的上界是 而不是 。D 项用韦达关系写成 之后，还要用刚才卡出的 的范围才能说出取值区间。 【答案】ABD 变式9-1（多选·★★★★☆） 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【切入点】题设说 取极大、 取极小，两点关于原点对称，说明 是奇函数平移后的形状。 【关键】，极大值点在 、极小值点在 ，两者关于原点对称。若 ，则 与 不再互为相反数，与题设矛盾，故 ，A 项正确。 时 ， 是奇函数，三个交点 ，， 的中点是 且 为原点，结合 ， 关于原点对称可推出四边形 是平行四边形，B 项正确。直线 的斜率 ，由 与 算得 。令 ，得 ，只有两个点，所以 C 项错误。D 项：设 ，由 ，， 是 的三根知它们之和为零，把三条斜率相加可得 ，这正好等于 在 处的导数，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项要把「存在三个不同的点」与方程的实根个数挂上钩 —— 只有两个解，所以曲线上只有两个点满足条件。D 项的关键是 的三根之和为零，把斜率之和化到 ，这正好是导数。 【答案】ABD 变式9-2（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，已知是方程的一个实根，过点作垂直于轴的直线，该直线与函数的图象交于点，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 【切入点】 是 的根，先定出它所在的区间，再把 与 的估计值逐步收紧。 【关键】 且 。A 项：，分子在 处恰为零，且 时为正、 时为负，故 是极大值点，A 项正确。B 项：令 ，， 时 递增；，所以 ，B 项错误。C 项：，由 得 ，于是 等价于 ，即 ；由 及对勾函数的单调性，这个不等式成立，C 项正确。D 项：直线 的斜率 ， 等价于 ，再由 化为 ；而 在 上递增，在 处取值恰为 ，故 时不等式严格成立，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的区间要先算 的符号，不能凭「 附近」的感觉 —— 算出来是 ，所以 ，B 项把方向写反了。C 项与 D 项都要把 用 化到只含 ，再用 放缩；D 项的临界值 正是 在 处的取值，两者必须对得上。 【答案】ACD 变式9-3（填空·★★★★☆） 已知函数，给出下列五个结论：①当时，的零点；②当时，的图象关于直线对称；③当时，存在常数，使得恒成立；④，在上单调递减；⑤若有三个零点，则整数的最小值为。其中所有正确的结论的序号是_____ 【切入点】五条结论分属零点所在区间、对称性、最值、单调性、零点个数，要一条一条单独验，别想着一次算完。 【关键】①当 时 ， 时 ，，故 ，该区间内无零点，①错误。② 时 ，，图象关于直线 对称，②正确。③ 时 时 是负的一次项，压过对数项，，不存在下界，③错误。④ 且 时分 与 两段：前者 ，；后者 ，。两段都递减，故 时 在 上单调递减，④正确。⑤把 看成 与直线 的交点，数形结合可知有三个零点时整数 的最小值不是 ，⑤错误。所以正确的结论是②④。 【易错】①里「 恒成立」要写成两个正值相加，不能只说「」。③考的是「有没有下界」—— 时一次项压过对数项，这一条不判断趋势就会误判为正确。 【答案】②④ 变式9-4（填空·★★★★☆） 对于函数，下列说法正确的序号是___________。①在上单调递减，在上单调递增②③设有3个不同的零点，则④若方程有四个不同的实数根，则⑤不等式在时恒成立 【切入点】 在 处断开，定义域是 ，所有结论都要在这个前提下验。 【关键】，故 在 、 上减、 上增。①「在 上减」把两个间断的递减区间并成了一个，①错误。②由 与 在 上递增，且 ，得 ，②正确。③ 有三个不同零点等价于 有三个不同实根，由 的图象知其范围应为 ，即 ，与 不符，③错误。④方程因式分解为 ， 有两个实根，要凑成四个实根须 也有两个实根，即 ，④正确。⑤在 时需要 ，令 ，求导可知它在 上递增且 ，故不等式恒成立，⑤正确。所以正确的是②④⑤。 【易错】①的坑在于 是间断点，「在 上单调递减」这种合并说法在间断点处不成立。③要把零点个数转成 与水平线的交点， 的最小值是 （在 处取到），水平线必须高于这个最小值才有可能交三次。 【答案】②④⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与零点 函数与导数 · 专题篇 零点的存在性与唯一性 一、把「有且仅有」拆成两句 至多一个： 在定义域上严格单调，或先增后减（先减后增）且极值不变号。 至少一个：在定义域内找到 ， 使 ，由零点存在定理即得。 二、端点值的取法 对数型优先取 ，；指数型优先取 ，；含参时取与参数无关的定点。 三、单调函数的值域是开区间或全体实数 在 上单调且 、 时，值域为全体实数，对每个 恰有一解。 四、含极值时先算极值点的函数值 若两个极值同号，零点只可能出现在「从 走向极值」的那一段里，这一段恰跨零一次。 五、偶函数的唯一零点必是 是偶函数且有唯一零点，则这个零点就是 ；于是只需令 时无零点，把参数分离出来求另一侧的值域。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数。求证：当时，有且仅有一个零点。 变式1-1（解答·★★★★★） 已知函数，。若有两个极值点，证明：有且只有一个零点。 变式1-2（解答·★★★★★） 已知函数（，），。证明：关于的方程有且仅有一个实根。 变式1-3（填空·★★★☆☆） 关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______________。 变式1-4（填空·★★★☆☆） 已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______。 例2（解答·★★★★★） 已知函数。证明：方程，有唯一解。 零点个数的判定 一、两条主干 数交点：把 看成水平线 与 的图象，零点个数等于交点数。 分离参数：把含参方程整理成 或 ，再数 与 的交点。 二、求导定形，画草图前先算三样东西 单调区间、极值、两端趋势（， 时 的走向）。 三、先摘掉「白送」的零点 分段函数在分界点处两段都为 时，这个零点必定出现；先把它摘出来，剩下的要求数量就要相应减一。 四、分段函数必须逐段数交点再相加 两段的值域不同，同一条水平线与两段的交点个数也不同；要按 落在哪一段的值域里分别讨论。 五、含 或 时先除，再看形状 把方程两边同除 或 ， 这类就化成顶点在 的 V 形，左右两支分别与曲线定交点。 六、复合方程先证单调再降次 在 单调的前提下等价于 。 例3（单选·★★★☆☆） 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 变式3-3（解答·★★★★★） 已知函数，。讨论零点的个数。 变式3-4（解答·★★★★★） 已知函数。函数。当时，讨论函数在区间上的零点个数。 变式3-5（解答·★★★★★） 已知函数。讨论的零点个数。 变式3-6（解答·★★★★★） 已知函数，。讨论的零点个数。 变式3-7（解答·★★★★★） 已知函数。设，为的导函数，讨论的零点个数。 变式3-8（解答·★★★★★） 已知函数。当时，求零点的个数。 变式3-9（解答·★★★★★） 已知函数。讨论函数的零点的个数。 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________。 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知在处取得极小值。若，讨论零点的个数。 变式4-4（解答·★★★★☆） 已知函数，曲线在点处的切线方程为。讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0。 变式4-5（解答·★★★★★） 已知函数（且，，）。讨论函数的零点个数。 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-2（解答·★★★★★） 已知（）。当时，试讨论函数的零点个数。 变式5-3（解答·★★★★★） 已知函数，，。设函数。当时，讨论的零点个数。 由零点个数求参数范围 一、反问题的唯一出口：分离参数 把零点方程整理成 ，则「 有 个零点」等价于「直线 与 有 个交点」。 二、分离不了时用「半分离」 参数与 纠缠（如 ）时，把 单独解出来变成 ，再研究 的单调性与值域。 三、两条决定答案的线 极值线： 的极大值、极小值；水平线： 与 时 的走向。 四、闭区间上的零点个数 「在 上恰有 个零点」＝ 端点函数值异号 ＋ 区间内极值点的个数与位置；参数由这两条一起卡。 五、复合零点个数 型先令 ，把 的取值范围算出来，再数每个 对应的原象个数。 六、端点情形必须单独验 参数取到极值时通常对应「相切」，交点个数比邻域少一个，是全题最容易漏的一档。 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数。若有两个零点，则的取值范围是________。 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数。若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围。 变式6-2（填空·★★★★☆） 设，为实数，函数和。设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”。当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为__________。 变式6-3（解答·★★★★★） 已知函数（）有两个不同的零点，分别记为，，且。求实数的取值范围。 变式6-4（解答·★★★★★） 已知函数，。若函数有且只有两个零点，求的取值范围。 变式6-5（解答·★★★★★） 设函数，。若函数有两个不同零点，，求实数的取值范围。 例7（填空·★★★☆☆） 已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________。 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________。 变式7-2（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是______。 变式7-3（填空·★★★★☆） 已知函数，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为________。 变式7-4（解答·★★★★★） 已知函数，。若曲线与关于直线对称，关于的方程恰有三个不等实根，，，其中。求的取值范围。 零点的综合性质 一、三个零点的韦达关系 的三个零点 ，， 满足 、、。三次函数的二次项系数为零时，三个零点之和是定值。 二、平方和与倒数和都能用韦达换 ；。 三、零点的位置由极值点的符号卡定 时， 落在左极值点之左、 落在两个极值点之间、 落在右极值点之右。 四、两个零点的偏移问题 两式相减得 ，令 后 ，再用 放缩。 五、多选逐项断案 先定参数范围（或先把参数解出来），再逐项验证；含「存在」「最小」「最大」字样的选项，要给出取到的条件，不能只举一个例子。 例8（多选·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 变式8-1（多选·★★★☆☆） 已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知，，分别是函数，，的零点，则（ ） A. B. C. D. 例9（多选·★★★☆☆） 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 变式9-1（多选·★★★★☆） 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 变式9-2（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，已知是方程的一个实根，过点作垂直于轴的直线，该直线与函数的图象交于点，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 变式9-3（填空·★★★★☆） 已知函数，给出下列五个结论：①当时，的零点；②当时，的图象关于直线对称；③当时，存在常数，使得恒成立；④，在上单调递减；⑤若有三个零点，则整数的最小值为。其中所有正确的结论的序号是_____ 变式9-4（填空·★★★★☆） 对于函数，下列说法正确的序号是___________。①在上单调递减，在上单调递增②③设有3个不同的零点，则④若方程有四个不同的实数根，则⑤不等式在时恒成立 学科网（北京）股份有限公司 $