第09讲 函数的概念及其表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第09讲 函数的概念及其性质 模块一 函数的概念 1 模块四 认识抽象函数、复合函数（1） 14 模块二 三要素的求解 2 模块三 函数的表示方法 11 判断同一函数 课后作业 附解析 18 9 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第09讲 函数的概念及其表示 课堂思维碰撞 本 课 目 标 （1）搞懂高中函数的“新定义”：非空数集、任意、唯一对应。 （2）掌握核心要素：明确函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能熟练求解简单函数的定义域，掌握判断两个函数是否为“同一函数”的标准。 （3）熟悉表示方法：掌握函数的三种基本表示方法（解析法、图象法、列表法），理解分段函数的概念，并能根据实际情境选择合适的表示方法。 模块一 函数的概念 知 识 点 睛 定义：设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作： 。 核心关键词： · 非空数集： 必须是数集，不能是点集或其他集合。 · 任意性：定义域 中的每一个元素都必须有对应的 ，不能有“剩余”。 · 唯一性：一个 只能对应唯一的一个 。（“一对一”或“多对一”可以，“一对多”绝对不行！） 举例说明： ① 是函数，当y=1时，x=-1或x=1，有两个x对应一个y没问题；不是函数，当x=1时，y可以取±1，一个x对应两个y不符合定义中的唯一性！ ② 第一个不是函数图像，一个x可取两个y值，不符合唯一性 第二个是函数图像 ③集合A={1,2,3}，B={4,9}，已知x∈A，y∈B，对应关系f:，是否为函数？ 解：不是，因为x=1时无对应可取的y值。（不符合定义中的“任意性”） 模块二 三要素的求解 知 识 点 睛 函数的三要素（重要） · 定义域：自变量 的取值范围（即集合 ）。注意：定义域优先！研究函数必须先求定义域。 · 对应关系：将 转化为 的规则（即 ）。 · 值域：所有函数值组成的集合 。注意：值域是集合 的子集，不一定是 本身。 由函数定义可知，三者关系是定义域和解析式共同决定值域！ 同一函数的判断标准：当且仅当两个函数的定义域和对应关系完全一致时，它们才是同一个函数。（值域由前两者决定，无需单独比较；自变量用什么字母表示无关紧要，如 与 是同一函数）。 热 点 题 型 归 纳 一、定义域的求解：（x的取值范围，有以下三个注意点） 1.分母不为0；2.开偶次方根时，根号里面大于等于0；3. 无意义。 【例1】 （单选）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【练习1】 （单选）函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】由题意，解得或， 所以定义域为：或. 故选：C 【练习2】 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】要使函数 有意义，则， 所以的定义域为.故答案为：. 2、 对应关系 对应关系就像一个说明，拿到一个x值，要对它做怎样的处理。 Eg. 以前初中这么写 ， 现在高中, 【例2】 已知函数，则__________. 【答案】 【详解】先计算，再代入. 故答案为： 【练习3】 （单选）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，.故选：B 【练习4】（单选） 已知函数，则（ ） A. 5 B. 12 C. 7 D. 2 【答案】A 【解析】由题可知，， ，. 所以. 故选：A 目前熟悉的对应关系有一次函数、二次函数、反比例函数、到了高中我们学基本的初等函数后，会有加减乘除、嵌套，分段等各种方法组成一个新的函数，除了基本函数外，我们不可能见到的每个函数都学过，所以我们要去掌握研究新函数的方法，这个在下一章节函数性质会详细展开讲！ 3、 值域（y的取值范围） 一般会结合图像来看，给出定义域和解析式后，画图分析函数图像可取的最高点/最低点来确定y的取值范围。二次函数和基本不等式类型是目前常考的求值域题型。 Eg. ,我们可以说函数在x∈R上值域为;若的值域为. 以下用初中经常做的应用题（利润=售价-成本）举例来熟悉函数的解析式和值域。 【例3】 某乡镇依托生态农业政策，打造“树莓特色采摘小镇”，助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元，有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元，假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. （1）求的函数关系式； （2）当年产量为多少万千克时，该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为21万千克，利润最大是1251万元. 【解析】（1）， ∴. （2）当时，，故在上单调递增， ∴时，取最大值， 当时， ，当且仅当时等号成立， 因为，所以当时，， 综上，当年产量为21万千克时，该小镇获得最大利润，最大利润为1251万元. 【练习5】 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数解析式； （2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元 【解析】（1）由题意可得， 所以单株利润的函数解析式为： （2）当时，为开口向上的抛物线，其对称轴为：，所以当时， 当时，，， 当且仅当即时等号成立，此时， 综上所述：当投入的单株肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是元． 【练习6】 深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】（1） （2）14 【解析】（1）由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以． （2）当时，是二次函数，开口向下， 对称轴：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 4、 判断同一函数（只需看定义域和解析式是否一致即可） 【例4】 （单选）下列四组函数中，表示相同函数一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于选项A：定义域为，的定义域为， 所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误； 对于选项B：的定义域为，的定义域为， 所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误； 对于选项C：的定义域为，的定义域为， 这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为， 的定义域为或， 所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误. 故选：C 【练习7】 （多选）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】解：的定义域为． 对于A，定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 【练习8】 （单选）下面四组函数中，与表示同一个函数的是（ ）． A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】解：对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数； 对于C，函数，两个函数的定义域都是，所以这两个函数是相等函数； 对于D，，两个函数的定义域都是，又，所以这两个函数不是相等函数.故选：C. 模块三 函数的表示方法 知 识 点 睛 函数的三种表示方法 · 解析法：用数学等式（解析式）表示对应关系。优点：精确、便于计算和推理；缺点：不够直观。 · 图象法：用坐标系中的曲线或折线表示对应关系。优点：直观展示变化趋势；缺点：求值通常只能近似。 · 列表法：用表格列出 与 的对应值。优点：无需计算直接查值；缺点：只能表示有限个或离散的对应关系。 热 点 题 型 归 纳 图像法是分析函数的重要方法，需重点掌握。 （会从图中看出值域、定义域，会代点判断函数图像） 【例5】 （单选） 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 【答案】B 【解析】依题意可设，，由图1，代入，得，  由图2，代入，得，， 故， ; 设B产品投入x万元，则A产品投入万元，设企业利润为y万元， 可得， ， 当，即时， . 因此当A产品投入16万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为万元． 故选：B 【练习9】 （单选） 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A； 选项C中，存在一个对应多个值，不是函数的图象，排除C； 选项D中，取不到0，不符合题意，排除D故选：B. 【练习10】（多选）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】A选项，的定义域是，值域是，不符合题意. B选项，的定义域和值域都是，符合题意. C选项，的定义域是，值域是，不符合题意. D选项，的定义域和值域都是，符合题意. 故选：BD 【练习11】 设函数定义域集合，值域为集合，函数，集合. （1）求A，B； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由，解得，所以， 由，所以． （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以且， 由，可得， 所以，即，当时，与题意不符， 所以实数的取值范围为. 模块四 认识抽象函数、复合函数、分段函数 知 识 点 睛 ①复合函数：复合函数是由两个函数通过中间变量“嵌套”而成的。如果 y=f(u)，且 u=g(x)，那么 y=f(g(x)) 就是复合函数。g(x)是内层函数，f(u)是外层函数。 核心认知：在复合函数中，外层函数 f(u) 的定义域，实际上是内层函数 g(x) 的值域。 Eg. 为复合函数，x+1为内层函数，为外层函数， 因为定义域是x的取值范围，所以f(x)的定义域为, 定义域需要符合x+1>0，所以x>-1，定义域为 ②抽象函数：抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，通常以 f(x) 的形式出现，并附带一些恒等式条件。 核心认知：抽象函数虽然没有具体解析式，但它遵循“同一对应法则下范围一致”的原则。即 f(x)、 f(g(x))、 f(h(x)) 括号内整体的取值范围是相同的。 解题铁律：求抽象函数定义域时，本质上是解不等式。例如已知 f(x) 的定义域为 [a,b]，求 f(g(x)) 的定义域，就是令 a≤g(x)≤b，解出 x 的范围即可。 Eg.（1）已知f(x)的定义域为（1,3），求f(2x+1)的定义域； 解： 1<2x+1<30<x<1,(0,1); （2） 已知f(2x+1)的定义域为（1,3），求f(x)的定义域。 解： 1<x<3,2<2x<6,3<2x+1<7(3,7) ③分段函数：在自变量的不同取值范围内，用不同的解析式来表示对应关系的函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数！它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 · 图象特征：画图象时要分段画，注意端点是实心点（包含）还是空心点（不包含）。 前面题目中出现的，根据x范围不同对应不同解析式都叫分段函数，除了这种明显的，还有带“| |”的函数一般也为分段函数。 Eg.，图像为 【例6】 （多选）下列说法中正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】对于A，命题的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，的定义域为，定义域不同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，由，令，则，所以，解得 ，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则，即，所以函数的定义域为，故D正确.故选：ACD 【练习12】 （单选）8. 已知实数，函数若，则的值为（   ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】当时，，，由， 得，解得，则； 当时，，，由， 得，解得，矛盾，无解， 所以的值为. 故选：A 【练习13】 若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】由题可知，对于函数满足，所以， 所以对于函数有，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 【练习14】已知函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】由题设，可得，则的定义域为. 故答案为： 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列给出的四个对应关系中，能构成从集合 到集合 的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 1. 已知函数 ，则其定义域为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知函数 ，且 ，则实数 的值为 ____________。 1. 若函数 ，则 的值为 ____________。 1. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 求下列函数的定义域： （1） ； （2） 。 1. 已知函数 。 （1）求 的值； （2）若 ，求实数 的值。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】B。解析：A选项违背了“唯一性”（一对多）；C选项中当 时， 无意义，违背了“任意性”（定义域 中的 没有对应元素）；D选项中当 时， ，违背了函数定义中“在集合 中都有唯一确定的数”的要求；B选项满足任意性和唯一性，且对应值都在 中，故选 B。 2. 【答案】C。解析：判断同一函数需看“定义域”和“对应关系”。A中 定义域为 ，不同；B中 ，对应关系不同；C中两者定义域均为 ，且对应关系完全相同，只是自变量字母不同，是同一函数；D中 定义域为 ，不同。 3. 【答案】D。解析：要使函数有意义，需满足：① 偶次根号下大于 （因为还在分母上），即 ；② 分母不为零，即 。取交集得 且 ，即 。 二、 填空题 4. 【答案】 。解析：由题意得 ，解得 。 5. 【答案】 。解析：先求内层，因为 ，所以 ；再求外层，因为 ，所以 。故答案为 。 6. 【答案】 。解析：因为 的定义域为 ，即括号内的整体取值范围是 。所以对于 ，需满足 ，解得 。 三、 解答题 7. 【解析】 （1）要使函数有意义，需满足： ，即 。 取交集得定义域为：（或区间表示为 ）。 （2）要使函数有意义，需满足： 。由 得 ，这只有在 时才成立。结合 ，取交集得定义域为： （或区间表示为 ）。 1. 【解析】 （1）先求内层 。因为 ，代入第一段解析式： 。 再求外层 。因为 ，依然代入第一段解析式： 。 故 。 （2）因为 ，需对 的取值范围进行分类讨论： ① 当 时， ，解得 。但 ，舍去； ② 当 时， ，解得 。因为 ，舍去；而 ，符合题意； ③ 当 时， ，解得 。但 ，舍去。 综上所述，实数 的值为 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第09讲 函数的概念及其性质 模块一 函数的概念 1 模块二 三要素的求解 2 模块三 函数的表示方法 6 判断同一函数 课后作业 附解析 11 模块四 认识抽象函数、复合函数、分段函数（1） 8 6 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第09讲 函数的概念及其表示 课堂思维碰撞 本 课 目 标 （1）搞懂高中函数的“新定义”：非空数集、任意、唯一对应。 （2）掌握核心要素：明确函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能熟练求解简单函数的定义域，掌握判断两个函数是否为“同一函数”的标准。 （3）熟悉表示方法：掌握函数的三种基本表示方法（解析法、图象法、列表法），理解分段函数的概念，并能根据实际情境选择合适的表示方法。 模块一 函数的概念 知 识 点 睛 定义：设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作： 。 核心关键词： · 非空数集： 必须是数集，不能是点集或其他集合。 · 任意性：定义域 中的每一个元素都必须有对应的 ，不能有“剩余”。 · 唯一性：一个 只能对应唯一的一个 。（“一对一”或“多对一”可以，“一对多”绝对不行！） 举例说明： ① 是函数，当y=1时，x=-1或x=1，有两个x对应一个y没问题；不是函数，当x=1时，y可以取±1，一个x对应两个y不符合定义中的唯一性！ ② 第一个不是函数图像，一个x可取两个y值，不符合唯一性 第二个是函数图像 ③集合A={1,2,3}，B={4,9}，已知x∈A，y∈B，对应关系f:，是否为函数？ 解：不是，因为x=1时无对应可取的y值。（不符合定义中的“任意性”） 模块二 三要素的求解 知 识 点 睛 函数的三要素（重要） · 定义域：自变量 的取值范围（即集合 ）。注意：定义域优先！研究函数必须先求定义域。 · 对应关系：将 转化为 的规则（即 ）。 · 值域：所有函数值组成的集合 。注意：值域是集合 的子集，不一定是 本身。 由函数定义可知，三者关系是定义域和解析式共同决定值域！ 同一函数的判断标准：当且仅当两个函数的定义域和对应关系完全一致时，它们才是同一个函数。（值域由前两者决定，无需单独比较；自变量用什么字母表示无关紧要，如 与 是同一函数）。 热 点 题 型 归 纳 一、定义域的求解：（x的取值范围，有以下三个注意点） 1.分母不为0；2.开偶次方根时，根号里面大于等于0；3. 无意义。 【例1】 （单选）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【练习1】 （单选）函数的定义域是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【练习2】 函数的定义域为______． 2、 对应关系 对应关系就像一个说明，拿到一个x值，要对它做怎样的处理。 Eg. 以前初中这么写 ， 现在高中, 【例2】已知函数，则__________. 【练习3】 （单选）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【练习4】（单选） 已知函数，则（ ） A. 5 B. 12 C. 7 D. 2 3、 值域（y的取值范围） 一般会结合图像来看，给出定义域和解析式后，画图分析函数图像可取的最高点/最低点来确定y的取值范围。二次函数和基本不等式类型是目前常考的求值域题型。 Eg. ,我们可以说函数在x∈R上值域为;若的值域为. 以下用初中经常做的应用题（利润=售价-成本）举例来熟悉函数的解析式和值域。 【例3】 某乡镇依托生态农业政策，打造“树莓特色采摘小镇”，助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元，有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元，假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. （1）求的函数关系式； （2）当年产量为多少万千克时，该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 【练习5】 为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数解析式； （2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？ 【练习6】 深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元，，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 4、 判断同一函数（只需看定义域和解析式是否一致即可） 【例4】 （单选）下列四组函数中，表示相同函数一组是（ ） A. B. C. D. 【练习7】 （多选）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【练习8】 （单选）下面四组函数中，与表示同一个函数的是（ ）． A ， B. ， C. ， D. ， 模块三 函数的表示方法 知 识 点 睛 函数的三种表示方法 · 解析法：用数学等式（解析式）表示对应关系。优点：精确、便于计算和推理；缺点：不够直观。 · 图象法：用坐标系中的曲线或折线表示对应关系。优点：直观展示变化趋势；缺点：求值通常只能近似。 · 列表法：用表格列出 与 的对应值。优点：无需计算直接查值；缺点：只能表示有限个或离散的对应关系。 热 点 题 型 归 纳 图像法是分析函数的重要方法，需重点掌握。 （会从图中看出值域、定义域，会代点判断函数图像） 【例5】 （单选） 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 【练习9】 （单选） 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【练习10】 （多选）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【练习11】 设函数定义域集合，值域为集合，函数，集合. （1）求A，B； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 模块四 认识抽象函数、复合函数、分段函数 知 识 点 睛 ①复合函数：复合函数是由两个函数通过中间变量“嵌套”而成的。如果 y=f(u)，且 u=g(x)，那么 y=f(g(x)) 就是复合函数。g(x)是内层函数，f(u)是外层函数。 核心认知：在复合函数中，外层函数 f(u) 的定义域，实际上是内层函数 g(x) 的值域。 Eg. 为复合函数，x+1为内层函数，为外层函数， 因为定义域是x的取值范围，所以f(x)的定义域为, 定义域需要符合x+1>0，所以x>-1，定义域为 ②抽象函数：抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，通常以 f(x) 的形式出现，并附带一些恒等式条件。 核心认知：抽象函数虽然没有具体解析式，但它遵循“同一对应法则下范围一致”的原则。即 f(x)、 f(g(x))、 f(h(x)) 括号内整体的取值范围是相同的。 解题铁律：求抽象函数定义域时，本质上是解不等式。例如已知 f(x) 的定义域为 [a,b]，求 f(g(x)) 的定义域，就是令 a≤g(x)≤b，解出 x 的范围即可。 Eg.（1）已知f(x)的定义域为（1,3），求f(2x+1)的定义域； 解： 1<2x+1<30<x<1,(0,1); （2） 已知f(2x+1)的定义域为（1,3），求f(x)的定义域。 解： 1<x<3,2<2x<6,3<2x+1<7(3,7) ③分段函数 · 概念：在自变量的不同取值范围内，用不同的解析式来表示对应关系的函数。 · 本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数！它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 · 图象特征：画图象时要分段画，注意端点是实心点（包含）还是空心点（不包含）。 前面题目中出现的，根据x范围不同对应不同解析式都叫分段函数，除了这种明显的，还有带“| |”的函数一般也为分段函数。 Eg.，图像为 【例6】 （多选）下列说法中正确的是（ ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【练习12】 （单选）8. 已知实数，函数若，则的值为（   ） A. B. C. D. 1 【练习13】 若函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【练习14】 已知函数的定义域为，则的定义域为__________. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列给出的四个对应关系中，能构成从集合 到集合 的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 1. 已知函数 ，则其定义域为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知函数 ，且 ，则实数 的值为 ____________。 1. 若函数 ，则 的值为 ____________。 1. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 求下列函数的定义域： （1） ； （2） 。 1. 已知函数 。 （1）求 的值； （2）若 ，求实数 的值。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $