第二十七章反比例函数专题训练·双曲线与直线：图象法解方程不等式 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与直线：图象法解方程不等式 当反比例函数 与一次函数 的图象相交时，交点的横坐标就是方程 的解；两图象在某一区间上的上下位置关系，则直接对应着不等式 或 的解集．把“解方程”与“解不等式”转化为“看图象”． 用图象法解方程 ，是抓住“交点的横坐标”．设两图象交于 、，则该方程的解即为 或 ；反之，若已知方程的解，也就知道了两图象交点的横坐标，代入任一解析式即可求出交点纵坐标，进而确定另一个函数中的待定系数． 用图象法解不等式 ，是判断“谁在谁的上方”．在双曲线位于直线上方的那些区间内，反比例函数的值大于一次函数的值，这些区间的并集就是不等式的解集．需要特别注意的是，双曲线被 轴分成两支，解集通常被分成两段，书写时必须写成“ 或 ”这样用“或”连接的形式，切不可写成“”的连续区间． 专题一　由图象交点直接读出方程的解 1．【教材改编·交点横坐标即方程的解】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）直接写出方程 的解； （2）求 的值； （3）直接写出不等式 的解集． 2．【由一交点求另一交点】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点，点 的横坐标为 ． （1）求点 的坐标及 的值； （2）求点 的坐标； （3）直接写出方程 的解． 3．【由图象写方程的解】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）求 的值及 的值； （2）求一次函数的表达式； （3）直接写出方程 的解． 4．【方程解的个数与交点个数】在平面直角坐标系中，已知反比例函数 与一次函数 ． （1）判断方程 的实数解的个数； （2）求这两个函数图象交点的个数； （3）说明“方程解的个数”与“图象交点个数”之间的关系． 专题二　由图象位置关系读出不等式的解集 5．【教材改编·双曲线在直线上方】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）直接写出不等式 的解集． 6．【双曲线在直线下方】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）直接写出不等式 的解集； （2）直接写出不等式 的解集； （3）说明在写解集时为什么必须用“或”连接两段区间． 7．【与坐标轴围成的区间】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点，直线 与 轴交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）直接写出不等式 的解集； （3）直接写出不等式 的解集． 8．【双不等式综合】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）求 的值； （2）直接写出不等式 的解集； （3）直接写出不等式 的解集． 专题三　求函数表达式与图象交点 9．【教材改编·待定系数法求解析式】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点 的坐标及一次函数的表达式； （3）直接写出不等式 的解集． 10．【由面积定参数】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ． （1）求 与 的值； （2）求另一个交点 的坐标； （3）直接写出不等式 的解集． 11．【由交点横坐标求参数】已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 、 两点，且点 的横坐标为 ． （1）求 的值及点 的坐标； （2）求点 的坐标； （3）直接写出不等式 的解集． 12．【由解集反求参数】已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 、 两点，且不等式 的解集为 或 ． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求点 、 的坐标． 专题四　比较函数值的大小 13．【教材改编·由图象比较大小】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）当 时，比较 与 的大小； （2）直接写出使 的 的取值范围； （3）直接写出使 的 的取值范围． 14．【由点的高低比较】如图，直线 与双曲线 交于 、 两点． （1）在图中标出点 ，并判断点 与直线、双曲线的位置关系； （2）当 时，比较 与 的大小； （3）直接写出使 的 的取值范围． 15．【三点函数值比较】如图，反比例函数 （）的图象上有 、、 三点，且 ． （1）判断 、、 的大小关系； （2）若 ，判断 、、 的大小关系； （3）说明为什么比较反比例函数值大小时必须考虑点所在的象限． 16．【含参比较】已知点 、、 都在反比例函数 （）的图象上． （1）判断 、 的大小关系； （2）判断 、 的大小关系； （3）把 、、 按从小到大的顺序排列． 专题五　方程、不等式与图形的综合 17．【教材改编·交点与三角形面积】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线与 轴交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）求 的面积； （3）直接写出不等式 的解集． 18．【不等式与面积】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）求两交点与原点 围成的 的面积； （2）直接写出使 的 的取值范围； （3）若点 在双曲线上，且点 的横坐标为 ，求 的面积． 19．【不等式的整数解】如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）求两交点的坐标； （2）求不等式 的解集中满足 的整数解； （3）求所有整数解的和． 20．【由解集求参数范围】已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）若 ，求两交点的坐标； （2）若两交点都在第一象限，求 的取值范围； （3）若不等式 的解集为 或 ，求 的值． 专题六　图象法与代数法的互验及综合探究 21．【教材改编·两种解法互验】已知反比例函数 与一次函数 ． （1）用代数方法解方程 ； （2）用图象法说明该方程的解就是两函数图象交点的横坐标； （3）判断“方程有两个实数解”与“两图象有两个交点”是否等价，并说明理由． 22．【方程根的分布】已知反比例函数 （）与一次函数 的图象交于 、 两点． （1）若 ，求两交点的坐标； （2）若两交点都在第一象限，求 的取值范围； （3）判断方程 的两根之和是否为定值，若是，求出该定值． 23．【不等式的解集与参数】已知反比例函数 （）与一次函数 ． （1）若两图象有公共点，求 的取值范围； （2）若不等式 无解，求 的取值范围； （3）若不等式 的解集为 ，求 的值． 24．【类比探究·三步递进开放压轴题】如图，一次函数 的图象与反比例函数 （）的图象交于 、 两点． （1）求 、 的值及 的值； （2）直接写出不等式 的解集； （3）若点 是 轴上的动点，直接写出使 的面积为 的点 的坐标． 参考答案 1．解：（1）∵ 两图象交点的横坐标就是方程 的解，且两交点为 、， ∴ 方程 的解为 或 ． （2）∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． （3）∵ 双曲线 位于直线 上方的部分对应的横坐标取值范围即为所求， 结合图象可知，当 或 时，双曲线在直线上方， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 2．解：（1）∵ 点 在直线 上，且其横坐标为 ， ∴ ，∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． （2）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． ∵ 点 的横坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 ，此时 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 两图象交点的横坐标即为方程的解， ∴ 方程 的解为 或 ． 3．解：（1）∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． ∵ 点 也在该图象上，∴ ． （2）∵ 一次函数 的图象过 、 两点， ∴ 两式相减得 ，∴ ，代入得 ， ∴ 一次函数的表达式为 ． （3）∵ 两图象交点的横坐标即为方程的解， ∴ 方程 的解为 或 ． 4．解：（1）由 ，两边同乘 ，得 ，即 ． ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数解，即实数解的个数为 ． （2）解方程得 ，∴ 或 ， ∴ 两函数图象交点的个数为 ． （3）∵ 方程 的每一个实数解，都对应着两图象一个公共点的横坐标； 反过来，两图象的每一个公共点，其横坐标也都是该方程的一个实数解， ∴ 方程实数解的个数与两函数图象公共点的个数是一一对应的，二者相等． 5．解：（1）∵ 双曲线 位于直线 上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （2）∵ 双曲线位于直线下方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （3）∵ 不等式 比 多包含了两个交点， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 6．解：（1）∵ 双曲线 位于直线 下方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （2）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （3）∵ 反比例函数 的图象由两支曲线组成，它们被 轴分隔开，在 处没有图象； ∴ 满足条件的 的取值必然分散在 轴两侧，不能连成一段， ∴ 写解集时必须用“或”连接两段，而不能写成连续区间的形式． 7．解：（1）∵ 直线 ，令 ，得 ，∴ ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 不等式 要求同时满足 与 ， 由 得 ； 由图象可知， 的解集为 或 ， 取两者的公共部分，得 ， ∴ 不等式 的解集为 ． （3）∵ 不等式 要求同时满足 与 ， 由 得 ； 由图象可知， 的解集为 或 ， 取两者的公共部分，得 ， ∴ 不等式 的解集为 ． 8．解：（1）∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． （2）∵ 双曲线 位于直线 上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （3）∵ 不等式 要求同时满足 与 ， 由 得 ； 由图象可知， 的解集为 ， 取两者的公共部分，得 ， ∴ 不等式 的解集为 ． 9．解：（1）∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ， ∴ 反比例函数的表达式为 ． （2）∵ 点 在该图象上，∴ ，∴ 点 的坐标为 ． ∵ 一次函数 的图象过 、 两点， ∴ 两式相减得 ，∴ ，代入得 ， ∴ 一次函数的表达式为 ． （3）∵ 双曲线 位于直线 上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 10．解：（1）∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． ∵ 点 在一次函数 的图象上，∴ ，∴ ． （2）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． ∵ 点 的横坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 ，此时 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 11．解：（1）∵ 点 在直线 上，且其横坐标为 ， ∴ ，∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． （2）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． ∵ 点 的横坐标为 ，∴ 点 的横坐标为 ，此时 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 12．解：（1）（2）∵ 不等式 的解集为 或 ， ∴ 两图象交点的横坐标分别为 和 ，且双曲线位于第一象限，． 设 、． ∵ 点 在双曲线上，∴ ；∵ 点 在双曲线上，∴ ． ∵ 点 在直线上，∴ ；∵ 点 在直线上，∴ ． 由 与 ，得 ，∴ ，∴ ， ∴ ． （3）当 、 时，，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 检验：直线 与双曲线 相交，且 的解集确为 或 ，符合题意． 13．解：（1）当 时，，， ∵ ，∴ ． （2）∵ 即双曲线位于直线上方，此时对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 使 的 的取值范围是 或 ． （3）∵ 即双曲线位于直线下方，此时对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 使 的 的取值范围是 或 ． 14．解：（1）∵ 当 时，，∴ 点 在双曲线 上； 又∵ 当 时，，∴ 点 位于直线 的下方． （2）当 时，，， ∵ ，∴ ． （3）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 使 的 的取值范围是 或 ． 15．解：（1）∵ ，且 ， ∴ 点 、、 都在第一象限，在该象限内 随 的增大而减小， ∴ ． （2）∵ ， ∴ 点 、 在第三象限，点 在第一象限， ∴ ，，， 又∵ 在第三象限内 随 的增大而减小，且 ，∴ ， ∴ ． （3）∵ 反比例函数的图象由分别位于第一、三象限的两支曲线组成， ∴ 在每一支上 随 的变化规律虽然相同，但两支上函数值的正负不同， ∴ 比较函数值大小前，必须先判断各点分别位于哪一支上，再结合增减性比较，否则会得出错误的结论． 16．解：∵ ，∴ 反比例函数 的图象位于第二、四象限， 在每一支上 随 的增大而增大． （1）∵ 点 、 的横坐标都为负数，∴ 两点都在第二象限， ∵ ，∴ ． （2）∵ 点 在第二象限，∴ ； ∵ 点 在第四象限，∴ ， ∴ ． （3）由（1）（2）知 ， ∴ 把 、、 按从小到大的顺序排列为 ． 17．解：（1）∵ 直线 ，令 ，得 ，∴ ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、 都在 轴上，∴ ； 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． （3）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． 18．解：（1）设直线 与 轴交于点 ． 令 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ，∴ ． ∴ 被 轴分成 与 两部分． ∵ 点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ， ∴ ，， ∴ ． （2）∵ 双曲线位于直线下方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 使 的 的取值范围是 或 ． （3）∵ 点 在双曲线上，且其横坐标为 ，∴ ，∴ 点 的坐标为 ． 过点 、 分别作坐标轴的平行线，可得以 、、、 为顶点的长方形，其面积为 ． 的面积等于该长方形的面积减去三个直角三角形的面积： ， ∴ ． 19．解：（1）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （2）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． ∵ 还要求 ，取公共部分得 或 ， ∴ 其中满足条件的整数解为 、、、． （3）， ∴ 所有整数解的和为 ． 20．解：（1）当 时，联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （2）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ． 设两交点横坐标为 、，则 ，． ∵ 两交点都在第一象限，∴ ，， ∴ ，∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴ ， ∴ 的取值范围是 ． （3）∵ 不等式 的解集为 或 ， ∴ 两图象交点的横坐标分别为 和 ． 把 代入 ，得 ，∴ 交点 ． ∵ 该点在双曲线 上，∴ ． 检验：当 时，两交点为 、， 的解集确为 或 ，符合题意． 21．解：（1）由 ，两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． （2）∵ 方程 的每一个解，都使反比例函数与一次函数的函数值相等， ∴ 以该解为横坐标的点同时位于两个函数的图象上，即该点是两图象的公共点； 反过来，两图象的每一个公共点，其横坐标都使两个函数值相等，因而都是方程的解， ∴ 方程的解就是两函数图象交点的横坐标，这就是图象法解方程的依据． （3）在反比例函数的定义域内，二者是等价的： ∵ 方程有几个实数解，两图象就有几个公共点；方程没有实数解，两图象就没有公共点． 22．解：（1）当 时，联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （2）联立解析式得 ． 设两交点横坐标为 、，则 ，． ∵ 两交点都在第一象限，∴ ，， ∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ ，∴ ， ∴ 的取值范围是 ． （3）由（2）知 ，与 的取值无关， ∴ 方程 的两根之和为定值 ． 23．解：（1）联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． ∵ 两图象有公共点，∴ ，∴ 或 ． 又∵ 公共点的横坐标 ，且 ，∴ ， ∴ 的取值范围是 ． （2）∵ 不等式 无解，即 对一切 都成立， ∵ ，两边同乘 得 ，即 对一切 都成立， ∴ ，∴ ． （3）∵ 不等式 的解集为 ， ∴ 方程 的两根分别为 和 ， ∴ ， ∴ ． 检验：当 时，方程为 ，解得 或 ， 且 的解集确为 ，符合题意． 24．解：（1）∵ 点 在直线 上，∴ ； ∵ 点 在直线 上，∴ ，∴ ， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． （2）∵ 双曲线位于直线上方的部分对应的横坐标取值范围为 或 ， ∴ 不等式 的解集为 或 ． （3）过点 、 分别作坐标轴的平行线，交于点 ， 则 ，，且 ． 设点 ． 当 时，点 在点 的右侧， 以 为底，点 到直线 的距离为 ， 则 ； 以 为底，点 到直线 的距离为 ，则 ． ∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 由图形的对称性，当点 在点 的正下方时，即 时， ，点 到直线 的距离为 ， ，也符合题意． ∴ 点 的坐标为 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $