椭圆六考点专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆六考点（中等难度解答12题） 一、轨迹+第二定义 1．（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 二、铅垂法 2．已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【详解】（1）椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ；椭圆的方程为. （2）（i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，.. 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. .为定值. 三、向量问题 3．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立， ，解得，① ，， 则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为． 4．已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，，设， 因为点在椭圆上，所以，即有， ，则直线的方程为， 令，得，所以，，则直线的方程为， 令，得，所以，则，， 所以. 5．已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 四、面积问题 6．已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，，因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：，消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，.原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 7．已知椭圆的离心率为，短半轴长为. (1)求的方程； (2)过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程. 【详解】（1）解：由椭圆离心率为，可得，即 又由椭圆短半轴长为2，可得， 因为，可得，可得，所以，， 所以椭圆方程为. （2）解：由（1）知：，椭圆的左焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得，假 设直线与椭圆的两交点坐标为，可得，， 则有，即， 因为的面积为，可得， 整理得，解得， 因为，所以，所以直线的方程为. 8．已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 五、定值问题 9．已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【详解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到：展开整理得， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标：同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 10．已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此，此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 11．已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【详解】（1）由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以.所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立.所以. 所以 ， 所以，即，.所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. （3）由（2）知.所以，所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 六、定点问题 12．已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以，所以椭圆方程为，所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得．又，所以； （3）由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆六考点（中等难度解答12题） 一、轨迹+第二定义 1.()如图.P为版，(+2+了=36上动点，点4的坐标为20，线段4P的套直平分线交直 线BP于点O,求点Q的轨迹方程： ②动点M6)与定点F4O的距离和M到定直线：x公的距离的比是常数，求动点M的轨边 BO A 试卷第1页（共3页） 二、铅垂法 x2.y2 2.已知椭圆C:。+存=1(a>b>0 的离心率为2，左顶点为4(-2,0) (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F作斜率不为0的直线I交C于M,N两点， (i)若直线I的倾斜角为45°，O为坐标原点，求△OMN的面积： k k2 ..kk2 ()设直线4以与直线MW的斜率分别为，，试判断，是否为定值？若是，求出该定值：若不是。 说明理由： 试卷第2页（共3页） 三、向量问题 3.设B分别是椭圆4+少= 的左、右焦点. 0若p是该精圆上的一个动点，且所，P所=，求点p的标： (2)设过定点 M(0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点AB,且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直 线的斜率k的取值范围. 试卷第3页（共3页） 1心克指段C号+长-ob为 的上顶点与右焦点间的距离为2，且精圆C经过点-3， (1)求椭圆C的标准方程： (2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于点A,B的动点，直线AP,BP分别交直线 x=4于M,N两点，求9 .OM.ON O (为坐标原点)的值 试卷第4页（共3页） 5.已知动圆过 点G(-1,0),且与因C:6-+y=16有 相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线「. (1)求Γ的方程： (2)设斜率为1的直线1与T的交点为A,B,与y轴的交点为P,若PB=7PA,求直线I的方程. 试卷第5页（共3页） 四、面积问题 C: 2.y2 6.已知椭圆：4+京=1(b>0) ,且焦点在x轴上，离心密 2 (1)求椭圆C的方程： ②过点P(0,-2 的直线与椭圆交于M,N两点，0为坐标原点，若S0w=V5, ,求直线的方程及弦长 MN 试卷第6页（共3页） C: 7.已知椭圆Ca+尔=1(a>b>0) 的离心率为2，短半轴长为2. (1)求C的方程： (2)过左焦点F且斜率大于0的直线I交C于A和B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为4，求I的方程 试卷第7页（共3页） E: 8.己知转圆B:疗十疗引的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为25. (1)求椭圆E的方程： P(2,0） (2)过点 的直线'交B于A,B两点，直线A0与E的另一个交点为C,若△MBC的面积是△0MP的 面积的4倍，求的方程 试卷第8页（共3页） 五、定值问题 E: 9.已知随圆+=1(a>b>0过点42,0)，且4=2b (1)求椭圆E的方程： ②设0为原点，过点1,0 的直线'与椭圆E交于不同的两点P,。,直线4P和40分别与'轴交于M N两点，求证： OMON 为定值 试卷第9页（共3页） x2,y2 10.已知椭圆C:+-a>b>0 2 上任意一点到它两焦点的距离之和为4W2,且离心率为2· (1)求椭圆C的方程： ②过椭园C的左焦点F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于D、E两点，直线与C交于M、 1 1 N两点，求证：DEMN为定值，并求出此定值. 试卷第10页（共3页） x2,y2 1业.已知椭圆C:+护=1 (a>b>0)的离心率为2，左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为 ，过右焦点的直线交椭圆于点M,N,且△FMW F ,且 的周长为 A F O F/B (1)求椭圆C的标准方程： 36 (②)当MN的长度为1时，求直线1的斜率： k (3)记直线AM、BN的斜率分别为，k,证明：k2为定值 试卷第11页（共3页) 六、定点问题 12.已知抛物线产=x与椭园厂：9十尔有相同的焦点，点A是稀的右顶点 (1)求椭圆离心率； (2)已知 点M(0,m）,m>0,若椭圆「上存在一点P,满足PA=M,求m的值： (3)若直线I与「交于B、C两点，且∠BAC为直角，求证：直线I恒过定点 试卷第12页（共3页）