精品解析：湖南长沙市立信中学2026-2027学年第一学期核心素养初二数学试卷（2026.10）

长沙市立信中学2026-2027学年第一学期核心素养（2026年10月） 初二数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中的真命题是（　　） A. 内错角相等 B. 三角形内角和是 C. 是有理数 D. 若，则 6. 下面（ ）组中的三根小棒能围成等腰三角形． A. B. C. D. 7. 如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 16 9. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 12. 如图，是的一条中线，若，则________． 13. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 14. 若，则________． 15. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则的面积是________． 16. 如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：，其中，． 19. 中国茶文化始于汉、兴于唐、繁于宋，是承载历史和文化的“中国名片”，也是中华文明与世界其他文明交流互鉴的重要媒介．萌萌想了解周围人喝茶的原因，于是在社区调查了一些有喝茶习惯的居民，并根据调查结果绘制了两幅统计图（如图），请根据图中的信息，完成下面各题． （1）请补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，“提神”所在扇形的圆心角度数是________． （3）若该社区有喝茶习惯的居民约有2000人，请估计其中喝茶原因是“保养健身”的约有多少人． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： （1）任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； （2）任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 21. 如图，在中，，点在的延长线上，，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 综合实践题 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 某中学计划举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣，在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：向向和阳阳画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点正好落在边上． （1）当点在图2的位置时，阳阳发现： ①________；②请证明． 任务2 （2）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时向向和阳阳又有了新的发现： ①________； ②若已知，，请用含字母、的式子表示线段的长度． 23. 阅读与思考 三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle，1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角． 任务一： （1）若点是等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________． 任务二：在中，，，点是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （2）若时，求点到直线的距离．请在图2中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （3）若点、分别为、边上的动点，当的周长取得最小值时，求的度数． 24. 已知：如图1，点，，在同一直线上，，为等边三角形；以为边，在直线右侧作等边，连接，过点作直线垂直于直线交直线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）点在直线上，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的度数； （4）如图2，若，点在线段上，，在射线BA上存在点使得，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市立信中学2026-2027学年第一学期核心素养（2026年10月） 初二数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项，共10小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，在平面内如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于轴对称点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点，横坐标不变，为，纵坐标取相反数，为， 因此对称点坐标为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并， ∴A计算错误. ∵， ∴B计算错误. ∵， ∴C计算错误. ∵， ∴D计算正确. 5. 下列命题中的真命题是（　　） A. 内错角相等 B. 三角形内角和是 C. 是有理数 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断． 【详解】解：A.两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意； B.三角形内角和是，故B是真命题，符合题意； C.是无理数，故C是假命题，不符合题意； D.若，则，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 6. 下面（ ）组中的三根小棒能围成等腰三角形． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形．组成三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边． 【详解】A、没有两条相等的小棒，故A项不符合题意； B、，不满足任意两边之和大于第三边，故B项不符合题意； C、有两条3厘米的小棒，并且满足任意两边之和大于第三边，能围成等腰三角形，故C项符合题意； D、没有两条相等的小棒，故D项不符合题意． 7. 如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形性质求出 ，结合平角定义求出 ，再利用平行线性质求解． 【详解】解： 是等腰直角三角形，， ， ，点 在同一直线上， ， ， ∴． 8. 如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 9. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形中所对的直角边与斜边的关系． 确定出最长边为，由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得的长度，同理可得的长度 【详解】解：由全等三角形的性质得，， 根据含角的直角三角形的性质得，， ，， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， 故选： 10. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得平分，垂直平分，即可得出，，再由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 【答案】抽样 【解析】 【分析】根据调查的特点，判断调查是否具有破坏性，结合全面调查与抽样调查的适用范围选择合适的调查方式． 【详解】解：本次调查新能源汽车的抗撞击能力，调查过程具有破坏性，因此选择抽样调查． 12. 如图，是的一条中线，若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义求解即可． 【详解】解：是的一条中线， ． 13. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：（或） 故答案为：（或）． 14. 若，则________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 则． 15. 如图，已知在四边形中，，平分，，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，利用角平分线的性质得出相等的线段，然后利用三角形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 又∵，平分， ∴， ∴． 16. 如图①，小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为轴，对称轴为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取，则图②中转折点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标． 【详解】如图，过点C作轴于D， ∴，，， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用求一个数的算术平方根，立方根以及绝对值进行计算，再利用有理数的加减法则计算． 【详解】解： ． 18. 先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 中国茶文化始于汉、兴于唐、繁于宋，是承载历史和文化的“中国名片”，也是中华文明与世界其他文明交流互鉴的重要媒介．萌萌想了解周围人喝茶的原因，于是在社区调查了一些有喝茶习惯的居民，并根据调查结果绘制了两幅统计图（如图），请根据图中的信息，完成下面各题． （1）请补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，“提神”所在扇形的圆心角度数是________． （3）若该社区有喝茶习惯的居民约有2000人，请估计其中喝茶原因是“保养健身”的约有多少人． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图等知识． （1）根据条形统计图中给出“生活习惯”的人数，再结合扇形图中“生活习惯”的占比求出样本总人数，再计算出“其他”原因的人数，据此补全图形即可； （2）根据“提神”的人数求出其占比，再乘以，即可作答； （3）先求出喝茶原因是“保养健身”人数在样本中的占比，再乘以总人数即可作答． 【小问1详解】 解：样本中，“休闲放松”、“生活习惯”、“保养健身”、“提神”等原因的人数分别为24人、18人、30人、12人，样本总数：（人）， “其他”原因的人数为：（人）， 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 “提神”所在扇形的圆心角度数是：； 【小问3详解】 （人）， 答：喝茶原因是“保养健身”的约有人． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： （1）任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； （2）任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【答案】（1）“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元 （2）一共有3种购买方案 【解析】 【分析】（1）设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意列出一元一次不等式组并求解即可． 【小问1详解】 解：设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意，得 ， 解得， 答：“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元． 【小问2详解】 解：设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意，得 ， 解得 ． 为整数，． 方案1：购买辣宝6个，茶宝4个； 方案2：购买辣宝7个，茶宝3个； 方案3：购买辣宝8个，茶宝2个． 答：一共有3种购买方案． 21. 如图，在中，，点在的延长线上，，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分， ． ， ． 又，， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义得出，进一步得出，再利用“”证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质得出，再利用线段的和差关系即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ． ， ， ． 22. 综合实践题 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 某中学计划举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣，在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：向向和阳阳画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点正好落在边上． （1）当点在图2的位置时，阳阳发现： ①________；②请证明． 任务2 （2）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时向向和阳阳又有了新的发现： ①________； ②若已知，，请用含字母、的式子表示线段的长度． 【答案】（1）①， ②证明：∵在中，， ∴， 又∵在①中已证明， ∴， 即 （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质等知识． （1）①根据作图有：平分，是的垂直平分线，结合等边对等角、直角三角形中两锐角互余即可求解；②根据①求出的角的度数，结合含角的直角三角形的性质即可证明； （2）①根据垂直平分线的性质有，即可作答；②过点E作于点F，根据角平分线的性质可以证明，用，两式来表示的面积，即可作答． 【小问1详解】 解：①根据作图有：平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴； ②见答案； 【小问2详解】 ①∵、、三点共线，是的垂直平分线， ∴， ∴在中，， ②过点E作于点F，如图， ∵是的垂直平分线， ∴，， 又∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 即， ∴， 即． 23. 阅读与思考 三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle，1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角． 任务一： （1）若点是等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________． 任务二：在中，，，点是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （2）若时，求点到直线的距离．请在图2中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （3）若点、分别为、边上的动点，当的周长取得最小值时，求的度数． 【答案】（1） （2）解：如图，点是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”，连接，，，过点作交的延长线于点， ，． ，， ，， ， ． ，，， ， ，，． ， ， ， ， ， ， ， 即点到直线的距离为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意和等边三角形的性质得出，进一步得出，再利用等边对等角得出，即，即可解答； （2）先连接，，，过点作交的延长线于点，根据题意和三角形的内角和定理得出，再利用“”得出，利用全等三角形的性质、角的和差关系、直角三角形两锐角互余，得出，进而得到，进一步得出，即可解答； （3）先分别作点关于直线、的对称点、，连接，交于点，交于点，连接、、、、，利用轴对称的性质进而得出，，利用全等三角形的性质和等量代换，结合条件（）得出，进一步得出，利用等腰直角三角形的性质和三角形的内角和定理，进一步得出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，为等边三角形，点是等边的布洛卡点，并且连接，，， ，，， ，， ． ，， ， ， ， 即， 解得，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别作点关于直线、的对称点、，连接，交于点，交于点，连接、、、、， 则此时的周长取得最小值． 由轴对称的性质得，，，，， ， ． ，，， ， ，． ，，， ， ，． 由（2）可知，，即， ， ， ， ，， ． 24. 已知：如图1，点，，在同一直线上，，为等边三角形；以为边，在直线右侧作等边，连接，过点作直线垂直于直线交直线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）点在直线上，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的度数； （4）如图2，若，点在线段上，，在射线BA上存在点使得，求的长度． 【答案】（1）证明： ，为等边三角形 ，，，，, 在与中 ． ． （2）证明：由第 (1) 问知 ， ∴ ． ∵ 点 在同一直线上， 是等边三角形， ∴ 即为 ， ∴ ． 又∵ 在等边 中，， ∴ ． ∵ 内错角相等，两直线平行， ∴ ． （3）． （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三边相等、内角，推导，用 SAS 证明，证出． （2）本题在第（1）问全等结论基础上开展推导，借助全等三角形对应角相等得到，结合等边三角形内角，得到一组内错角相等，依据内错角相等两直线平行，完成的证明． （3）由直线，求出有与两种情况，分三类等腰情况讨论顶角底角，求出为． （4）结合手拉手全等、三角形面积、线段比例求解线段长，先利用全等得到角度，判定直角三角形；根据得到面积之间的倍数关系；再利用 “同底三角形面积相等则高相等”，把面积条件转化为点到直线的距离条件；因为点在射线上，可以在线段上或者的延长线上，因此得到两个解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ， ∴ , ∵ 直线 于点 ， ∴ , 在 中，，， 可得 ，且 ，， 设点 在直线 上， 为等腰三角形，分三种情况讨论： ① 当 时： 此时 ，在 中易得 点坐标或利用几何性质，当点 位于直线 且满足 时，可求得此时 ， ② 当 时： 点 在线段 的垂直平分线上，通过计算可得此时 ， ③ 当 时： 此时 ，在线段 上满足该条件的点有两个，分别计算可得 或 ， 综上所述，满足条件的 的度数为 、、 或 ． 【小问4详解】 解：如图2， ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∴ ，即 是直角三角形． 在 中，，， 可求得 ，． 又∵ ， ∴ （即点 是 的中点）． ∵ 且 ， ∴ ，． 计算 的面积： 设点 在射线 上，由 ，且等边 的边长为 ， 设点 到直线 的距离为 ，则： 结合几何坐标或三角形相似/比例关系，点 在射线 上满足距离条件的位置有两个： 经过计算可得， 的长度为 或 ． 【点睛】本题是等边三角形手拉手模型综合题，（1）（2）是手拉手模型基础结论，考查全等判定与平行线证明，重在识别相等边、相等角；第（3）问等腰三角形存在性问题，必须进行完整分类讨论，结合三角形内角取舍不合理的解，容易出现漏解；第（4）问将面积相等转化为高的等量关系，射线条件要注意双解．整道题要求能够灵活进行线段、角度、面积之间的转化，重视图形的多种位置情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $