13.1 三角形中的边角关系 同步练习 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版（2024）八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步练习 一、选择题 1．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．以下列各组数据为边长，能够组成三角形的是（ ） A．2，4，8 B．4，4，8 C．5，6，9 D．5，6，11 3．已知三角形的两边长分别为5和6，第三边长为整数，则能画出周长为偶数的三角形的个数是（　　） A．10 B．11 C．4 D．6 4．如图，中，是角平分线，是的中线．若的面积是，，，则的面积是（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 5．等腰三角形中有两边的长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线a，b且（如图），点A、B在直线b上，，，点D在直线a上，，垂足为E，点E、F均在边上．若，则的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，5，9 C．2，5，5 D．5，12，7 9．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1.现将该细铁丝围成一个三角形(如图2所示)，则AB的长可能为 A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0 10．若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 11．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 12．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为__________ . 14．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为__________ . 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为__________ ． 16．当三角形中一个内角β是另一个内角α的 时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为36°，那么这个“倍角三角形”的倍角度数为__________ . 17．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是__________． 三、解答题 18．将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 19．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正偶数解，求该三角形的周长． 20．将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点E落在边上，且．求的度数． 21．如图，在中，，是边上的中线，和的周长之差为，且与的和为． (1)求、的长； (2)若，是的中点，求的面积． 22．[问题提出] 用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ [问题探究] 不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． [探究一] (1)用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然只能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝3时，m＝1. (2)用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n＝4时，m＝0. (3)用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝5时，m＝1. (4)用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝6时，m＝1. 综上所述，可得表如下： [探究二] (1)用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形(仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在下表中)? (2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形(只需把结果填在上表中)? 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… [问题解决] 用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(设n分别等于4k－1，4k，4k＋1，4k＋2，其中k是正整数，把结果填在下表中)? [问题应用] 用2018根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(写出解答过程)? 沪科版（2024）八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解析】∵是边上的中线，且，∴； 故选D． 2．以下列各组数据为边长，能够组成三角形的是（ ） A．2，4，8 B．4，4，8 C．5，6，9 D．5，6，11 【答案】C 【解析】A.，不能组成三角形，不符合题意； B.，不能组成三角形，不符合题意； C.∵， ∴能组成三角形，符合题意； D.，不能组成三角形，不符合题意； 故选C. 3．已知三角形的两边长分别为5和6，第三边长为整数，则能画出周长为偶数的三角形的个数是（　　） A．10 B．11 C．4 D．6 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系得：第三边的取值范围是大于1而小于11． 又根据周长是偶数，其它两边之和是11， 则第三边必是一个奇数，可以是3，5，7，9， 故能画出4个周长为偶数的三角形． 故选：C． 4．如图，中，是角平分线，是的中线．若的面积是，，，则的面积是（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【解析】过点D作，，垂足分别为， 是角平分线， ，设， ，， ， 解得，， ， 是的中线， ， 故选：C． 5．等腰三角形中有两边的长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】等腰三角形两边长为和， 若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系； 若腰长为，底边长为，则，，满足三角形三边关系， 周长为. 故选：D. 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 7．已知直线a，b且（如图），点A、B在直线b上，，，点D在直线a上，，垂足为E，点E、F均在边上．若，则的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解析】如图：延长交直线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，5，9 C．2，5，5 D．5，12，7 【答案】C 【解析】A，，∴不能构成三角形，不符合题意； B，∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C，∵，∴能构成三角形，符合题意； D，∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 9．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1.现将该细铁丝围成一个三角形(如图2所示)，则AB的长可能为 A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0 【答案】A 【解析】铁丝的总长度为1+1+1+1=4， 根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边， ∴AB边长度小于2，即AB的长可能为1.5. 10．若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】∵（a＋b－c）（a－c）＝0， ∴△ABC一定是等腰三角形 故选：C． 11．已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 12．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ 由折叠可得， ∴ ， ， 把沿对折， ， ． 故选：D． 二、填空题 13．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为__________ . 【答案】75° 【解析】如图所示， 因为∠BCD=60°，∠BCA=45°， 所以∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°. 所以∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°. 14．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为__________ . 【答案】6 【解析】因为等腰△ABC是“倍长三角形”，所以AB=2BC或BC=2AB. 若AB=2BC=6，则三边分别是6，6，3. 若BC=3=2AB，则AB=1.5，三边分别是1.5，1.5，3. 因为1.5+1.5=3，所以此时三边不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰AB的长为6. 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为__________ ． 【答案】或 16．当三角形中一个内角β是另一个内角α的 时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为36°，那么这个“倍角三角形”的倍角度数为__________ . 【答案】36°或72°或96° 【解析】分三种情况讨论： ①α＝36°； ②若β＝36°，则α＝β＝36°， 解得α＝72°； ③若α≠36°，β≠36°， 则α＋β＋36°＝180°， 即α＋α＋36°＝180°，解得α＝96°. 综上所述，这个“倍角三角形”的倍角度数为36°或72°或96°. 17．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是__________． 【答案】11 【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 三、解答题 18．将一副三角板拼成如图的图形，其中于点，，，且过点作平分交于点． (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)画出的角平分线，与交于G，并求出度数． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）画图如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正偶数解，求该三角形的周长． 【答案】解：， 解得， ∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴， ∴， ∴， ∵x是正偶数， ∴， ∴三角形的周长为． 20．将一副直角三角板和如图放置（其中，），使点E落在边上，且．求的度数． 【答案】解：∵，，， ，， ， ， ， ． 21．如图，在中，，是边上的中线，和的周长之差为，且与的和为． (1)求、的长； (2)若，是的中点，求的面积． 【答案】（1）解：是边上的中线， ， ， 和的周长之差为， ， 与的和为，即， 得：， 解得：， ． （2）， ， 是边上的中线，为的中点， ，， ． 22．[问题提出] 用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ [问题探究] 不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． [探究一] (1)用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然只能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝3时，m＝1. (2)用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n＝4时，m＝0. (3)用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝5时，m＝1. (4)用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝6时，m＝1. 综上所述，可得表如下： [探究二] (1)用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形(仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在下表中)? (2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形(只需把结果填在上表中)? 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… [问题解决] 用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(设n分别等于4k－1，4k，4k＋1，4k＋2，其中k是正整数，把结果填在下表中)? [问题应用] 用2018根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(写出解答过程)? 【答案】探究二：仿照探究一的方法进行分析即可； 问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可； 问题应用：根据规律进行计算求出m的值． 详解：[探究二](1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形；若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝7时，m＝2. (2)同(1)可得：当n＝8时，m＝1；当n＝9时，m＝2；当n＝10时，m＝2. [问题解决]由规律，补充表如下： [问题应用]∵2018÷4＝504……2， ∴用2018根相同的木棒搭一个三角形，能搭成504种不同的等腰三角形． 点睛：本题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答． 学科网（北京）股份有限公司 $