3.1.1椭圆及其标准方程同步训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学3.1.1椭圆及其标准方程同步训练 一、单选题： 1.已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为(    ) A. B. C. D. 2.平面内有一长度为的线段，动点满足，则点的轨迹是(    ) A. 直线 B. 射线 C. 椭圆 D. 圆 3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如果椭圆上一点到焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离为(    ) A. B. C. D. 5.已知，则“”是“椭圆的焦距为”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 8.已知圆：和：，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.椭圆的焦距为，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 10.已知曲线：，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 三、填空题： 11.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为           ． 12.已知是椭圆上一动点，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为          ． 13.已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是          ． 14.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是          ． 四、解答题： 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程： 中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点，长轴长为短轴长的倍． 16.设椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． 求椭圆的方程； 点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 高二数学3.1.1椭圆及其标准方程答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为，， 所以， 故的周长为． 故选：． 2.【答案】  【解析】由椭圆的定义知点的轨迹是椭圆故选C． 3.【答案】  【解析】由题意可得，解得故选B． 4.【答案】  【解析】由椭圆的定义知，因为，所以故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查椭圆的概念与标准方程，属于基础题． 通过讨论焦点的位置，得到关于的方程，求出对应的的值，根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：椭圆的焦距为，， 当焦点在轴上，， 又，， 当焦点在轴上，， 又，， 则“”是“椭圆的焦距为”的充分不必要条件， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的基本性质，属于综合题． 根据椭圆方程分类讨论讨论得到、的关系，得到结果． 【解答】 解：当时，焦点在轴上，要使上存在点满足，则，即，得 当时，焦点在轴上，要使上存在点满足，则，即，得，故的取值范围为，选A． 7.【答案】  【解析】圆：的圆心，半径设椭圆的左焦点为，如图，由椭圆的定义知，则，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立．又，，则，． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，属于中档题． 根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程． 【解答】 解：圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为， 由题意，，， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的焦点、焦距，属于基础题． 由椭圆的标准方程中即可求解． 【解答】 解：因为椭圆的焦距为，则， 当焦点在轴上时，，，， 由，即，解得， 当焦点在轴上时，，，， 由，即，解得； 故或． 故选：． 10.【答案】  【解析】若，则可化为其中，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，B错误；若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C错误；若，，则可化为，即，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确故选AD． 11.【答案】  【解析】解：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形， 设，， 由椭圆的定义可得， 所以， 因为， 即， 所以， 所以四边形的面积为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】设，，由点是线段的中点知，，又所以，即点的轨迹方程为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义及简单几何性质，同时考查两点间的距离公式，考查了数形结合思想，属于中档题． 设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，则当取得最大值时，最大，利用数形结合即可求解． 【解答】 解：椭圆的标准方程为，，， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义可知， 当取得最大值时，最大， 如图所示： 因为， 当且仅当，，三点共线，且在线段上时，等号成立， 所以的最大值为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题． 求得椭圆的，，，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆的定义求得各边长，利用余弦定理求的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线的斜率． 【解答】 解：由椭圆得，，， 设椭圆的右焦点为，连接， 线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 连接，可得， 中，，，， 由余弦定理得 ， ， ，即直线的斜率为． 故答案为． 15.【答案】解：设椭圆的标准方程为． 将两个已知点坐标分别代入，得，， 所以所求椭圆的标准方程为． 若焦点在轴上，根据已知，设椭圆的标准方程为． 因为在椭圆上，所以，，所以椭圆的标准方程为． 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为． 因为在椭圆上，所以，，所以椭圆的标准方程为． 综上，所求椭圆的标准方程为或．  16.【答案】解：因为点在椭圆上，所以，解得． 因为，，，所以，即， 即，则，得，所以，故椭圆的方程为． 设，因为的面积为，所以，则，解得，因为点在椭圆上，所以，则，解得，所以点的坐标为或或或．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $