精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国汉字博大精深，是中华艺术宝库中的瑰宝，其中有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 喜 B. 欢 C. 虹 D. 桥 2. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 5. 如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，顶角为120°，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 9. 下列说法中正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的对称轴是底边上的高；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 10. 等边三角形有______条对称轴． 11. 等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________． 12. 如图，在中，，且，则 _________． 13. 点关于轴的对称点坐标为，则________． 14. 如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 15. 如图，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=_________ 16. 如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为______． 18. 如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______． 三、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程组： （1）； （2）. 20. 解下列不等式及不等式组： （1）； （2）． 21. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系． （1）画出与关于y轴对称的； （2）请直接写出的面积为______． 22. 如图所示，等边三角形中，为边的中点，为延长线上一点，，于．求的度数． 23. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为 ；二次反射点为 ； （2）若的第一次反射点和的第二次反射点重合，求的值． 24. △ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD=CE，连接AE，CD交于点O （1）如图1，求证：CD=AE； （2）如图2，作等边△AEF，连接BF，DF.直接写出图2中所有120度的角. 25. 某商场在中俄博览会上购置，两种玩具，其中玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元． （1）求，玩具的单价； （2）若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于60000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？ 26. 如图1，在中，，． （1）求证：点D是的中点； （2）在图2中，点E、F分别为线段和上的点，，连接并延长交于点H，点L、M分别在线段上，连接，当时，试判断与的位置关系并说明理由； （3）在（2）的条件下，过点M作，连接交于点N，在的延长线上有一点R，连接，点T是的中点，连接，，，，，若，．求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国汉字博大精深，是中华艺术宝库中的瑰宝，其中有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 喜 B. 欢 C. 虹 D. 桥 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义为：沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、“喜”，可以找到一条过中点的竖直直线，使图形沿该直线对折后两侧完全重合，所以，“喜”是轴对称图形，符合题意； B、“欢”， 无法找到满足条件的直线，使图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、“虹”，无法找到满足条件的直线，使图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、“桥”，无法找到满足条件的直线，使图形对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此得到答案． 【详解】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点关于轴对称点的坐标为 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3. 如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线l 对称， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：三角形内部，到三角形三个顶点的距离相等， 一定是三角形三条边的垂直平分线的交点． 5. 如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由翻折的性质可知：．再根据矩形的性质得，由平行线的性质得出．从而，根据等角对等边得出，根据线段的和差得出结论。 【详解】解：由折叠不变性知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 6. 如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握等腰三角形性质是关键；由及，得；由可求得，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图，顶角为120°，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据折叠的性质可得∠BAE=∠B=30°，ED⊥AB，进而可得∠EAC=90°，然后分别在直角△AEC和直角△ADE中利用30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠BAC=120°，， ∴∠B=∠C=30°， ∵将折叠，使点与点重合，折痕为， ∴∠BAE=∠B=30°，ED⊥AB， ∴∠EAC=120°－30°=90°， ∵EC=4， ∴， 在△ADE中，∵∠ADE=90°，∠DAE=30°， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 9. 下列说法中正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的对称轴是底边上的高；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故①不正确； 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确； 等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故③不正确； 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线相互重合，故④不正确． 综上可知，正确的个数为1个． 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 10. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 11. 等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________． 【答案】16cm 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜7，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是7cm时，7，7，2符合三角形三边关系，此时周长是16cm． 故答案为：16cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 如图，在中，，且，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，结合三角形内角和定理直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和． 13. 点关于轴的对称点坐标为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m、n的值即可得到答案． 【详解】∵点关于轴的对称点坐标为，， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 15. 如图，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=_________ 【答案】108° 【解析】 【分析】由AD=BD得到∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得到∠CAD=∠CDA，∠DBA=∠C，再由三角形外角性质得到∠CAD=∠CDA=2∠DBA，从而可以推出∠BAC=3∠DBA，再根据三角形的内角和定理可求出∠DBA的度数，再求出∠BAC的度数． 【详解】解：设∠DBA的度数为， ∵AD=BD， ∴ ∠BAD=∠DBA =． ∵ AB=AC=CD， ∴ ∠CAD=∠CDA，∠DBA=∠C=． ∵ 由三角形外角和性质可得：∠CAD=∠CDA=2∠DBA=2， ∴ ∠BAC=∠DBA +∠CAD =3∠DBA=3． ∵∠BAC+∠DBA +∠C=180°， ∴3++=180°， ∴5=180°， ∴=36°， ∴∠BAC=3=108°． 故答案为108°． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和定理及三角形外角性质的综合应用，找出角与角之间的关系并利用内角和求解是解题的关键． 16. 如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】在上截取，连接，得出是的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ； ②若，如图2所示： 同①可得：， ， ， ； 综上所述：这个等腰三角形的一个底角的度数为或． 18. 如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案. 【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N， ∵MN是CD的垂直平分线， ∴MC=MD， ∴∠MDC=∠MCD， ∵∠AMC=∠MDC=∠MCD， ∴∠AMC=2∠ADC， ∵∠BED=2∠ADC， ∴∠AMC=∠BED， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠CAB=45°， ∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED， ∴∠ACM=∠BDE， ∵∠BDE=∠ADF， ∴∠ADF=∠ACM， ∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC， ∴FC=FD， ∵AF=2，FD=7， ∴AC=FC-AF=7-2=5， ∴S△ABC=×5×5=. 故答案为 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键. 三、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程组： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： ①＋②，得，解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解： 方程组可化为， ①，得③， ②＋③，得，解得， 把代入①，得 解得：， 所以原方程组的解是． 20. 解下列不等式及不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集是． 21. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系． （1）画出与关于y轴对称的； （2）请直接写出的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴对称的点、、，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为． 22. 如图所示，等边三角形中，为边的中点，为延长线上一点，，于．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答的关键； 由等边△的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据外角的性质可求的度数，进而得，即可求得的度数． 【详解】解：三角形是等边， ，， 又， ， 又， ； ∵为边的中点，， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为 ；二次反射点为 ； （2）若的第一次反射点和的第二次反射点重合，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——对称， （1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义解题即可． 【小问1详解】 解：根据题意，结合平面直角坐标系，可得到： 点的一次反射点为， 二次反射点为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，∵P为， ∴P的第一次反射点． 又∵Q为， ∴Q的第一次反射点为． ∴Q的第二次反射点为． 又∵的第一次反射点和的第二次反射点重合， ∴，． ∴，． ∴． 【点睛】 24. △ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD=CE，连接AE，CD交于点O （1）如图1，求证：CD=AE； （2）如图2，作等边△AEF，连接BF，DF.直接写出图2中所有120度的角. 【答案】（1）见解析；（2）∠ADF，∠AOC，∠DOE，∠FBC 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠ACE=∠B=60°，根据“SAS”证明△CAE≌△BCD，即可证出结论； （2）根据等边三角形的性质直接得出120度的角即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACE= 60°，BC=AC． 在△BCD≌△CAE中， ， ∴△BCD≌△CAE（SAS）， ∴CD=AE． （2）∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF=60°，AF=AE， ∴∠FAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE， ∴∠FAB =∠CAE． ∵AF=AE，∠FAB =∠CAE，AB=AC， ∴△AFB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABF=∠ACE=60°，FB=EC， ∴∠FBC=∠ABF+∠ABE=120°． ∵BD=CE，FB=EC， ∴BD= FB ∴∠FDB=60°，且DF∥CE， ∴∠ADF=120°． ∵ DF∥CE，且DF=CE， ∴ 四边形DFEC是平行四边形， ∴ DC∥FE ∴∠AOD=∠AEF= 60°， ∴∠AOC=120°， ∴∠DOE=∠AOC=120°． 故120度角的有∠ADF，∠AOC，∠DOE，∠FBC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的有关知识点是解题的关键． 25. 某商场在中俄博览会上购置，两种玩具，其中玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元． （1）求，玩具的单价； （2）若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于60000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？ 【答案】（1）每个种玩具50元，每个种玩具75元 （2）商场最多可以购置300个玩具 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用； （1）设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为y元，根据玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元，列方程组求解即可； （2）设购置A玩具个，根据购置玩具的总额不高于60000元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个种玩具元，每个种玩具元， 根据题意得， 解得， 答：每个种玩具50元，每个种玩具75元． 【小问2详解】 解：设购置A种玩具个 根据题意得： 解得： 答：商场最多可以购置300个玩具． 26. 如图1，在中，，． （1）求证：点D是的中点； （2）在图2中，点E、F分别为线段和上的点，，连接并延长交于点H，点L、M分别在线段上，连接，当时，试判断与的位置关系并说明理由； （3）在（2）的条件下，过点M作，连接交于点N，在的延长线上有一点R，连接，点T是的中点，连接，，，，，若，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质、判定，直角三角形性质解答； （2）根据，证明： （3）延长至W，使，连接，作于V，作于U，证明，得，证明，得，证明得，证明，即得． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， 点D是的中点； 【小问2详解】 解:．理由如下： ， ， 由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 延长至W，使，连接，作于V，作于U， ， ， ， 点T是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点U和L重合 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴，​ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】延长至W，使，连接，构造中线倍长模型． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，分别表示出和，通过角度和差化简，证得，再由“等角对等边”得到，从而证明为等腰三角形； （2）先由动点运动规律得，过作，利用平行线的内错角相等，结合已知，用证，得到，再复用第(1)问的结论，推得，得到，最终推出； （3）先由等腰三角形，证得为等边三角形，再通过三角形内角和推导角的等量关系，构造垂直平分线证等边三角形，结合、多次证明三角形全等，完成边的等量转化；然后利用含直角三角形的性质设参，结合已知化简求得；最后根据点坐标得到的长度，算出，复用第(2)问的结论，得到． 【小问1详解】 证明：如图1， 令， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为， ∴， 如图2，过点作，交于， 则，， 在和中， ， ∴， ∴，由(1)知，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， 过作，交延长线于点，延长到，使，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 过作，交于点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴． 【点睛】几何证等角、推边关系，优先用设参导角，把抽象的角度关系转化为代数式化简，规避复杂的角度推导，逻辑清晰不易错；遇到“线段中点（）+ 对顶角” 的结构，过端点作平行线构造“八字型”全等（第（2）问作），是此类题型的固定破题辅助线，可快速完成边的等量转化；本题三小问层层递进，前一问的结论可直接复用至后一问，无需重复推导，是几何综合题的核心解题逻辑，能大幅简化步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $