第一章 特殊平行四边形 单元复习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章《特殊平行四边形》单元复习卷 一.选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.） 1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,若BO=2,则AC的长为() D A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，菱形ABCD绕着顶点D逆时针旋转30°得到菱形EFGD,连接AG,若∠=80°，则 ∠DAG的度数为() A.20° B.25° C.30° D.35° 3.如图，在正方形ABCD中，AB=10,E为AB的中点，连接DE,将△DAE绕点D按逆时针 方向旋转90°得到△DCF,则BF的长为() A.12 B.13 C.14 D.15 4.如图，直线l分别交两坐标轴于A,B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点 P分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则，的函数表达式是() VA B A.y=x+8 B.y=-X+8 C.y=x+16 D.y=-x+16 5.如图所示，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交 ∠ABM和∠ABN的平分线于点G,D,连接AC,AD?要使四边形ACBD为矩形，则可添加 下列条件中的() M B A.CD=AB B.CO=OD C.∠ACB=90° D.AC=AD 6.如图，在口ABCD中，E,F分别是边AB,CD的中点，M,N在对角线AC上，AM=CN.要 使四边形EMFN是矩形，可添加下列条件() D A.∠AME=90°B.MN=2AM C.MN=AB D.MN=AD 7.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点M在边CD上，若AM平分∠DMB,则DM的长 是() D M A.V2-1 B.3-2V2 C. D.3-1 8.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,BC上一点P从点B向点C移动，连接AP,点B关 于AP的对称点为B,若△CPB恰好为直角三角形，则CP的长为() B A.1 8多戏 1明 D.1或3 9.如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止， 点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1Cm/s.现P,Q两点同时出发， 设运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm),若y与x的对应关系如图②所示，则矩形 ABCD的面积是() Ay/cm2 A E D 30---- BO→ 10 14x/s 图① 图② A.48cm2 B.72cm2 C.84cm2 D.96cm2 10.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O,∠EOF=90°，绕点O旋转∠EOF分 别交边AD,CD于点E,F,则线段EF的最小值为() A.1 B.2 D.2 二.填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11.如图，在平面直角坐标系Oy中，以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交x轴负半轴于 点A,交y轴正半轴于点B;再分别以点A,B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧在第二象限 相交于点C,连接OC,AB.若AB=25,则点C的坐标为一· B 12.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AC=6,BD=8,则AE的长是 13.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是 -1,1、1,1将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C,的坐标是_ 14.在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,E、F分别是边AB、DC的中点，点G、H在对角线 AC上（如图)·如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于 G E o 15.如图，在△ABC中，∠B=90°，分别以点4，C为圆心，大于号AC的长为半径作孤，两 弧分别交于点M,N,作直线MN交AB于点E,连接CE,再以点C为圆心，CE长为半径作弧， 交直线MN于点D,连接AD,若AB=8,BE=3,则四边形ABCD的面积为」 B E 16.如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE,CE=7,则图中阴影部分的面积为 D E 人●入 B 17.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形 ABCD内，若四边形EFGH为正方形，矩形ABCD的长为17，正方形EFGH的边长为3，则图 中阴影部分的面积为 M 18.如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与边AD端点A、D重合），点F为点A关 于BE的对称点，BE与CF的延长线相交于点G.若正方形ABCD的边长为13，CF=10,则 FG=- 三.解答题（本大题有8小题，共64分.） 19.(6分)如图平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心， OC,OB的长为半径画弧，两弧交于点P,连接BP,CP: (1)求证：四边形BOCP是平行四边形： (2)当口ABCD的对角线满足 条件时，四边形BOCP是正方形，并说明理由. 20.(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，F是边AB上的一点，且AF=AD. B (1)尺规作图：作∠DAB的平分线AE,交CD于点E(不写作法，保留作图痕迹). (2)连接EF.求证：四边形AFED是菱形. 21.(8分)如图，四边形ABCD是正方形.过点C在正方形ABCD的外侧作射线CN, ∠DCN=al0<a<90作点D关于射线CN的对称点E,线段DE交射线CN于点M,连接BE交 直线CN于点F. D D 图1 备用图 (1)当0°<α<45°时，依题意补全图1，并直接写出∠EFN的度数：： (2)在(1)的条件下，用等式表示线段FB,FC,FE之间的数量关系，并证明； (3)若CF=2,FM=4,请直接写出线段FB的长： 22.(8分)如图1，已知在口ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点E,过点E作EF∥AB, 交BC于点F,O是BE的中点，连接OF,OC,OD y D E D B B 图1 图2 (1)求证：四边形ABFE是菱形； (2)若∠ABC=90°，如图2所示： ①求证：∠ADO=∠BCO: ②若∠E0D=15°，AE=1,求OC的长. 23.(8分)如图，正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E在CB的延长线上，且PE=PC, 过点P作PF⊥AE于F,直线PF分别交AB、CD于G、H. F G P E B 备用图 (1)求证：点F为AE的中点； (2)若BE=1,AB=3,求PE的长； (3)求证：DH=AG+BE, 24.(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE‖OD,过点D作DE‖AC, CE与DE相交于点E. A (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)连接OE,若OE=4,∠ABD=30°，求菱形ABCD的面积. 25.(10分)【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平 行四边形为“倍线平行四边形”， 【数学思考】 如图1，在口ABCD中，若AB=BC=210,AC=4,试判断口ABCD是否为“倍线平行四边 形”，并说明理由. 【深入探究】 如图2，口ABCD为“倍线平行四边形”BD>AC,E是BC上的动点，连接AE交BD于点F. ①若E是BC的中点，AC⊥AB,AB=22,求AE的长. ②过点A作AG⊥AE交BD于点G,若OG=OA,求证：E是BC的中点. D D 0 G B E 图1 图2 26.(10分)【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形 ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E,交线段AB于点M,交线段 CD于点N则AP=MN: D E B ① ② ③ ④ (1)如图②，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点B落在CD上的点E处.若折痕 FG=41,则CE= 【继续探索】 (2)如图③，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP,分别交 AB,AP' BD,DC于点ME,F,N求证：EF=ME+FN· (3)如图④，在正方形ABCD中，E、F分别为AD,BC上的点，作DM⊥EF于M,在MF上 截取MN=DM,连接BN,G为BN中点，连接CG,CM.请依题意补全图形，若CG=2,则 CM=- 参考答案 一，选择题 1.C 解：矩形ABCD, ..DO=BO=2’AC=BD .∴.BD=DO+BO=2+2=4 ∴.AC=4 故选：C. 2.B 解：菱形ABCD绕着顶点D逆时针旋转30°得到菱形EFGD,∠=80° .∠ADE=30°，DG‖EF,AD=DG, .∠EDG=180°-∠=100°， ∴.∠ADG=∠ADE+∠EDG=130°， ∠DAG=2DGA=180°-∠ADGj=25, 故选B. 3.D 解：∵在正方形ABCD中，AB=10,E为AB的中点， .'.BC=AB=CD=10,AE=-AB=5, ,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF, ∴.CF=AE=5, ∴.BF=BC+CF=15, 故选：D. 4.B 解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C, B r------ D 设P点坐标为x,y, :P点在第一象限， .PD=y'PC=x' :矩形PD0C的周长为16 .2(x+y)=16’ .x+y=8 即直线l的函数表达式是y=-x+8, 故选择：B. 5.A 解：添加条件为：CD=AB,理由如下： .CD MN, ∴∠OCB=∠CBM, BC平分∠ABM, ∴.∠OBC=∠CBM, ∴.∠OCB=∠OBC, ..OC=OB, 同理可证：OB=OD, ..OB=OD=OC. .CD=AB, ∴.OB=OD=OC=OA. 四边形ACBD是平行四边形， .CD=AB, ∴.平行四边形ACBD是矩形. 故选：A. 6.D 解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB‖CD, ∴.∠BAC=∠DCA, 点E,F分别是边AB,CD的中点， ∴.AB=2AE,CD=2CF. ..AE=CF, 在△AEM和△CFN中， AE=CF ∠BAC=∠DCA AM=CN ∴.△AEM≌△CFN SAS, .∴.EM=NF,∠AME=∠CNF, .ME NF, ∴.四边形EMFN是平行四边形； 连接EF, B :点E,F分别是边AB,CD的中点， .EF AD BC, AE-CF,CF->CD-DF,AB-CD. ..AE=DF, ∴.四边形ADFE是平行四边形； ∴.EF=AD: A、若∠AME=90°，则∠NME=90°， .∠EMF>90°，不能使四边形EMFN是矩形； B、若MN=2AM,则MN不一定与EF相等，不能使四边形EMFN是矩形； C、若MN=AB,AB,CD不一定相等，则MN不一定与EF相等，不能使四边形EMFN是矩形； D、若MN=AD,则MN一定与EF相等， ∴.平行四边形EMFN是矩形，能使四边形EMFN是矩形； 故选：D 7.B 解：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=3,AD=BC=1,ABCD,∠C=90°， ∴.∠AMD=∠BAM, ,AM平分∠DMB, ∴.∠AMD=∠AMB, ∴.∠AMB=∠BAM, ∴.AB=BM=3, MC=VMB2-BC=32-1=22, .'DM=CD-MC=3-22. 故选：B 8.C 当△CPB为直角三角形时，有两种情况： ①当∠CBP=90°时，如图(1)所示，连接AB,AC. D B D 图1) 在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, ∴.AC=732+42=5 由轴对称可知，∠ABP=∠B=90°」 又∠CBP=90°， 点A?B,C共线， .∴.CB=AC-AB=5-3=2 设BP=X,则PB=x,CP=4-x, B P2+B C2=PC2, .x2+22=4-x2, 解得x=3 cp-. ②当∠BPC=90°时，如图(2)所示， B P 图(2) 又∠BAD=∠B=90°， :.四边形ABPB为矩形. 又AB=AB, :.此时矩形ABPB为正方形， ∴.BP=AB=3 ..CP=BC-BP=1· 除上所述，C的长为号藏1 故选：C 9.B 解：由图象可知，10s时，P、E重合，BQ=BE=10cm 根据题意，得 1)×BQ×AB=30 ·1×10×AB=30, …2 解得AB=6cm, .四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90° ∴.AE=V102-62=8 由图象可知BE+DE=14cm, ∴.DE=4cm, .'.AD=12cm, ∴.矩形的面积为：12×6=72cm2 故选：B 10.D 解：过点O作OG⊥AD,OH⊥CD,则：∠OGD=∠OHD=∠OHF=90°， .正方形ABCD, .AC⊥OD,∠ADC=90°，OA=OD=OC,AD=CD=2, 0G=AD=CD=0H=1,四边形0GDH为矩形， ∴.∠GOH=∠EOF=90°， ∴.∠GOE=∠FOH=90°-∠EOH, 又.OG=OH,∠OGD=∠OHF=90°， .△OGE≌△OHF, ∴.OE=OF, ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴.EF=V2OE, .当OE最小时，EF最小， .当OE⊥AD,即点E与点G重合时，OE最小为1， ∴EF的最小值为V2. 故选：D 二.填空题 11.-10,10 解：如图，连接CA,CB, B A 由作图可知OA=OB=AC=BC, 四边形OBCA是菱形， 又OA⊥OB, 四边形OBCA是正方形， .AC⊥OA,BC⊥OB, .AB=25.OA=OB :0A=0B=AC=BC=A=/10, 9V2 .C-10,V10」 24 12. 5 解：四边形ABCD是菱形， ÷AC⊥BD,OA=0C=2AC=3,0B=OD=2BD=4, .AB=BC=32+42=5' 号AC·BD=BC·AE 1 ×6×8=5AE, 2 AE=24 故答案为：4 13.4,-1 解：在正方形ABCD中， 对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是-1,1、1,1， .C1,-1, 将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度， .C（4,-1) 故答案为：4，-1. 14.9V34-5 解：连接EF,AF,CE,如图所示： ,四边形ABCD为矩形， .AB=CD,AB‖CD,∠B=90°， ∴.AC=AB+BC=V62+10=234, ,E、F分别是边AB、DC的中点， .BE-AE-AB,GF-DF-GD, ∴，AE=BE=CF=FD, ∴.BE=CF, BE‖CF, 四边形BEFC为平行四边形， ∴.EF=BC=10, AE=CF,AE‖CF, .四边形AECF为平行四边形， A0=C07AC=934, ,四边形GEFH为矩形， ..GO=-GH,GH=EF=10, ∴.G0=5, .AG=34-5. 故答案为：34-5. 15.26 解：由题意知：MN是AC的垂直平分线，CE=CD, .CE=CD=AD=AE=AB-BE=8-3=5' :.四边形ADCE是菱形， ∴.AE‖CD, ,∠B=90, .BC=CE2-BE2=4' 四边形ABCD的面积为号CD+AB~BC=×5+8×4=26, 故答案为：26. 解：如图所示，过点D作DF⊥EC于点F, D E B .四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠BCD=90°， 又.BE⊥CE,DF⊥EC, ∴.∠BCE=90°-∠FCD=∠FDC,∠BEC=∠CFD' .∴△BEC≌△CFD AAS: .'CE=DF' .CE=7, .∴.DF=CE=7, =号×EC×DF=7 .SADEC=2 故答案为： 17.42 解：：四边形EFGH为正方形， .∴.EF=FG=GH=EH=3' .AD=BC=17' .∴.AM+MD=BP+CP=17, .AM=NH,DM=EN, .2DM+3=17' ∴.DM=7? .∴.DQ=DM=MG=7' ∴.MH+3=7, .∴AN=MH=4 :5As=56m,5=5,5am号AN-FH=号×3×4=6， Sw-号cMD=*7x3=2 2 Sg=2SaAe+S6Dc=2x6+2+9=42: 故答案为：42. 18.7 解：正方形ABCD的边长为13， .AB=BC=13,∠ABC=90°， 点F为点A关于BE的对称点， .BF=AB=13,∠ABE=∠EBF .BF=BC=13, 如图：过点B作BM⊥CF于点M,CF=10, M .∠CBM=∠MBF,MF=MC=CF=×10=5, ∴.BM=VBF2-FM=132-52=12, .'∠ABC=∠ABE+∠EBF+∠FBM+∠MBC=90°， ∴.2∠EBF+2∠FBM=90°， ∴.∠EBF+∠FBM=45°， ∴.∠EBM=45°， .BM⊥CF, ∴，△BMG是等腰直角三角形， .MG=BM=12, ∴.FG=MG-FM=12-5=7. 故答案为：7 三.解答题 19.(1)解：，分别以点B,C为圆心，OC,OB的长为半径画弧，两弧交于点P, ∴BP=OC,CP=OB. 四边形BOCP是平行四边形； (2)解：AC⊥BD且AC=BD,理由如下： ,'四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC=2OC,BD=2BO, ..AC=BD ∴.OC=BO .AC⊥BD ∴.∠BOC=90° .平行四边形BOCP是正方形 20.(1)解：如图，AE即为所求； D (2)证明：如图，连接EF, ,四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD, ∴.∠AED=∠EAF, 由作图可得：∠DAE=∠FAE, ∴∠DAE=∠DEA, ∴.DA=DE, ..AD=AF, DE=AF,DE‖AF, 四边形DAFE是平行四边形， ..AD=AF ∴.四边形DAFE是菱形. 21.(1)解：(1)由题意补全图形如下： A E H 图1 作点D关于射线CN的对称点E, .∴DC=CE,∠DCN=∠ECN=a' 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD' ∴.BC=CE ÷2CBE=∠CEB=×180°-90+2al=45-a, .∴.∠EFN=∠ECN+∠CEB=a+45°-a=45° 故答案为：45； (2)BF=V2CF+EF」 证明：过点C作CH⊥CF,交BE于点H, .∠EFN=45°， .∴.∠CHF=45, .∴.∠BHC=∠EFC=135o, BC=CE' .∴.∠CBH=∠CEF, .∴.△CBH≌△CEF AAS .∴.CH=CF,BH=EF, .∴.CH=V2CF, ∴.BF=BH+HF=EF+V2CF (3)由对称可知∠CME=90°， .FM=4,∠EFN=45o, ∴.EF=V2FM=4V2: 当0°<a<45°时，如图，由(2)可知BF=EF+V2CF=4V2+2V2=62: D A E F 当45°<<90°时，如图， MN C B H 图2 同理可得BF=EH=EF-V2CF=4V2-2V2=22. 综上所述，BF的长为2V2或6V2. 22.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADBC,即AEBF, 又，EF‖AB, .四边形ABFE是平行四边形， AE BF, ∴.∠AEB=∠EBF .BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBF .∠ABE=∠AEB ∴.AB=AE, ∴四边形ABFE是菱形； (2)①证明：.∠ABC=90°，四边形ABFE是菱形， .四边形ABFE是正方形. 又.O是BE的中点. .OE=OF,∠OEF=∠OFE=45 ,四边形ABFE是正方形， .∴AE=BF,∠AEF=∠BFE=90°， ∴.∠g=∠CFE=90° ∴.∠DE0=∠CF0=135° .AD‖BC,AB‖CD,∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC, ∴.AD-AE=BC-BF,即ED=FC, ∴.△DEO≌△CFO. ∴.∠EDO=∠FCO,即∠ADO=∠BCO. ②解：如图，取BF的中点M,连接OM,则OM是△BEF的中位线. D ..OM I EF,ON-EF. ,四边形ABFE是正方形， EF=BF=AE=1,∠BFE=90°，∠AEB=号∠AEF=45, 2 oM号r-7oM1B即. 又.∠E0D=15°， ∴.∠AD0=∠AEB-∠EOD=45°-15°=30° 由(2)①得∠ADO=∠BCO, ∴.∠BCO=30°， 在Rt△OMC中， ∴.OC=2OM=1 23.（1)证明：连接AP. 4 H B ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中， AB=BC ∠ABP=∠CBP, BP=BP .△ABP≌△CBP|SAS, ∴.PA=PC,∠3=∠4， .PE=PC, .'PA=PE, PE=PC, .∠4=∠5， ∴.∠3=∠5， 又.'∠ANP=∠ENB, .∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°， .AP⊥PE,即△APE是等腰直角三角形， 又.PF⊥AE, 点F为AE的中点； (2)解：在Rt△AEB中，∠ABE=90°， .BE=1,AB=3, ∴.AE=V12+32=910. 又△APE是等腰直角三角形， PE-AE-0-95 V2-2 (3)证明：在DC上截取DM=BE,连接AM, D G M B ,四边形ABCD是正方形， .∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD, 在△ABE和△ADM中， DM=BE ∠ADM=∠ABE AD-AB .△ABE≌△ADM SAS, ∠1=∠2， ∴.∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE. 又.PF⊥AE于F, .AM‖FH, 又ABCD, ∴.四边形AGHM是平行四边形， ∴.AG=MH, DH=DM+MH, ∴.DH=AG+BE 24.(1)证明：：CE‖OD,DE‖AC, :.四边形OCED是平行四边形， 又：'四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD ∴.∠COD=90°， .平行四边形OCED是矩形. (2)解：连接OE,如图， :四边形OCED是矩形， .∴.CD=OE=4' :四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD, 又.∠ABD=30°， .∴.∠ABC=2∠ABD=60, :.△ABC是等边三角形，AC=AB=CD=4 .0C=AC=2, 在Rt△OCD中，由勾股定理得，OD=VCD2-OC=2V3, ∴.BD=2OD=43 5 ABCD--号AC-D-B95. 25.解：数学思考：口ABCD是“倍线平行四边形”， 理由如下：在口ABCD中，AO=CO=2,BO=DO. .AB=BC=2V10 .BO⊥AC, .∠AOB=90 ∴.B0=-2V10-22=6' ∴.BD=12 ∴.BD=3AC' 口ABCD是“倍线平行四边形”. 深入探究： ①.：口ABCD是“倍线平行四边形”， ∴.BD=3AC; .∴B0=3AO: 设AO=X,则B0=3x. .AC⊥AB,AB=2V2 .22+x2=3x2, .x=1 .AC=2, .BC=2V2+22=23 :E是BC的中点，且∠BAC=90, ∴.AE=BC=3 ②如图，过点B作BH L AE的延长线于点H,连接CG,CF D .OG=OA' .∴.∠OAG=∠OGA .AG⊥AE ∴.∠OAG+∠OAF=90°，∠OFA+∠OGA=90°， .∴.∠OFA=∠OAF, .∴.OG=OA=OF=OC, :.四边形AFCG是平行四边形， .∴.AG‖FC,AG=FC ,OB=3OA’ ∴.FG=FB .AG⊥AE, ∴.∠FAG=∠H,AG‖BH· 又.∠OFA=∠BFH, ∴.△GFA≌△BFH' ∴.AGFCBH,AG=FC=BH, .∴.∠HBE=∠FCE,∠H=∠CFE, ∴.△BEH≌△CEF .∴BE=CE' E是BC的中点. 26.解：(1)，四边形ABCD是正方形， .∴.∠A=∠ABC=∠C=90,AB=CB, 过点F作FP⊥CB于P,连接BE, B PG 则四边形AFPB是矩形， ∴.∠BCE=∠FPG=90,AB=FP 由翻折知，GF⊥BE,则∠CBE+∠PGF=∠PFG+∠PGF=90°， ∴.∠PFG=∠CBE ..AB=CB=FP. .△FPG≌△BCE ASA ∴.BE=FG=41, 在Rt△CBE中，由勾股定理得CE=√BE2-BC=√41-40=9， 故答案为：9： (2)证明：如图，连接FA,FP,FC, ABCD BD 正方形 是轴对称图形，F为对角线上一点， .∴.FA=FC’∠FAB=∠FCP 又，FE垂直平分AP, ∴FA=FP, .'FP=FC, ∴.∠FPC=∠FCP ,'∠FAB=∠FCP, ∴.∠FAB=∠FPC' .∵∠FPC+∠FPB=180° .∴.∠FAB+∠FPB=180, .∴.∠ABC+∠AFP=180°， ∴.∠AFP=90, FE=号AP, 2 由模型呈现知，AP=MN, .MN=ME+EF +FN=AP=2EF, ∴.EF=ME+FN (3)解：根据题意补全图形如图所示： E D M G B C 连接MG并延长使得MG=GH, ,点G为BN的中点， ∴.BG=NG, 又，∠BGH=∠NGM, ∴.△BGH≌△NGM|SAS: :HG=MG,BH=NM?∠BHG=∠NMG,则BH‖NF, ∴.∠CBH=∠BFE, ,四边形ABCD是正方形， .ADBC,∠ADC=90°， ∴.∠BFE=∠DEM,∠CDM+∠EDM=90°， 又，DM⊥EF, ∴.∠DEM+∠EDM=90°， ∴.∠CDM=∠DEM. ∴.∠CDM=∠BFE, ∴.∠CBH=∠CDM, .MN=DM, ∴.BH=DM, 由正方形的性质可知，CB=CD, .∴.△CBH≌△CDMSAS ∴.CH=CM,∠BCH=∠DCM,∠BCD=90o, 则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°， ∴△MCH是等腰直角三角形， .HG=MG, ∴.CG⊥MH,则△CGM也是等腰直角三角形，则CG=MG, ..CM=CG2+MG2=V2CG=22 故答案为：22.