第二十七章反比例函数专题训练·双曲线与直线：几何不变性及常见图形 专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与直线：几何不变性及常见图形 【专题简介】 反比例函数 （）显著的代数特征是横、纵坐标之积恒为定值，即 ．这一代数恒等式映射到几何图形上，便衍生出一系列恒定不变的几何量：过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，垂线段与坐标轴围成的矩形面积恒等于 ；连接该点与坐标原点，所得直角三角形的面积恒等于 ．这种“动中有静、变中见定”的特征，构成了反比例函数几何不变性． 反比例函数的另一大核心不变性源于图象的中心对称性．双曲线的两支关于原点 严格中心对称；任何一条过原点的直线 与双曲线相交时，两交点必关于原点对称，且两点向坐标轴引垂线所得的图形不仅全等，所割补出的对顶三角形、平行四边形及梯形面积也具有严格的对称性与等量关系．将中心对称与系数 的几何意义相结合，可使纷繁复杂的面积计算化繁为简． 在综合题中，双曲线常与几何图形融合．图形的特殊性质（如中点坐标、垂直平分、边长相等、角平分线）与反比例函数的坐标表达相互渗透：利用“一线三垂直”模型构造全等三角形、利用相似比转化线段长度、利用中点平分底边推导面积平分． 专题一　系数 k 的几何意义与面积不变性 1．【2025北京中考真题·k的几何意义基础】如图，点 是反比例函数 （）在第一象限图象上的一点，过点 作 轴于点 ，连接 ．若 的面积为 ． （1）求 的值； （2）若点 的横坐标为 ，求点 的坐标及直线 的函数表达式； （3）过点 作 轴于点 ，求矩形 的面积． 2．【2025武汉期末真题·双垂线矩形面积】如图，点 是反比例函数 （）在第二象限图象上的一点，过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、．若矩形 的面积为 ． （1）求 的值； （2）若点 的纵坐标为 ，求点 的坐标； （3）连接 ，求 的面积． 3．【2026人教版教材改编·动点面积不变性】如图，点 、 是反比例函数 （）图象上的两个动点，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． （1）求 与 的面积，并判断二者的大小关系； （2）若点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求梯形 的面积； （3）说明为什么双曲线上动点与原点、垂足围成的直角三角形面积保持不变． 4．【2025成都中考真题·含参矩形面积】如图，反比例函数 （）的图象经过点 ，过点 分别作两坐标轴的垂线，垂足为 、，矩形 的周长为 ． （1）求 的值及 的值； （2）点 在该双曲线上，求 的值； （3）连接 ，求 的面积． 专题二　过原点直线的对称性与面积不变模型 5．【2025杭州中考真题·正比例与双曲线交点三角形】如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 、 两点，过点 作 轴于点 ，连接 ． （1）求点 、 的坐标； （2）说明点 与点 关于原点对称； （3）求 的面积． 6．【2025南京期末真题·平行四边形面积不变】如图，正比例函数 （）与反比例函数 相交于 、 两点，过点 作 轴平行线，过点 作 轴平行线，两线相交于点 ． （1）求点 与点 坐标之间的等量关系； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）求 的面积． 7．【过原点动直线与四边形面积】如图，直线 经过原点 ，与双曲线 交于 、 两点．过点 分别向两坐标轴作垂线，垂足为 、；过点 分别向两坐标轴作垂线，垂足为 、． （1）判断点 与点 是否关于原点对称； （2）求四边形 的面积； （3）说明当直线 绕原点旋转时，四边形 的面积是否发生变化． 8．【2025合肥中考真题·对称性与梯形面积】如图，双曲线 与正比例函数 交于 、 两点，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． （1）求点 、 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）求四边形 的面积． 专题三　双曲线与矩形、正方形的几何性质综合 9．【2025广州中考真题·双曲线过矩形对角线中点】如图，矩形 的顶点 为原点， 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上．反比例函数 （）的图象经过对角线 的中点 ．若矩形 的面积为 ． （1）设点 的坐标为 ，用含 、 的式子表示点 的坐标； （2）求 的值； （3）若双曲线与边 交于点 ，求 的面积． 10．【2025深圳期末真题·正方形边上截取双曲线】如图，正方形 的边长为 ，边 在 轴正半轴上，边 在 轴正半轴上．反比例函数 （）的图象分别与边 、 交于点 、． （1）若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标； （2）在（1）的条件下，求 的面积； （3）连接 、，求四边形 的面积． 11．【人教版教材改编·矩形折叠与反比例函数】如图，矩形 的顶点 、．反比例函数 （）的图象经过边 的中点 ． （1）求点 的坐标及 的值； （2）求双曲线与边 的交点 的坐标； （3）连接 ，求 的面积． 12．【2025西安期末真题·矩形割补与面积不变】如图，矩形 的顶点 、．反比例函数 （）的图象交边 于点 ，交边 于点 ．若 的面积为 ． （1）用含 的代数式表示线段 与 的长； （2）求 的值； （3）求五边形 的面积． 专题四　双曲线与三角形、梯形的常见图形综合 13．【2025长沙中考真题·一线三垂直与反比例函数】如图，在平面直角坐标系中，Rt 的直角顶点 在反比例函数 （）的图象上，，．点 在 轴正半轴上，点 的横坐标为 ． （1）过点 作 轴于点 ，说明 ； （2）求点 、 的坐标； （3）求 的值． 14．【2025苏州期末真题·等腰直角三角形中点】如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt 的斜边 在 轴上，直角顶点 在第一象限，且落在双曲线 上．已知 、． （1）求直角顶点 的坐标； （2）求 的值； （3）若动点 在双曲线上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标． 15．【梯形与反比例函数交点】如图，直角梯形 中，，，边 在 轴上，边 在 轴上．已知 、、．反比例函数 （）经过线段 的中点 ． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）求 的值； （3）求双曲线与边 的交点 的坐标及 的面积． 16．【2025青岛中考真题·三角形中位线与双曲线】如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在双曲线 上，点 在 轴上．点 为线段 的中点，点 为线段 的中点． （1）求 的值； （2）求点 、 的坐标； （3）判断点 是否在该双曲线上，并说明理由；求四边形 的面积． 专题五　多点垂线段的面积割补与重叠消去 17．【2025重庆中考真题·双垂线阴影面积】如图，点 、 是双曲线 （）在第一象限图象上的两点，分别过 、 向两坐标轴作垂线，垂足分别为 、、、．垂线相交形成的阴影部分面积为 ．已知点 、． （1）求 的值； （2）求矩形 与矩形 的面积； （3）求阴影部分（不重叠部分）的面积总和． 18．【2025郑州期末真题·重叠矩形面积差】如图，点 、 是双曲线 （）上的两点，且 ．过 作两轴垂线围成矩形 ，过 作两轴垂线围成矩形 ．两矩形重叠部分的矩形记为 ． （1）写出 与 的面积； （2）说明 与 为什么相等； （3）若点 、，求重叠部分 的面积及非重叠阴影部分的面积． 19．【三点引垂线的阶梯面积】如图，反比例函数 （）的图象上有三点 、、．分别过这三点向 轴作垂线，垂足分别为 、、． （1）求线段 与 的长度； （2）求梯形 与梯形 的面积； （3）判断上述两个梯形面积的大小关系，并说明理由． 20．【2025天津中考真题·动直线截垂线段比值不变】如图，双曲线 （）与直线 交于 、 两点．点 是线段 上的一动点，过 作 轴垂线交双曲线于 、交 轴于 ． （1）设点 的横坐标为 ，写出 的取值范围； （2）用含 的代数式表示线段 与 的长； （3）若 ，求 的值． 专题六　几何不变性在综合开放探究中的应用 21．【2025陕西中考真题·平行线截双曲线面积不变】如图，直线 ，直线 过原点且与双曲线 （）交于 、 两点，直线 与双曲线交于 、 两点． （1）说明 与 的面积关系； （2）若 ，点 ，求 的面积； （3）若点 的横坐标为 ，求点 的横坐标及四边形 的面积． 22．【2026名校模考·反比例函数与菱形不变性】如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线交于原点 ， 在 轴上， 在 轴上．双曲线 经过边 的中点 ．若菱形 的面积为 ． （1）设点 、，用含 、 的式子表示点 的坐标； （2）求 的值； （3）判断双曲线是否经过边 的中点 ，并说明理由． 23．【2025辽宁中考真题·双曲线交平行四边形定比不变】如图，平行四边形 的顶点 为原点，边 在 轴正半轴上，，．反比例函数 （）的图象经过点 ，并与对边 交于点 ． （1）求点 的坐标及 的值； （2）求点 的坐标及线段 的长； （3）求线段 与边 的比值，并说明当点 在 轴上移动时，该比值是否保持不变． 24．【2026名校压轴·三步递进开放探究】如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 、 两点，直线与两坐标轴分别交于 、 两点． （1）求点 、 的坐标及 的面积； （2）求 的面积； （3）设 为线段 上的动点，过 作 轴平行线交双曲线于 ．当 面积最大时，求点 的坐标，并求出最大面积；说明该最大面积与 面积的关系． 参考答案 1．解：（1）∵ 轴于点 ，点 在反比例函数 （）的图象上， ∴ ， ∴ ． （2）当 时，，∴ 点 的坐标为 ． 设直线 的函数表达式为 ．把 代入，得 ，∴ ， ∴ 直线 的函数表达式为 ． （3）∵ 轴， 轴， ∴ 矩形 的面积为 ． 2．解：（1）∵ 点 在第二象限，且过点 向两坐标轴引垂线围成的矩形面积为 ， ∴ ．又∵ 图象在第二象限，∴ ， ∴ ． （2）当 时，代入 ，得 ，∴ ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 轴于点 ， ∴ ． 3．解：（1）∵ 点 、 都在反比例函数 的图象上，且 轴， 轴， ∴ ，， ∴ ，两面积相等． （2）把 代入，得 ，∴ ；把 代入，得 ，∴ ． ∵ 、，∴ ， ∴ ． （3）设双曲线上任意一点的坐标为 ，则点 到 轴的距离为 ，到原点的水平距离为 ， 直角三角形的面积为 ． 由于 是常数，故该面积恒等于 ，与点 在双曲线上的具体位置无关． 4．解：（1）∵ 点 ，且矩形 的周长为 ， ∴ ，解得 ． 把 代入 ，得 ． （2）把 代入 ，得 ，∴ ． （3）∵ 、， ∴ ． 5．解：（1）联立解析式得 ，∴ ，∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （2）∵ 点 与点 的横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数， ∴ 点 与点 关于原点 对称． （3）∵ 轴于点 ，∴ 点 的坐标为 ，∴ ． 点 到直线 （即直线 ）的距离为 ， ∴ ． 6．解：（1）∵ 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点成中心对称，它们的交点 、 关于原点对称， ∴ ，． （2） 是直角三角形．理由如下： ∵ 轴， 轴，而 轴与 轴互相垂直， ∴ ，即 ， ∴ 是直角三角形． （3）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∴ ，， ∴ ． 7．解：（1）设点 的坐标为 ，则由中心对称性得点 的坐标为 ． ∵ 轴于 ， 轴于 ，∴ ，， ∴ 点 与点 关于原点对称． （2）点 的坐标为 ．在四边形 中，连接 、交 于中点， 由对称性易求得 ． （3）面积保持不变．因为对过原点的任意直线 ，、 两点始终在双曲线 上， 横、纵坐标之积始终为 ，故四边形的面积恒等于 ． 8．解：（1）联立解析式得 ，∴ ，∴ 或 ． ∴ ，． （2）∵ 轴， 轴，∴ ，， ∴ ． （3）四边形 是直角梯形，，，高为 ， ∴ ． 9．解：（1）∵ 点 、， 为线段 的中点， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 矩形 的面积为 ，且边分别在坐标轴上，∴ ． ∵ 点 在反比例函数 的图象上， ∴ ． （3）∵ 边 在直线 上，点 在边 上且在双曲线上， ∴ 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴ ． 10．解：（1）∵ 正方形 的边长为 ，∴ 、、． ∵ 为边 的中点，∴ ． 把 代入 ，得 ． 把 代入 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 、、，∴ ，． ∵ ，∴ ． （3）． 11．解：（1）∵ 、，∴ 矩形顶点 ． ∵ 为边 的中点，∴ 点 的坐标为 ． 把 代入 ，得 ． （2）把 代入 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ ，，且 ， ∴ ． 12．解：（1）∵ 矩形 中 、，∴ ，边 在直线 上，边 在直线 上． 把 代入 ，得 ，∴ ，∴ ； 把 代入 ，得 ，∴ ，∴ ． （2）由题意得 ， 展开得 ， ∴ ．∵ 点 在边 上，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． （3）五边形 的面积等于矩形 的面积减去 的面积： ． 13．解：（1）∵ 轴于点 ，，， ∴ 在 Rt 与 Rt 中，，（公共边）， 由斜边直角边定理（HL）得 ． （2）由全等得 ．∵ 点 的横坐标为 ，且 轴，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 点 的坐标为 ． 由全等及等腰直角三角形性质得 ，∴ 点 的坐标为 ． （3）把 代入 ，得 ． 14．解：（1）∵ 等腰 Rt 的斜边 在 轴上，、， ∴ ．直角顶点 的横坐标为线段 的中点横坐标 ； 斜边上的高为斜边的一半 ，∴ 点 的坐标为 ． （2）把 代入 ，得 ． （3）设点 的坐标为 ． ∵ 与 共底边 ，要使面积相等，只需点 到 轴的距离等于点 到 轴的距离， 即 ．∵ 点 在第一象限，∴ ，∴ （此时点 与点 重合）． 若两三角形底边不同，则按 重新求解可得 或 ． 15．解：（1）∵ 、， 为线段 的中点， ∴ ，，∴ 点 的坐标为 ． （2）把点 代入 ，得 ． （3）边 在直线 上，把 代入 ，得 ，∴ ． 由坐标面积公式：． 16．解：（1）把 代入 ，得 ． （2）∵ 、，∴ 中点 ； ∵ 、，∴ 中点 ． （3）当 时，，∴ 点 不在该双曲线上． ∵ 点 、 是 两边的中点，∴ 是 的中位线， ∴ ，相似比为 ，面积比为 ． ∵ ，∴ ， ∴ ． 17．解：（1）把 代入 ，得 ． （2）由反比例函数系数 的几何意义知，双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线围成的矩形面积恒等于 ， ∴ 矩形 的面积为 ，矩形 的面积为 ． （3）两矩形重叠部分为以 、、、 为顶点的正方形，面积为 ． ∴ 阴影部分（不重叠部分）的面积总和为 ． 18．解：（1）由系数 的几何意义知，，． （2）∵ ，，两矩形的面积相等， ∴ ，，两者自然相等． 这说明从两个等面积的图形中扣除同一个公共重叠部分，剩余面积严格守恒． （3）当 、 时，重叠部分矩形的长为 、宽为 ， ∴ ． 非重叠阴影部分的面积总和为 ． 19．解：（1）∵ 、、， ∴ ，． （2）、，∴ ，，高为 ， ∴ ； 、，∴ ，，高为 ， ∴ ． （3）两个梯形的面积相等（都等于 ）． 这是因为反比例函数满足等比步长下梯形面积相等的性质，体现了面积的不变性． 20．解：（1）∵ 动点 在线段 上，且 、，∴ ． （2）∵ ，过 作 轴垂线交双曲线于 、交 轴于 ， ∴ ，． （3）由 ，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理得 ，两边同乘 ，得 ，即 ， 解得 ，均在 范围内，符合题意． 21．解：（1）∵ 直线 过原点，点 、 关于原点对称，即 ； 由平行线间的距离处处相等知，点 、 到直线 的距离相等， ∴ 与 的面积相等． （2）∵ 直线 过原点 且过点 、， ∴ 点 、点 、点 在同一条直线上，三点共线，不能构成三角形，面积为 ． （3）根据平行线割双曲线形成的四边形性质，可由坐标法求得面积为定值 ． 22．解：（1）∵ 、， 为线段 的中点， ∴ 点 的坐标为 ． （2）菱形 的对角线分别为 、，且互相垂直， ∴ ，∴ ． ∵ 点 在第一象限，∴ ，，． ∵ 点 在双曲线上，∴ ． （3）双曲线经过边 的中点 ．理由如下： 由菱形的中心对称性知，边 与边 关于原点 对称， ∴ 边 的中点 与边 的中点 关于原点 对称． ∵ 反比例函数的图象本身关于原点对称，且点 在双曲线上， ∴ 点 关于原点的对称点 必在该双曲线上． 23．解：（1）∵ 四边形 是平行四边形，，， ∴ ． 把点 代入 ，得 ． （2）∵ 边 在直线 上，把 代入 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ， ∴ ． （3）∵ 边 的长度等于点 到 轴的距离，即 ， ∴ ． 当点 在 轴上移动时，设 ，则 ，而点 的纵坐标始终为 ， 线段 ，比值与具体位置有关；但在固定几何构型中，若保持平行四边形形状，则该比例体现了几何不变性． 24．解：（1）在 中，令 得 ，令 得 ， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴ ． （2）由长方形包络割补法：以 、、、 为顶点作长方形（面积 ）， 割去三个直角三角形（面积分别为 、、）， ∴ ． （3）过点 作 轴平行线交双曲线于 ． 以 为底边， 被分为两个等高的三角形： ． ∵ ，当 时等号成立， ∴ 的最大面积为 ，此时点 的坐标为 ． 由于 ，故最大面积恰好等于 ，体现了面积的恒等关系． 学科网（北京）股份有限公司 $