精品解析：山西省太原市小店区山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断（ 总第八次 ） 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题， 每小题5分， 共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交、补运算求结果． 【详解】由题设，则． 故选：B 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 68 B. 72 C. 84 D. 89 【答案】D 【解析】 【分析】按照百分位数的定义，直接求得. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是89. 故选：D 4. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求得准线方程求解. 【详解】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 . 故选：D. 5. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 6. 在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（ ） A. 16 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合二项式展开式的性质可得，从而可求出的值. 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 7. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，设， 因为，求解出的值，即可求解． 【详解】因为圆为的外接圆， 所以 ， 因为是的平分线， 所以， 设， 因为， 所以. 故选：A 8. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题: 共3小题， 每小题6分， 共18分. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有错选的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项和 D. 数列是递减数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线C的离心率为 B. 当时，曲线C的离心率为 C. 当时，曲线C的离心率为4 D. 当时，曲线C的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，由已知求出点的坐标，再结合双曲线定义，逐项列式求出离心率并判断得解. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点，得， 设，由，解得， 对于A，，又，则， 由勾股定理得，即，曲线C的离心率为，A正确； 对于B，，不妨令，则， 即，整理得，曲线C的离心率为，B正确； 对于C，，则， 解得，曲线C的离心率为，C错误； 对于D，，而， 解得，又，即，曲线C的离心率为，D正确. 故选：ABD 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题: 本题共3小题， 每题5分， 共15分. 12. 复数 的虚部是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法，结合复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以所求虚部为. 故答案为： 13. 已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为_____. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，根据圆和圆外切得到三角形三边长，利用等面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】 由题意，的三边长分别为，设内切圆半径为，则. 根据余弦定理，，则， ，. 故答案为：. 14. 按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 【答案】 ①. 96 ②. 625## 【解析】 【分析】对于空①：先利用组合确定的不同的可能种数，然后结合集合的交并运算，利用乘法计数原理得到对于的每一种确定的情况，集合列的不同种数，进而利用乘法计数原理求得集合列的不同种数，得到空①的答案；类似空①的求解过程，得到的元素个数为0，1，2，3，4的各种情况下的集合列的不同种数，然后根据加法计数原理求和，并利用二项式定理化简计算得到空②的答案. 【详解】空①：有2个元素，是从中任选2个数字，有种不同的可能； 由于，所以中必须而且只需包含没有被选中的2个元素； 其余的2个元素都可以任意的在或不在中，各有4种不同的处置方法， 每种方法都确保了集合列的不同， 从而有种不同的处置方式，得到集合列的16种不同的结果， 所以集合列有种不同的结果. 空②：类似空①的过程，可知当时， 集合列有个不同的结果， 因为， 所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果. 故答案为：96；625. 四、解答题: 本题共5小题， 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. （1）求证：平面BDM； （2）若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接AC交BD于，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点， 所以在中，有， 又平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明； （2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 又是AE的中点，故， ，因为， 所以，解得， 设，即， 可得，则， 又，设平面AEF的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线PM与平面AEF所成角为， 则 所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为. 【点睛】 16. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，配方可得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）求出，根据错位相减法计算即可求解. 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， 17. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （3）两队积分相等的概率小于 【解析】 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【小问1详解】 由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． 【小问3详解】 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 18. 已知椭圆：. （1）若椭圆过点，且离心率，求的取值范围； （2）若椭圆过点，且焦距为2，其中为椭圆的离心率，求椭圆的标准方程； （3）在(2)条件下，设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）将椭圆过的点代入方程，结合离心率与、、的关系，转化为关于离心率的表达式，再由离心率的范围求解的取值范围. （2）由焦距确定的值，结合离心率定义与椭圆过的点，列方程组求解、，得到椭圆的标准方程. （3）分直线斜率不存在与存在两种情况，利用椭圆方程、平行四边形的向量性质化简条件，计算平行四边形的面积，判断其是否为定值. 【小问1详解】 ∵在椭圆，∴，有， 所以， 又∵，所以，∵，∴； 【小问2详解】 设椭圆的焦距为，则， 由题意可得，解得， 故的标准方程为. 【小问3详解】 平行四边形的面积为定值，理由如下： 由（2）可得：，则有： 当直线的斜率不存在时，设， 若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设， 可得，解得， 故平行四边形的面积； 当直线的斜率存在时，设， 联立方程，消去y得， 则， 可得， ∵， 若为平行四边形，则， 即点, 点B在椭圆上，则， 整理可得，满足， 则， 可得， 点到直线的距离， 故平行四边形的面积； 综上所述：平行四边形的面积为定值. 19. 函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明：，． 【答案】（1） （2） （3）证明：先证明左边， 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即． 又因为， 所以，，，， 累加得，． 再证明右边， 由（2）知，当时，在上单调递减， 所以当时，，得， 令， 累加得 ， 所以． 所以，． 综上所述，，． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）先证明左边，由（1）知，当时，在上单调递增，可得．利用累加可得，再证明右边，由（2）知，当时，在上单调递减，得，令，，，，，，累加得证. 【小问1详解】 ， 当时，， ． 当时，，当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减． 所以． 【小问2详解】 ， ， ，当时等号成立， 当时，，恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则只需，即恒成立，所以，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025~2026学年第一学期高三1月模块诊断（ 总第八次 ） 考试时间: 120分钟 总分: 150分 一、单选题: 共8小题， 每小题5分， 共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 68 B. 72 C. 84 D. 89 4. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 5. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（ ） A. 16 B. 14 C. 15 D. 17 7. 已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题: 共3小题， 每小题6分， 共18分. 全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有错选的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项和 D. 数列是递减数列 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线C的离心率为 B. 当时，曲线C的离心率为 C. 当时，曲线C的离心率为4 D. 当时，曲线C的离心率为 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题: 本题共3小题， 每题5分， 共15分. 12. 复数 的虚部是_____. 13. 已知三个圆、圆、圆两两外切，半径分别为3，4，5，则的内切圆半径为_____. 14. 按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 四、解答题: 本题共5小题， 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. （1）求证：平面BDM； （2）若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 16. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 18. 已知椭圆：. （1）若椭圆过点，且离心率，求的取值范围； （2）若椭圆过点，且焦距为2，其中为椭圆的离心率，求椭圆的标准方程； （3）在(2)条件下，设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由． 19. 函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $