精品解析：山西部分校联考2026-2027学年高三上学期10月素质评价二数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为：，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程求出集合B的全部元素，再利用交集的运算法则计算求解． 【详解】，则，解得，即， ． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解得不等式的解集，再根据充分不必要条件的定义，即可判断. 【详解】根据题意，由不等式，解得， 记集合，集合， 所以是的真子集，即“”是“”的充分不必要条件. 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 5. 若函数是单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性求解． 【详解】因为在上单调递增，则函数在上单调递增， 故，解得． 6. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则的图象在处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为定义域为的函数满足，所以对称轴为， 所以， 两边求导可得， 所以， 又当时，，， 所以. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在上为增函数，且，所以， 得，即， 因为在上为增函数，且，所以， 得，即， ， 所以. 8. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类奇函数”．已知是定义在上的“类奇函数”，则实数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由 “类奇函数” 的定义可知，存在，使得，代入函数解析式化简得到，构造函数，利用导数研究函数单调性，求出的值域，进而求得实数的最小值. 【详解】由题意得，是定义在上的 “类奇函数” 则存在，满足， 已知， ， ， 由得： ， 整理得：， 即， 令，， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值： ， 端点处， ， ， ， 因此实数的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求解后可判断A；由基本不等式判断B，C，D. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又因为， 所以，得，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为，故D正确. 10. 已知函数的定义域为，若，，，且当时，，则（ ） A. B. ， C. 在上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法判断AB，根据单调性定义判断C，将转化为， 再结合单调性等价于，通过解二次不等式判断D. 【详解】选项A，令，，代入得：，即； 又因为当时，，所以，因此，A错误； 选项B，令，则， 代入得：， 即，变形得； 因为，所以，故； 又，所以，，B正确； 选项C，任取、，且，则， 令，，代入得：； 因为，故，所以， 即时，故在上单调递增，C正确； 选项D，由可得， 则， 所以原不等式等价于； 又，且在上单调递增，所以， 又，故对任意恒成立，不等式无解， D错误. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 当时，若方程有两个不等实根，则 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导，代入，求出的值，即可判断；对于B，由题意可得在上恒成立，求出的范围，即可判断；对于C，代入，求出函数的最小值及趋势，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，求出的范围，即可判断；对于D，令，利用导数判断是否成立，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 又因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为在上单调递减， 所以，所以，故B错误； 对于C，当时，，求导得， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 且当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以， 又因为方程有两个不等实根， 即直线与函数的图象有两个交点，所以，故C正确； 对于D，当时，， 令， 则， 当时，，，此时， 当时，，，此时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即， 即，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是偶函数，则__________．（用数字作答） 【答案】2 【解析】 【分析】将函数解析式展开，利用偶函数满足自变量一次项系数为 ，求出 的值后代入计算 . 【详解】. 因为 是偶函数，所以 的一次项系数为 ，即 . 解得 . . 13. 已知，，若，且，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 14. 若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数分析函数的单调性，进而确定极小值点，最后根据极小值不小于求出的取值范围. 【详解】已知，其定义域为， 根据求导公式可得：， 因为函数存在极小值，所以在上有解， 即在上有解，当时，，解得， 不在定义域内，舍去，当时，是一元二次方程， 根据一元二次方程求根公式可得：， 因为，所以，解得， 设的两根为，（）， 由韦达定理可知：，所以，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，将代入可得极小值， ，因为，所以， 则，又因为， 令，则， 已知极小值不小于，即，也就是， 移项可得，令， 则，所以在上单调递减， 又因为，所以的解为， 即，解不等式，因为， 所以，移项可得， 两边同时平方得，移项化简可得： ，即，因式分解得： ，解得或（舍去）， 综上所述：实数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若⫋，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合及，再根据并集的定义求解即可； （2）分和两种情况讨论，再求解即可. 【小问1详解】 当时，，或． 当时，，即． 所以或． 【小问2详解】 由（1）知，，⫋， 若，则，解得； 若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． 16. 已知函数的图象在处的切线斜率为2． （1）求实数的值，并判断的单调性； （2）若当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用切线斜率列方程求出a，再通过导函数符号判定函数在上的单调性； （2）先判断函数为奇函数，结合单调性化简转化为恒成立问题，求出二次函数最小值进而解出范围． 【小问1详解】 由题意，得． 由，解得． 所以，． 所以在上单调递增． 【小问2详解】 的定义域为，且， 所以是奇函数． 当时，等价于①． 又单调递增，所以①式可化为． 因为在上的最小值为， 所以，即，故实数的取值范围为． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增． 当时， 在和上单调递增，在上单调递减． 当时，在上单调递增． 当时， 在和上单调递增，在上单调递减 （2）要证：， 即证． 又，只需证． 令，则，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 故，即，从而原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）写出函数的定义域和导数.然后讨论的取值范围，得到或的解集，从而写出函数的单调区间； （2）整理所需要证明的不等式得到新的不等式，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调区间，由函数的最小值证明新的不等式，即可求证. 【小问1详解】 由题意知，的定义域为， ． ①当时，，则当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，，则当或时，，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减． ③当时，，则对任意恒成立， 所以在上单调递增． ④当时，，则当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求得导数，然后求得切点坐标和切线斜率，由点斜式写出直线方程； （2）令，由分离常数得到，构造函数，由导数得到函数单调区间，作出函数大致图象，由图象得到答案； （3）整理不等式，构造函数，由，求得的范围.求导数，验证导数的正负性，然后构造函数，通过导数得到函数的单调性，即可通过得到函数的单调性，从而求得的范围. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以所求切线方程为，即． 【小问2详解】 令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： 由图可得，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由，得． 令，，由，可得． 当时，，易知． 令，得． 因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）若恰有两个极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 附：当时，． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i） （ii）要证，即证，即证． 由（i）可知，，是的两个正根，且，， 由，两式作差，得． 令，则，代入上式，得， 整理得． 所以． 所以． 要证，即证，即证，即证（）． 令（），则， 所以在上单调递增，故，即成立． 所以成立，故得证． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负分析函数的单调性； （2）（i）由题设可得在上有两个不等实根，结合其单调性进行求解即可； （ii）结合（i）转化问题为证明（），令（），利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增． 因此，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）由，， 则． 令，， 则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． 又当时，，当时，， 因为恰有两个极值点，，且， 则在上有两个不等实根，则，解得， 即实数的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则的图象在处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类奇函数”．已知是定义在上的“类奇函数”，则实数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的定义域为，若，，，且当时，，则（ ） A. B. ， C. 在上单调递增 D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 当时，若方程有两个不等实根，则 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是偶函数，则__________．（用数字作答） 13. 已知，，若，且，则__________． 14. 若函数存在极小值，且极小值不小于，则实数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若⫋，求实数的取值范围． 16. 已知函数的图象在处的切线斜率为2． （1）求实数的值，并判断的单调性； （2）若当时，，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）若恰有两个极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 附：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $