13.1 三角形中的边角关系-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 香/县百流理 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2.三角形按边长关系分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形和底边和腰不相等的 等腰三角形 3.三角形三边关系：三角形中任意两边的和大于第三边，三角形中任意两边的差小于第三边. 已课内基础闯关 =2c一4，则c的取值范围是 知识点① 三角形的有关概念 A.3<c<4 B.ic 1.下列说法正确的是 C.1<c<3 D.1<c<4 ①等腰三角形是等边三角形； 6.整体思想（2025一2026合肥庐阳区期末)已 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边 知a,b,c是△ABC的三边长，化简：|a+b 三角形和不等边三角形； -c1-1a-b-c|-|a-b+c|= ③等腰三角形至少有两条边相等 A.①②B.②③ C.①③ D.③ 7.(教材变式)已知等腰三角形ABC 2.（2025一2026合肥庐江检 (1)若AB=7,BC=2,则△ABC的周长为 测)如图，以D为顶点的三 角形的个数为 )B D 第2题图 A.3 B.4 (2②)若△ABC的周长为24，且AB-2BC, C.5 D.6 则AC的长为 知识点② 三角形三边的关系 8.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. 3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b一)2=0，试 判断△ABC的形状. A.2,5,8 B.6,8,15 (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC周 C.3,4,7 D.4,6,5 长的最小值及最大值， 4.已知三角形三边长分别为2，x,13.若x为 正整数，则这样的三角形个数为 A.7 B.5 C.3 D.2 已课外拓展提高 5.(2025一2026合肥期中)已知a,b,c分别为 △ABC的三边，且满足a十b=4c-3,a-b 上册第13章 39△ 第2课时三角形中角的关系 要闾梳理 1.三角形的内角和等于180°. 2.三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形和纯角三角形 课内基础闯关 5.(2025一2026毫州蒙城期中)在△ABC中， 知识点①三角形按角分类 ∠A=2∠B,∠C=33°，则该三角形为 1.三角形按角分类可以分为 A.直角三角形 B.锐角三角形 A.直角三角形、等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 6.将一副三角板按如图所示的位置摆放，则 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 ∠a+∠3 D.以上答案都不正确 2.将一个三角形分成两个三角形，这两个三角 形不可能 A.都是钝角三角形 第6题图 B.都是直角三角形 7.(2025一2026桐城期中)已知△ABC中， C.都是锐角三角形 ∠B-∠A=70°，∠B=2∠C,求∠A,∠B D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形 和∠C的度数. 知识点②三角形的内角和 3.如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个 角，则撕掉的角的度数是 ) A.50° B.60° C.80° D.100° 50 8.(教材变式)如下图，在△ABC中，延长BC D 至点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC 680° 于点F.已知∠A=54°，∠FCD=122°，求 第3题图 第4题图 ∠B和∠D的度数. 4.如图，点E,D分别在边AB,AC上.若∠B 30°，∠C=55°，则∠1+∠2的度数为( A.85 B.80 C.75° D.70 变式题“A”字型变为“8”字型 如图，AB与CD相交于点M.已 知∠A=50°，∠C=75°，∠D= D 45°，则∠B 变式题图 40 八年级数学HK版 已课外拓展提高 已综合能力提升 9.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则 13.推理能力如图①，已知∠A十∠B十∠C十 ∠D+∠E ( ∠D十∠E=180°.小聪借助几何画板将图 A.30° B.40° C.60° D.70 ①进行调整，得到图②、图③、图④三个图 形，请解决下列问题： 第9题图 第10题图 10.(2025一2026滁州期中)把一副三角板按如 图① 图② 图所示的方式摆放，∠A=60,∠F=45°， DE⊥BC,则∠CHE的度数为 图③ 图④ 易错点忽视对新定义角的分类讨论 (1)根据图②，得∠A,∠B,∠C,∠D,∠E 11.(2025一2026合肥期中)当三角形中一 满足的关系式是 个内角α是另一个内角3的2倍时，我 们称此三角形为“倍角三角形”，α为 (2)如图③，点E在AD上，试说明：∠A十 “倍角”.如果一个“倍角三角形”中有一 ∠B+∠C+∠D-∠BEC=180°. 个内角为40°，那么这个“倍角三角形” (3)如图④，点E在AD上方，(2)中的结论 的“倍角”a(a<90)的度数是 是否还成立？如果成立，请说明理由；如果 不成立，请写出你的结论 12.情境应用(2025一2026阜阳太和检测)如 下图，B处在A处的南偏西40°方向，C处 在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北 偏东85°方向.求∠ABC和∠ACB的度数. 北D 109 40: E￥ 南 上册第13章 41△ 第3课时三角形中几条重要线段 要闾梳理 1.三角形中，除三条边、三个角是它的基本元素外，还有角平分线、中线和高线。 2.三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心 3.三角形的三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点 已课内基础闯关 知识点①三角形的角平分线 1.如图，若AD是△ABC的角平 第4题图 第5题图 分线，∠B=40°，∠C=70°，则 5.(2025一2026巢湖检测)如图，在△ABC中， ∠BAD的度数为 ( 第1题图 AD是边BC上的中线，E是AD的中点.若 A.25° B.30 C.35 D.40° △ABC的面积是48，则图中阴影部分的面 2.如图所示，在△ABC中，若∠B=40°，AD, 积是 CD分别平分∠BAC,∠ACB,则∠ADC的 度数为 知识点③ 三角形的高线 6.（2025一2026安庆期中)下列四个图形中，线 段BD是△ABC的高的是 第2题图 变式题图 变式题由两条角平分线夹角求内角度数 如图，在△ABC中，AD和BD分别平分 ∠BAC和∠ABC.若∠ADB=135°，则 ∠ACB的度数为 D 7.如下图所示，在△ABC中，AB=10. 知识点②三角形的中线 (1)请作出△ABC的高AE和CD. 3.如图，在△ABC中，D,E,F分别 (2)已知CD=6,求△ABC的面积. 是边AB,AC,BC的中点，G为线 (3)在(2)的条件下，若BC=7,求AE的长. 段EC的中点.下列四条线段中， D 是△ABC的中线的是 ( )第3题图 A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 4.如图，在△ABC中，E是边BC的中点，AB =7,AC=10.若△ABE的周长是22，则 △ACE的周长是 ( A.15 B.25 C.29 D.32 42 八年级数学HK版 已课外拓展提高 (1)若∠DEF=20°，∠BAD=37°，求∠B 8.如图，在△ABC中，AD是 的度数。 △ABC的角平分线，DE是 (2)若△ABC的面积为24，CD=4,求线段 △ACD的角平分线.若∠B EF的长度. =40°，∠C=60°，则∠ADE 第8题图 的度数为 ( A.30 B.40° C.501 D.60 易错点 高的位置不确定导致漏解 9.已知AD,AE分别是△ABC的高和中线. 若BD=2,CD=1,则DE的长为( A.0.5 B.1 C.1.5 D.0.5或1.5 10.转化思想(2025一2026合肥包河区期中) 如图，已知△ABC的面积为4，分别延长 BC至点D,使得CD=BC,延长CA至点 已综合能力提升 E,使得AE=AC,延长AB至点F,使得 13.推理能力如下图，AD,AE,AF分别是 BF=AB,依次连接DE,EF,FD,则阴影 △ABC的高线、角平分线和中线， 部分的面积为 (1)下列结论：①BF=AF;②∠BAE= A.12 B.16 C.18 D.24 1 ∠CAE;③S△ABF= SAABC;④∠C与 ∠CAD互余.其中正确的是 (填 序号) 第10题图 第11题图 (2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的 11.如图，已知BD是△ABC的一条中线， 度数. △ABD与△BCD的周长分别为17,14，则 (3)若∠C>∠B,直接写出∠DAE与∠C AB一BC的长是 一∠B之间的数量关系. 变式题边长大小不明确，需分类讨论 已知在△ABC中，AC=30cm,中线AD 把△ABC分成两个三角形.若这两个三角 形的周长差是12cm,则AB的长是 12.(2025一2026池州期中)如下图，在△ABC 中，AD是边BC上的中线，点E是AD的 中点，连接CE,EF⊥BC交BC于点F. 上册第13章 43△14.x≥515.k>2 16.解：(1)填表如下： 1 6 y 51 55 由题意，得第一个人需要51s. 又，此后每位游客到达时间的间隔为0.8s, y关于x的函数表达式为y=51十0.8(x-1), 即y=0.8x+50.2. (2)由题意，当8：10：00—8：12：00时，2min=120s, ∴.结合(1)，得0.8x十50.2=120， .x=87.25,取整数，x=87. 故8：10：00一8：12：00有87名游客登上观景台. 当8：10：00—8：14：00时，4min=240s, .结合(1)，得0.8x十50.2=240， ∴.x=237.25,取整数，x=237. 故8：12：00一8：14：00有237-87=150（名）游客登上 观景台. 17.解：(1)设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元、 y元， x+2y=100, 由题意，得 3.x+4y=240, 解得40， y=30. 答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元、30元. (2)设购买描金琉璃瓶a个，则购买内画瓶(20一a) 个，总费用为W元， 则有W=40a+30(20-a)=10a+600. 由题意，得a≥2(20-a), 1 解得a≥133 .10>0, ∴.当a=14时，W取得最小值，最小值=10×14十600 =740. 故购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶，总费用最少， 最少总费用为740元. 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 1.D2.B3.D4.C 5.D【解析】，a,b,c分别为△ABC的三边， ∴.a-b<c<a+b, /c-3>c, 12c-4<c, 解得1<c<4. 6.a十b-3c【解析】，a,b,c是△ABC的三边长， .a+b>c,b+c>a,a+c>b: a+b-c-a-b-c-a-b+c=a+b-c-b -c+a-a+b-c=a+b-3c. 7.(1)16(2)9.6【解析】(1)当AC=BC=2时，2+2 =4<7,不符合三角形三边关系，该种情况不成立：当 AC=AB=7时，符合三角形三边关系，其周长为7+7 +2=16. (2)当AC=AB时，AB+AC=2AB=BC,不符合三 角形三边关系，该种情况不成立；当AC=BC时，设 AB=x,则x+2x十2x=24,解得x=4.8,∴.AC=2x =9.6. 8.解：(1)(a-b)2十(b-c)2=0, ∴.a-b=0,b-c=0,.a=b=c, ∴.△ABC是等边三角形. (2)a=5,b=2,且c为整数， .5-2<c<5十2，即3<c<7,.c=4,5,6. 当c=4时，△ABC周长有最小值5+2+4=11： 当c=6时，△ABC周长有最大值5+2+6=13. 第2课时三角形中角的关系 1.C2.C3.A4.A变式题80°5.C6.195 7.解：∠B-∠A=70°，∠B=2∠C, ∴∠A=∠B-70°=2∠C-70. :∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠C-70°+2∠C+∠C=180°， ∴.∠C=50°，则∠A=30°，∠B=100. 8.解：DE⊥AB,∴.∠AED=∠BED=90. :∠A=54°，∠A+∠AEF+∠AFE=180°， .∴.∠AFE=180°-90°-54°=36°. :∠CFD与∠AFE互为对顶角， ∴.∠CFD=∠AFE=36°， ∴.在△CFD中，∠D=180°-∠FCD-∠CFD=180° -122°-36°=22°， ∴.在△BED中，∠B=180°-∠D-∠BED=180°- 22°-90°=68°. 9.B【解析】连接BC,设BE与CD 交于点M,如图所示.在△ABC 中，∠A=70°，∠ABM=40°， ∠ACM=30°，∴.∠MBC+ ∠MCB=180°-∠A-∠ABM- B ∠ACM=180°-70°-40°-30°=40°.又，∠D+∠E +∠DME=180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC=180°， ∠DME=∠BMC,∴.∠D+∠E=∠MBC+∠MCB =40°. 10.15° 11.40°或80°【解析】设“倍角”为a,被“倍角”为B,则a =23.①当40°是“倍角”α时，a=40°.②当40°是内角 B时，B=40°，.“倍角”α=2×40°=80°.当40°是第三 个内角时，a+3+40°=180°， 即29+9计40=180，解得月=10e=29=2 280° >90°，不符合a<90°的条件，故舍去.综上，“倍角”a 的度数为40°或80°. 12.解：根据题意，得DB∥AE,∠BAE=40°，∠CAE= 10°，∠DBC=85°， ∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°. .DB∥AE,∴.∠DBA=∠BAE=40°， 上册详解详析 13Λ .∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°， .∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=85 13.解：(1)∠B+∠C+∠D-∠A-∠E=180 (2)如图① :∠A+∠C+∠1=180°，∠B+ ∠D+∠2=180°， ∴.∠A+∠C=180°-∠1，∠B+ ∠D=180°-∠2， 图① ∴.∠A+∠B+∠C+∠D=180°+180°-∠1-∠2. ∠BEC=180°-∠1-∠2， .∠A+∠B+∠C+∠D=180°+∠BEC, .∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=180. (3)成立.理由如下： 如图②，过点E作FG∥AD交AC于点F,交BD于 点G, ∠1=∠A,∠2=∠D. ,∠BEC+∠3+∠4=180°， ∠BEC=180°-∠3-∠4. ∠1+∠C+∠3=180°，∠2+∠B +∠4=180°， 图② .∠1+∠C+∠2+∠B=180°+180°-∠3-∠4， ∴.∠1+∠C+∠2+∠B=180°+∠BEC, ∴.∠A+∠C+∠D+∠B=180°+∠BEC, ∴.∠A+∠B+∠C+∠D-∠BEC=180°. 【解析】(1)如图③，连接AE. :∠FAE+∠FEA+∠3=∠B+ ∠D+∠4=180°，∠3=∠4， .∠FAE+∠FEA=∠B+∠D. :∠1+∠2+∠C=180°， .∠1+∠2=180°-∠C. '∠FAE=∠1+∠FAC,∠FEA= 图③ ∠2+∠FEC, .∠1+∠FAC+∠2+∠FEC=∠B+∠D, ∴.180°-∠C+∠FAC+∠FEC=∠B+∠D, ∴.∠B+∠C+∠D-∠FAC-∠FEC=180°. 第3课时三角形中几条重要线段 1.C2.110°变式题90°3.B 4.B【解析】，E是边BC的中点，.BE=CE ·C△AE=AB+AE+BE=22,AB=7,∴.AE+BE= AE+CE=15,∴.C△Ace=AE+CE+AC=25. 5.126.D 7.解：(1)如图，AE,CD即为所求作的高. (2),AB=10,CD=6,CD是△ABC的高， Sm=7AB.CD=7×10X6=30, 1 (3):AE是△ABC的高，且S△ABc=30, 1 SaA=2BC·AE=30, 14 八年级数学HK版 2X7:AE=80AE- 7 8.B 9.D【解析】分两种情况： ①当AD在△ABC内部时，如图①.，BD=2,CD= 1,∴.BC=BD+CD=3. gAE是△ABC的中线，ECBC=1.5,DE EC-CD=0.5; ②当AD在△ABC外部时，如图②.，BD=2,CD= 1,∴.BC=BD-CD=1. AE是△ABC的中线，∴EC号BC=O,5,∴DEP EC+CD=1.5. 综上所述，DE的长为0.5或1.5. E D B E 图① 图② 10.D【解析】如图，连接AD,BE,E CF.:AE=AC,.S△E= S△AC=4.,BF=AB,.S△E =S△ABE=4,.S△ABF=S△ABE十 S△Er=4十4=8.同理可得S△DF =8,SACDE=8,.S開s=S△AEr十S△mF十SACDE=8十 8+8=24. 11.3 变式题42cm或18cm【解析】，AD是△ABC的 中线，BD=CD.又：AD是两个三角形的公共边， 两个三角形的周长差是12cm,∴.AB与AC的差是 12cm.如果AB>AC,那么AB-30=12,AB= 42cm;如果AB<AC,那么30-AB=12,.AB= 18cm.综上所述，AB的长是42cm或18cm. 12.解：(1)EF⊥BC,∴.∠DEF+∠EDF=90. ∠DEF=20°，∠EDF=70. :∠B+∠BAD+∠EDF=180°，即∠B+37°+70 =180°，.∠B=73. (2)AD是△ABC的中线， 1 1 SANCD=2SAAM-2X24-12. :CE是△ACD的中线， ∴5m=7w-×12=6 1 CDEF--3. 13.解：(1)②③④ (2)∠C=56°，∠B=36°，.∠BAC=180°-∠B ∠C=180°-36°-56°=88°. :∠BAE=∠CAE,AD⊥BC, 1 六.∠BAE=∠CAE=Z∠BAC=44,∠BAD=90° -∠B=90°-36°=54°， .∠DAE=∠BAD-∠BAE=54°-44°=10°. 1 (3)∠DAE=2(∠C-∠B). 【解析】(1)AD,AE,AF分别是△ABC的高线、角 平分线和中线， AD⊥BC,∠BAE=∠CAE,BF=CF, 而BF=AF不一定成立，故结论①不正确，结论 ②正确； AB2BF·AD,SAx三2BC·AD= 1 AD,一.SAAF=2SaAx,故结论③正确： AD⊥BC, ∠C+∠CAD=180°-90°=90°，即∠C与∠CAD 互余，故结论④正确. 综上所述，正确的是②③④. (3)'AD,AE分别是△ABC的高和角平分线， .∠CAB=180°-∠B-∠C,∠CAD=90°-∠C, ·∠CAE=2180-∠B-∠C), ∴∠DAE=2180-∠B-∠C)-(90-∠C)= 2(2C-∠B. 13.2命题与证明 第1课时命题 1.A2.D3.24.如果ab>0,那么a>0,b>05.B 6.D【解析】若∠1=∠2，则AD∥BC,∴.∠ADB= ∠CBD,①不符合题意，④符合题意：若AB∥CD,则 ∠3=∠4，②符合题意；若∠ABC+∠BCD=180°，则 AB∥CD,③不符合题意. 7.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 8.(答案不唯一)一√2√2 9.解：(1)“邻补角是互补的角”的条件是“两个角是邻补 角”，结论是“这两个角互补”，是真命题. (2)“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”，结论是 “这两个角相等”，是假命题。 反例：如图，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2（答案不 唯一). 第2课时证明 1.C2.C 3.解：(1)证明：：∠1=∠B,.AB∥GD ∴∠2=∠BAD. ∠2+∠3=180°，.∠BAD+∠3=180， .EH∥AD. (2),EH∥AD,.∠2=∠H. ∠2=∠BAD,∴.∠H=∠BAD, .∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°. ∠H-∠4=10°，.2∠4+10°=58°， .∠4=24°，.∠H=34. 4.解：BAF两直线平行，同位角相等BAF等量代换 CADCAD等量代换内错角相等，两直线平行 5.解：示例：选择①③作为条件，②作为结论.理由如下： :AB∥CE,∴.∠A=∠ECA,∠B=∠ECD. :∠A=∠B,∴.∠ECA=∠ECD,.CE平分∠DCA. (或选择①②作为条件，③作为结论.理由如下： ABCE,∴.∠A=∠ECA,∠B=∠ECD. CE平分∠DCA,∴∠ECA=∠ECD,∴∠A=∠B. 或选择②③作为条件，①作为结论.理由如下： CE平分∠DCA,∴.∠ECA=∠ECD. :∠A=∠B,∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ECD+ ∠ECA+∠ACB=180°， .∴.∠A=∠ECA=∠B=∠ECD,∴.AB∥CE.) 第3课时三角形内角和定理的证明及其推论1,2 1.解：∠C∠2∠B∠A∠A180° 2.A3.70° 4.18°【解析】：∠B=32°，∠C=68°，∴.∠BAC=180 -(∠B+∠C)=180°-(32°+68)=80°.AD平分 ∠BAC.∴∠BAD=∠CAD=3∠BAC=3×80 40°.AE⊥BC,∴.∠EAC=90°-∠C=90°-68°= 22°，∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=40°-22°=18 ,FG⊥BC,AE⊥BC,.AE∥FG,∴.∠AFG= ∠DAE=18°. 5.证明：，AB∥CD,∴.∠BAC+∠ACD=180°. ∠E=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°， .∠BAE+∠ECD=90°. AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE, ∴.∠CAE+∠ECD=90°， ∴.∠ECD=∠ACE,即CE平分∠ACD. 一题多解法 如图，过点E作直线EF∥AB,设∠CAE=x°. :AE平分∠CAB,∠AEC= 90°，∴.∠BAE=∠CAE=x°， ∠ACE=90°-x°. EF∥AB,AB∥CD, .AB∥EF∥CD,..∠AEF=∠BAE=x°， ∴∠FEC=∠ECD=90°-x°， ∴.∠ECD=∠ACE,即CE平分∠ACD. 6.C7.直角 8.D【解析】：∠A十∠B=∠C,.∠A十∠B+∠C= 2∠C=180°，∠C=90°，故①符合题意.∠A: ∠B:∠C=1:5:6,.最大角∠C=180°×1+5+6 6 =90°，故②符合题意.∠A=90°-∠B,.∠A+ ∠B=90°，.∠C=180°-90°=90°，故③符合题意. :∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C= 。1 2<C+ 上册详解详析 15△