13.1 第2课时 三角形中角的关系-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 第2课时三角形中角的关系 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2026蚌埠期末]如图，在△ABC中，∠A=30°，D为CB的延长线上一点，DE⊥AB于点E, ∠D=40°，则∠C的度数是 () A.20° B.15° C.30° D.25 入射光线 反射光线 D D B ② (第1题) (第2题) (第4题) 2.[2025六安段考]如图，E,F分别是△ABC的边AB,AC上的点，D是点A上方的一点.若 ∠B十∠C=60°，∠D=70°，则∠1十∠2的度数为 () A.50 B.60 C.65 D.70° 3.在△ABC中，∠A=70°，∠A比∠B大10°，则∠B=,∠C=°，△ABC是 三角形（按角分类）. 4.境学科融合如图①，MN为平面镜，AO,OB分别为入射光线和反射光线，则∠AOM= ∠BON.如图②，一束光沿CD方向射入，经过平面镜OB,OA反射后，沿EF方向射出.若 ∠AEF=30°，∠AOB=115°，则∠CDB的度数为 5.一题多解如图，D为△ABC的边BC的延长线上一点，过点D作DF⊥AB于点F,交AC于点 E,∠A=30°，∠D=55°，求∠ACD的度数. (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.下列条件能判定△ABC是锐角三角形的为 () A.∠A=90°-∠B B.∠A-∠B=∠B-∠C=20 C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A+∠B=88 7.★如图，小明从一张三角形纸片ABC的边AC上选取一点N,将纸片沿BN对折一次，使点A落 在点A'处后，再将纸片沿BA'对折一次，使点C落在BN上的点C处.若∠CMB=68°，∠A= 43 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 18°，则∠C的度数为 A.87° B.84° C.75 D.72° 。 CIM 人55°60》 B--C A (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图是可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了舒适， 需调整∠D的度数，使∠EFD=110°，则∠D应 (填“调大”或“调小”) 9 9.将一副三角尺按如图所示的方式放置，在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠A= 60°，∠B=30°，∠D=∠E=45°.有下列结论：①∠2=∠4；②∠BCD+∠3=180°；③若∠2 ∠3，则DECB;④若∠1=45°，则CE⊥AB.其中，正确的有 (填序号) 10.如图，在△ABE中，∠BAD=∠EAD,过点B作BC⊥AB,交AD的延长线于点C,点F在AB 上，连接EF交AD于点G. (1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC: (2)若∠C=72°，∠AEB=78°，求∠CBE的度数. (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 11.舒考向新定义题[2024六安霍邱期末]在一个三角形中，如果一个内角是另一个内 角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如：三个内角分别为120°， 40°，20°的三角形是“三倍角三角形”. (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B=30°，求△ABC中最小内角的度数， 44 >“答案与解析”见P24解得2<n<10.因为n是正整数，所以满足条件的n 的值有3,4,5,6,7,8,9，共7个. 8.21由题意，得第n个图案中三角形的个数是1十 4(n-1)=4n-3.所以第6个图案中共有4×6-3= 21(个)三角形. 9.1.5或4设第三边的长为x,则3-2<x<3+2, 即1<x<5.根据“倍长三角形”的定义进行分类讨 论：①若2x=2,则x=1(不符合题意，舍去)；②若 2x=3,则x=1.5;③x=2×2=4;④x=2×3=6 (不符合题意，舍去).综上所述，第三条边的长为1.5 或4. 10. 思路导引 在△DBC中 BC+CD>BD① ①+②→结论1 在△ABD中 AB+AD>BD② ②+③→结论2 在△PCD中 →PD+CD>PC③ (1)根据三角形的三边关系可得AB十AD>BD, BC+CD>BD,所以AB+AD+BC+CD>2BD.所 以AB+BC+(AD+CD)>2BD,即AB+BC十 CA>2BD.(2)根据三角形的三边关系可得AB十 AD>BD,PD+CD>PC,所以AB+AD+PD+ CD>BD+PC.所以AB+(AD+CD)>(BD PD)+PC,E AB+AC>PB+PC. 11.718,22,24,27,27,29,31把这五条线段的长 按从小到大的顺序排列为4cm,6cm,8cm,l0cm, 13cm.分情况讨论：①当三条线段的长为4cm, 6cm,8cm时，因为4+6=10>8，所以能构成三角 形，周长为4十6十8=18(cm).②当三条线段的长为 4cm,6cm,10cm时，因为4十6=10，所以不能构成 三角形.③当三条线段的长为4cm,6cm,l3cm时， 因为4十6=10<13，所以不能构成三角形.④当三条 线段的长为4cm,8cm,10cm时，因为4+8=12> 10,所以能构成三角形，周长为4十8+10=22(cm). ⑤当三条线段的长为4cm,8cm,l3cm时，因为4十 8=12<13,所以不能构成三角形.⑥当三条线段的 长为4cm,10cm,13cm时，因为4+10=14>13，所 以能构成三角形，周长为4十10+13-27(cm).⑦当 三条线段的长为6cm,8cm,10cm时，因为6十8 14>10,所以能构成三角形，周长为6+8十10= 24(cm).⑧当三条线段的长为6cm,8cm,13cm时， 因为6十8=14>13，所以能构成三角形，周长为6十 8+13-27(cm).⑨当三条线段的长为6cm,10cm, 13cm时，因为6+10=16>13，所以能构成三角形， 周长为6+10十13=29(cm).⑩当三条线段的长为 8cm,10cm,13cm时，因为8+10=18>13，所以能 构成三角形，周长为8+10+13=31(cm).综上所述， 能画出7个三角形，周长分别为18cm,22cm,24cm, 27 cm,27 cm,29 cm,31 cm. 易错警示 不要忽视三角形的三边关系 本题在求解时要全面分析所有的可能情况，不 要遗漏；还要注意所选取的三条线段的长是否满足 三角形的三边关系，只有满足三角形的三边关系才 能求相应的周长. 12.(1)在△ABC中，AB=2,BC=4,所以4-2< AC<4十2，即2<AC<6.因为△ABC为“好运三角 形”，所以AC为偶数.所以AC=4.(2)设AB=x (x为偶数).因为△ABC的周长为16，AC=4,所以 x+12-x>4, BC=12-x.依题意，得x十4>12-x,解得4<x< 12-x+4>x, 8.所以AB=x=6,则BC=12-6=6.又因为AC= 4,所以△ABC是“好运三角形” 第2课时三角形中角的关系 1.A因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°.因为∠D= 40°，所以∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°.所以 ∠ABC=180°-∠ABD=180°-50°=130°.所以 ∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-130°-30°=20°. 2.A如图，连接EF.因为∠B十∠C=60°，所以 ∠A=180°-（∠B+∠C)=120°.所以∠AEF+ ∠AFE=180°-∠A=60°.因为∠D=70°，所以 ∠DEF+∠DFE=180°-∠D=110°.因为∠1+ ∠AEF=∠DEF,∠2+∠AFE=∠DFE,所以 ∠1十∠2=∠DEF+∠DFE-(∠AEF+ ∠AFE)=110°-60°=50°. E B C (第2题) 3.6050锐角因为∠A=70°，∠A比∠B大 10°，所以∠B=∠A-10°=60°.所以∠C=180°- ∠A-∠B=50°.所以△ABC是锐角三角形. 4.35°因为一束光沿CD方向射入，经过平面镜 OB,AO反射后，沿EF方向射出，所以∠CDB ∠EDO,∠DEO=∠AEF=30°.在△ODE中， ∠EDO=180°-∠AOB-∠DE0=180°-115°-30°= 35°，所以∠CDB=∠EDO=35°. 5. 思路导引 ·拆出相关图形 ∠AEF∠CED 解法一 ∠A+∠AFE∠ACD+∠D ∠ACD=∠A+∠AFE-∠D 解法二 ∠B=180°-∠D-∠BFD, ∠ACB=180°-∠A-∠B B ∠ACD=180°-∠ACB 关键点：求∠B的度数 解法一：因为DF⊥AB,所以∠AFD=90°.在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°，在△CDE中， ∠D+∠ACD+∠CED=180°.因为∠AEF= ∠CED,所以∠A+∠AFE=∠ACD+∠D.因为 ∠A=30°，∠D=55°，所以∠ACD=∠A+∠AFE- ∠D=30°+90°-55°=65°. 解法二：因为DF⊥AB,所以∠BFD=90°.在△BFD 中，∠BFD=90°，∠D=55°，所以∠B=180° ∠D-∠BFD=35°.在△ABC中，∠A=30°，∠B= 35°，所以∠ACB=180°-∠A-∠B=115°.所以 ∠ACD=180°-∠ACB=65°. 6.B对于A选项，因为∠A=90°一∠B,所以 ∠A+∠B=90°.又因为∠A+∠B+∠C=180°，所 以∠C=180°-（∠A+∠B)=180°-90°=90°.所以 △ABC是直角三角形.故A选项不符合题意.对于B 选项，因为∠A-∠B=∠B-∠C=20°，所以∠B= ∠A-20°，∠C=∠B-20°=∠A-20°-20°= ∠A-40°.又因为∠A十∠B+∠C=180°，所以 ∠A+∠A-20°+∠A-40°=180°.所以∠A=80°. 所以∠B=60°，∠C=40°.所以△ABC是锐角三角 形.故B选项符合题意.对于C选项，因为∠A 2∠B=3∠C,所以∠B=∠A,∠C=日∠A.又因 为∠A+∠B十∠C=180,所以∠A+2∠A十 专∠A=180,所以∠A=(9因为()> 90°，所以△ABC是钝角三角形.故C选项不符合题 意.对于D选项，因为∠A十∠B=88°，∠A十∠B十 ∠C=180°，所以∠C=180°-（∠A+∠B)=180° 88°=92°.因为92>90°，所以△ABC是钝角三角形. 故D选项不符合题意. 7.A如图，由折叠的性质，易得∠1=∠2=∠3， ∠CMB=∠C'MB=68°.所以∠ABC=3∠3.又因为 ∠3+∠C+∠CMB=180°，所以∠3+∠C=180° ∠CMB=180°-68°=112°.又因为∠A=18°，∠A+ ∠ABC+∠C=180°，所以18°+2∠3+（∠3+ ∠C)=180°.所以18°+2∠3+112°=180°.所以 ∠3=25°.所以∠C=112°-∠3=112°-25°=87°. N (第7题) 方法归纳 求解三角形的内角度数的方法 已知三角形的两个内角，则直接利用三角形的 内角和等于180°求第三个内角的度数；已知三角形 三个内角之间的数量关系，则利用三角形的内角和 等于180°列方程求解. 8.调小10如图，连接DE.因为∠CAB=55°， ∠CBA=60°，所以∠ACB=180°-55°-60°=65°.所 以∠DCE=∠ACB=65°.所以∠CDE+∠CED= 180°-65°=115°.因为∠EFD=110°，所以∠FDE+ ∠FED=180°-110°=70°.因为∠CDE=∠CDF+ ∠FDE,∠CED=∠CEF+∠FED,所以∠CDF+ ∠FDE+∠CEF+∠FED=115°.因为∠CEF= 30°，所以∠CDF+30°+70°=115°.所以∠CDF= 15°.因为25°-15°=10°，所以应调小10°. 人55°60入 A B (第8题) 9.①②③④因为∠ACB=∠DCE=90°，所以 ∠2+∠3=∠4+∠3=90°.所以∠2=∠4.故①正 确.因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠2十∠3十 ∠4+∠3=90°+90°，即∠BCD+∠3=180°.故②正 确因为∠2=∠3，所以∠2=∠3=∠DCE=45 所以∠4=∠ACB-∠3=45°.所以∠4=∠E=45°. 所以DE∥CB.故③正确.记AB与CE的交点为M. 因为∠1=45°，∠E=45°，所以∠AME=180° ∠1一∠E=90°.所以CE⊥AB.故④正确.综上所 述，正确的有①②③④. 10.(1)因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°.所以 ∠C+∠BAD=90°.因为∠BAD=∠EAD,所以 ∠BAD-=号∠EAB.所以∠C+合∠EAB=60,即 2∠C+∠EAB=180°.因为2∠1十∠EAB=180°，所 以∠1=∠C.所以EF∥BC.(2)因为∠ABC= 90°，∠C=72°，所以∠BAD=18°.所以∠EAD= ∠BAD=18.因为∠ADE=∠BDC,所以∠EAD十 ∠AED=∠C+∠CBE,即18°+78°=72°+∠CBE 所以∠CBE=24°. 11.(1)△ABC是“三倍角三角形”.因为∠A=35°， ∠B=40°，所以∠C=180°-35°-40°=105°.因为 105°=35°×3，所以△ABC是“三倍角三角形”. (2)因为∠B=30°，所以∠A+∠C=150°.若设最小 内角的度数为x,则△ABC三个内角的度数分别是 x(0°<x<30),30°，150°-x.①当30°=3x时，x 10°，此时△ABC三个内角的度数分别是10°，30°， 140°；②当150°-x=3x时，x=37.5°（不符合题意， 舍去)；③当150°-x=3×30°时，x=60°（不符合题 意，舍去).若最小内角为∠B,则易得此时△ABC三 个内角的度数分别为30°，60°，90°.综上所述，△ABC 中最小内角的度数为10°或30° 第3课时三角形中几条重要线段 1.C由折叠方式可知，第1个图中∠BAD= ∠B'AD,第2个图中∠ADB=∠ADB'=90°，第3个 图中CD=BD,所以AD依次是△ABC的角平分线、 高线、中线. 2.D因为AD是△ABC的高线，所以∠ADC= 90°.因为∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+ ∠C=180°-∠ADC=90°，所以∠BAD=∠C.故A 正确.因为BF是△ABC的角平分线，所以∠ABF ∠CBF.故B正确.因为AE是△ABC的中线，所以 BE=EC.因为△ABE,△AEC的高相同，底相等，所 以S△BE=S△Bc.故C正确.根据已知条件无法得出 AF=CF,故D错误. 3.26因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC. 因为△ACD的周长为24，AC=6,所以AC+AD十 DC=24.所以AD+BD=AD+DC=24-6=18.所 以△ABD的周长=AB+AD+BD=8+18=26. 4.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，所 以∠DAC=∠BAD=号∠BAC=30.因为CE是 △ABC的高线，∠BCE=40°，所以∠B=180°- 90°-40°=50°.所以∠ADB=180°-∠B-∠BAD= 180°-50°-30°=100. 5.A因为∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAC=号∠BAC=30,因为∠ACB=80,所 以∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-30° 80°=70°.又因为OE是△COD的高线，所以OE⊥ BC,即∠OED=90°.所以∠EOD=180°-∠OED- ∠ODE=180°-90°-70°=20°. 6.B因为CE=号C=4,所以BC=3CE=3X4 12.因为BD=BC,所以BD=×12=3.因为 CD,BE是△ABC的两条中线，所以AB=2BD=6, AC=2CE=8.所以△ABC的周长是6+8+12=26. 7.45°如图，延长CH交AB于点F.因为三角形的 三条高线交于一点，所以易得CF⊥AB.所以 ∠AFC=90°.因为∠BAC=75°，所以∠ACF= 180°-90°-75°=15°.因为∠ACB=60°，所以 ∠BCF=60°-15°=45°.因为AD⊥BC,所以 ∠ADC=90°.所以∠CHD=180°-90°-45°=45. (第7题) 8 思路导引 AE是三角形的 △ABC 内角和 用∠B,∠C ∠EAD=∠EAC 的角平 表示∠EAC 分线 ∠DAC AD是△ABC 用∠C表示 的高线 ∠CAD 求出∠EAD (1)因为∠B=20°，∠C=60°，所以∠BAC=180° ∠B-∠C=100°.因为AE是△ABC的角平分线， 所以∠EAC=∠BAC=0.所以∠AC=180 ∠EAC-∠C=70°.因为AD是△ABC的高线，所以 ∠ADC=90°.所以∠CAD=180°-∠ADC-∠C= 30°.所以∠EAD=∠EAC-∠CAD=20°.