第09讲 幂函数与二次函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第09讲 幂函数与二次函数 一、必备知识整合 知识点一：幂函数 1．幂函数的定义 一般地，形如 (为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2．幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3．常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 4.幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,＋∞)上单调 ；当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,＋∞)上单调 ； ③任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第 象限. ④当α为奇数时,y＝xα为 ；当α为偶数时,y＝xα为 . 知识点二：二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： ； （2）顶点式： ；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式： ，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像及性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 3.一元二次方程根的分布问题 实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1） 方程有两个不等正根 ； （2） 方程有两个不等负根 ； （3）方程有一正根和一负根，设两根为 ； 一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴与区间端点的关系； （4）区间端点函数值的正负. 二、考点分类精讲 ►考点01 幂函数的概念及解析式 【例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________． 【变式3】已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． ►考点02 幂函数的图像及性质 【例2】函数的图像可能是（　　） A．B．C．D． 【变式1】如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 【变式2】下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 【变式3】下列命题中正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1） B．若函数f（x）＝是奇函数，则它在定义域上单调递增 C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限 D．幂函数的图象不可能是直线 ►考点03 幂函数的定义域及值域问题 【例3-1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为______． 【变式2】已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 【变式3】已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. ►考点04 利用幂函数单调性比较大小和解不等式 【例4】比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，，． 【变式1】已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【变式2】已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）． 【变式3】已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____． ►考点05 求二次函数的解析式 【例5】已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【变式1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 【变式2】已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到抛物线y＝g(x)的图象,则抛物线y＝g(x)的图象与y轴的交点坐标为(　　) A.(0,－8) B.(0,－6) C.(0,－2) D.(0,0) 【变式3】已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  ►考点06 二次函数的图像、单调性与最值 【例6】已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C． 2 D. 【变式1】(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【变式2】函数的单调递增区间为（    ） A. B． C． D． 【变式3】已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ►考点07 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【例7】已知函数在上的最大值为4，求的值． 【变式1】已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 【变式2】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 【变式3】已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. ►考点08 二次方程实根的分布及条件 【例8】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【变式1】已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] 　 B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) 　 D.[3，＋∞) 【变式2】设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 三、课后作业 1．已知幂函数的图像过点，则（    ） A． B． C． D．4 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0,1] B. C.[1,2] D. 5．函数部分图象大致为（    ） A．B． C．D． 6．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 8.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 10.（多选）幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3,m∈N*,则下列结论正确的有(　　) A.m＝1 B.函数f(x)在定义域内单调递减 C.f(－2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0,＋∞) 11.已知函数f(x)＝x2＋mx,若∀x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),则m＝　　　　　.  12．已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 ． 13.如图为三个幂函数y＝y＝y＝在其定义域上的局部图象,则实数a1,a2,a3从小到大的排列顺序为　　　　　.(请用“<”连接) 14.已知函数. (1)求的解析式；(2)若为任意实数，试讨论在上的单调性和最小值. 15．已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 幂函数与二次函数 一、必备知识整合 知识点一：幂函数 1．幂函数的定义 一般地，形如(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2．幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3．常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.幂函数的性质 ①幂函数在(0,＋∞)上都有定义； ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减； ③任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. ④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数. 知识点二：二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像及性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 3.一元二次方程根的分布问题 实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴与区间端点的关系； （4）区间端点函数值的正负. 二、考点分类精讲 ►考点01 幂函数的概念及解析式 【例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【变式1】下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________． 【答案】1 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 当时为偶函数，函数图象关于轴对称，符合题意；当时为奇函数，函数图象关于原点对称，不符合题意；即；故答案为： 【变式3】已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 【答案】 【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得， 又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件. 的解析式为． ►考点02 幂函数的图像及性质 【例2】函数的图像可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C 【变式1】如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 【答案】B 【解析】根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象： 当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,所以曲线C1的n＝2,C2的n＝； 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－C4的n＝－2. 【变式2】下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 【答案】　C 【解析】　对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确； 对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确； 对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确； 对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确. 【变式3】下列命题中正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1） B．若函数f（x）＝是奇函数，则它在定义域上单调递增 C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限 D．幂函数的图象不可能是直线 【答案】C 【解析】幂函数y＝x－1的图象不过点（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，于是A，B都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确故选：C． ►考点03 幂函数的定义域及值域问题 【例3-1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【例3-2】已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________． 【答案】3 【解析】因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0， 所以f(x)min＝＝＝1，即ac－1＝a，可得a＝>0，则c>1， 所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，当且仅当c＝2时，等号成立， 因此＋的最小值为3. 【变式1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为______． 【答案】 【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为： 【变式2】已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 【答案】　B 【解析】易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3， 由y＝－2，得x＝1或x＝3， 因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. 【变式3】已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，并确定的解析式； (2)令，求在的值域. 【解析】(1)因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意， 综上所述，的值为，函数的解析式为. (2)由（1）知，，所以，令，则， ，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为. ►考点04 利用幂函数单调性比较大小和解不等式 【例4】比较下列各组数的大小： (1)，；(2)，；(3)，，． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以． （2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以． 【变式1】已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】. 【变式2】已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2． 当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以， 又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜. 【变式3】已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】幂函数在上是减函数， ，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即， 在R上为增函数，，解得：.故答案为：. ►考点05 求二次函数的解析式 【例5】已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【答案】 【变式1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解析】方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1),所以抛物线的对称轴为x＝ 所以m＝.又根据题意,函数有最大值8,所以n＝8,所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1,所以a＋8＝－1,解得a＝－4, 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1,故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0), 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8,即＝8.解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【变式2】已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到抛物线y＝g(x)的图象,则抛物线y＝g(x)的图象与y轴的交点坐标为(　　) A.(0,－8) B.(0,－6) C.(0,－2) D.(0,0) 【答案】B 【解析】因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,2),故f(x)的对称轴为直线x＝2, 又f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4, 所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),设f(x)＝a(x－2)2＋2(a≠0), 将点(0,0)代入得a(－2)2＋2＝0,解得a＝－所以f(x)＝－(x－2)2＋2, 因为g(x)的图象为f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以g(x)＝f(x－2)＝－(x－2－2)2＋2＝－(x－4)2＋2, 令x＝0,则g(0)＝－×(0－4)2＋2＝－6, 所以g(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,－6). 【变式3】已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  【答案】f(x)＝x2－4x＋3 【解析】依题意,设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0),由二次函数f(x)的图象过点(0,3),得f(0)＝3,所以4a＋h＝3,即h＝3－4a,所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a, 令f(x)＝0,即a(x－2)2＋3－4a＝0,所以ax2－4ax＋3＝0, 设方程的两根为x1,x2,则x1＋x2＝4,x1x2＝ 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－ 所以16－＝10,解得a＝1,所以f(x)＝x2－4x＋3. ►考点06 二次函数的图像、单调性与最值 【例6】已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C． 2 D. 【答案】　A 【解析】因为f(x)＝－x2＋x＝－(x—1)2＋≤的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，依题意3b≤，所以b≤，所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，所以即所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－＝－4. 【变式1】(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【答案】BD 【解析】因为f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa, 对于A,当a＝－1时,f(x)＝－x2－2x＋1,其图象开口向下,对称轴方程为x＝－1,g(x)＝x－1＝其图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,故A满足要求； 对于B,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)＝xa在(0,＋∞)上单调递增,故B不满足要求； 对于C,当a＝时,f(x)＝x2－2x＋1,其图象开口向上,对称轴方程为x＝2,g(x)＝其图象在[0,＋∞)上单调递增,且越来越缓,故C满足要求； 对于D,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x＝－>0,故D不满足要求. 【变式2】函数的单调递增区间为（    ） A. B． C． D． 【答案】C 【变式3】已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以，由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A ►考点07 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【例7】已知函数在上的最大值为4，求的值． 【解析】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，即时，此时离对称轴更远，所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故，当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为，由已知，故，所以或. 【变式1】已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 【解析】　f(x)＝x2－tx－1＝－1－. (1)依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4，所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f＝－1－. ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 【变式2】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 【解析】①当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. ②函数图象的对称轴为直线x＝－. (ⅰ)当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； (ⅱ)当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或－1. 【变式3】已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 【解析】(1)由题意知a≠0. 当a>0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上,对称轴方程为x＝ 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2,又a>0,所以0<a≤； 当a<0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x＝<0, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.综上,a的取值范围是(－∞,0)∪. (2)①当0<≤1,即a≥时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2,即<a<时,f(x)在区间上单调递减,在区间 上单调递增,此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2,即0<a≤时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述,g(a)＝ ►考点08 二次方程实根的分布及条件 【例8】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，而函数图象开口向上，因此，则，解得，所以实数a的取值范围为 【变式1】已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] 　 B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) 　 D.[3，＋∞) 【答案】C 【解析】二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数， ∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 【变式2】设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 由方程在区间上有两个不相等的实数解可得 ，即或， 解得， 故选：C 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 【解析】(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得即 解得－<m<－.故实数m的取值范围为. (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得即解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. 三、课后作业 1．已知幂函数的图像过点，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B【解析】设，依题意，所以， 所以，所以；故选：B 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D 3．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若函数在上单调递减，则，若函数为偶函数，则，解得，因为，因此，函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.故选：B. 4.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0,1] B. C.[1,2] D. 【答案】D 【解析】f(x)＝2x2－x－1＝2 因为－1≤x≤1,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,且f＝－ 又f(1)＝2－1－1＝0,f(－1)＝2＋1－1＝2, 故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为. 5．函数部分图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】当时，，故BD不正确；当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，故选：C. 6．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：A. 7.已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 【答案】B 【解析】设f(x)＝x2－3x－4＝x∈R, 所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为x＝如图所示, 所以f＝－易知f(－1)＝f(4)＝0, 由图可知,要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为 则m的取值范围是. 8.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 9.（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD 10.（多选）幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3,m∈N*,则下列结论正确的有(　　) A.m＝1 B.函数f(x)在定义域内单调递减 C.f(－2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0,＋∞) 【答案】AD 【解析】由f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝1,解得m＝1或m＝－又m∈N*,所以m＝1.所以f(x)＝x－2＝故A正确； 因为函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称,由f(－x)＝＝f(x),知函数f(x)为偶函数,由于－2<0,故f(x)＝x－2在区间(0,＋∞)上单调递减,根据偶函数性质知f(x)＝x－2在区间(－∞,0)上单调递增,故B错误； f(－2)＝>＝f(3),故C错误； 因为f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),则x2>0,所以f(x)＝的值域为(0,＋∞),故D正确. 11.已知函数f(x)＝x2＋mx,若∀x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),则m＝　　　　　.  【答案】　－2 【解析】因为∀x∈R,f(1－x)＝f(1＋x), 函数f(x)的对称轴为直线x＝1, 而由f(x)＝x2＋mx＝可知其对称轴为直线x＝－故－＝1,解得m＝－2. 12．已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，所以当时，在上单调递增，又因为开口向下，对称轴为，所以，故，且在上的最大值为，当时，在上单调递增，所以由幂函数的性质可知，且，故，得，由于以上条件要同时成立，故，即. 13.如图为三个幂函数y＝y＝y＝在其定义域上的局部图象,则实数a1,a2,a3从小到大的排列顺序为　　　　　.(请用“<”连接) 【答案】a1<a2<a3 【详解】对于y＝由其图象可知a1<0； 对于y＝由其图象可知0<a2<1；对于y＝由其图象可知a3>1, 所以a1<a2<a3. 14.已知函数. (1)求的解析式；(2)若为任意实数，试讨论在上的单调性和最小值. 【详解】（1），. （2）由（1）得：为开口方向向上，对称轴为的抛物线；①当时，在上单调递减，； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，在上单调递增， ； 综上所述：当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，； 当时，在上单调递增，. 15．已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】(1) 或，又因为函数在上单调递增， ，（舍），，. (2)，恒成立，，恒成立． 令，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，故． 学科网（北京）股份有限公司 $