第一章 特殊平行四边形-【典创·单元学情诊断卷】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列说法正确的是 A.对角线互相垂直的四边形是矩形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.菱形的对角线相等 D.平行四边的邻边平行且相等 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是30°，则两条对角线所夹锐角的度数为 A.50° B.60 C.70° D.80° 3.在平面直角坐标系x0y中，有A(m,n),B(m+4,n),C(m+4,n+3),D(m,n+3)四点，顺次连 接这四个点组成的四边形是 ( A.梯形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形 4.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,则∠E= A.90° B.45° C.30° D.22.5 D B 图1 图2 （第4题图) (第5题图) 5.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴。小丰家有 一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC=16cm,BD=10cm,则菱形 ABCD的面积为 () A.40 cm2 B.80 cm2 C.96 cm2 D.160cm2 1· 6.如图，已知矩形ABCD的对角线长为10c,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四边形 EFGH的周长等于 ( A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.30 cm E (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若矩 形的面积为12，则阴影部分的面积为 () A.3 B.4 C.6 D.8 8.两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为() A.60° B.55° C.45 D.30° 9.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为 (-3,0),则点C的坐标是 () A.(5,3) B.(5,2) C.(-5,3) D.（-3,5) D B B G （第9题图) （第10题图) 10.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE折叠至△AFE, 延长EF交BC于点G,连接AG,CF.给出下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG//CF; ④∠GAE=45°.其中正确结论的个数是 () A.4 B.3 C.2 D.1 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，请你添加一个条件 ,使四边形 ABCD是正方形. ·2· 12.如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形ABCD,中间通过螺杆连 接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）。当∠BAC=26°时，∠ADC的度数为 P E 手柄 0 B (第12题图) (第13题图) （第14题图) (第15题图) 13.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上，连接EF 交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE= 14.如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的面积为 15.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边DC上，且DP=1,Q是AC上一动点，连接DQ,PQ, 则DQ+PQ的最小值为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题8分) 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE//BD,DE//AC (1)求证：四边形OCED是正方形； (2)若AC=√2，则点E到边AB的距离为 】 B (第16题图) ·3 17.（本小题8分) 如图，四边形ABCD是菱形，延长AB到点F,使BF=AB,连接DF交CB于点E. (1)证明E是BC的中点； (2)连接DB,若DF⊥BC,AD=4,求BD的长. B (第17题图) 18.(本小题8分) 如图，在△ABC中，O是AC边上的动点，过O作MN∥BC,设MN交∠BCA平分线于E,交 △ABC外角∠ACD的平分线于F. (1)OE与OF之间的数量关系是 (2)点O运动到何处时，四边形AECF为矩形，说明理由. 0 -D (第18题图) ·4 19.(本小题8分)》 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E,CF⊥ DG于F. (1)求证：△AED兰△DFC; (2)求证：AE=FC+EF. B G (第19题图)》 20.(本小题8分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连结CE. (1)求证：四边形ADCE为菱形； (2)若∠D=120°，CD=4,求△ABC的面积 D E (第20题图) ·5… 21.（本小题10分)》 如图，四边形ABCD是平行四边形，点G,H分别是AB,CD的中点，点E,F在对角线AC上，且 AE=CF,连接EG,GF,FH,HE. (1)求证：△AGE≌△CHF; (2)若EF=AD,求证：四边形EGFH是矩形 A D 、E H (第21题图) 6 22.（本小题12分) 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE 交CD于点F (1)求证：PC=PE; (2)求∠CPE的度数； (3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE,试探 究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由. 图1 图2 (第22题图) .7 23.（本小题13分) 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点 四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”. 【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【性质探究】 (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC,BD 的关系：」 【拓展应用】 (3)如图2，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是AB、CD的中点.试探索AC与MN 的数量关系，并说明理由. 1 B 图1 图2 (第23题图)》 ·8…参芳答案 第一章特殊平行四边形 1.B2.B3.C4.D5.B6.C7.A8.C9.C10.A 11.AB=AD(合理即可)12.128°13.110°14.4215.5 16.(1)证明：.·CE//BD,DE//AC,.四边形OCED是平行四边形 在正方形ABCD中，AC⊥BD,OD=OC,.∠COD=90°，.四边 形OCED是正方形； (2)1.5 17.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=BC=CD,AB∥ CD,.∠CDE=∠F,∠C=∠FBE.·BF=AB,∴.CD=BF,在 r∠CDE=∠F, △DCE和△FBE中，{CD=BF, ∠C=∠FBE, ∴.△DCE≌△FBE(ASA),∴.CE=BE,∴.点E是BC的中点. (2)解：由(I)知，△DCE≌△FBE,∴.DE=EF,又：DF⊥BC, .BC是线段DF的垂直平分线，.BD=BF.在菱形ABCD中， AB =AD =4..BF =AB=4,.'.BD BF=4. 18.解：(1)E0=F0 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形：理由如 下：当点O运动到AC的中点时，A0=C0,又.·E0=FO, 四边形AECF是平行四边形，FO=CO,.AO=C0=EO= FO,∴.AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴.四边形AECF是矩形 19.证明：(1).：四边形ABCD是正方形，.AD=DC,∠ADC=90°， .∠ADE+∠CDF=90°，：AE⊥DG,CF⊥DG,∠AED= ∠DFC=90°，.∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠DAE=∠CDF, 又.·∠AED=∠DFC,AD=DC,∴.△AED≌△DFC(AAS): (2).·△AED≌△DFC,..AE=DF,ED=FC. ·DF=ED+EF=FC+EF,.∴.AE=FC+EF 20.(1)证明：.E为AB的中点， ∴.AB=2AE=2BE,.AB=2CD,∴.CD=AE 又.·AE∥CD,.四边形AECD是平行四边形 .'AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠EAC,.·AB∥CD,.∴.∠DCA=∠EAC .∠DCA=∠DAC,·.AD=CD,∴.平行四边形AECD是菱形： (2)解：：四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=4,.AD=DC =CE=AE=4,∠AEC=∠D=120°，.AE=CE=BE=4,∠CEB =60°..∴.∠CAE=∠ACE=30°，△CEB是等边三角形..BE= BC=EC=4,∠B=60°.∴.∠ACB=90°. .AC=√AB2-BC=√/(4+4)2-4=4√5. SAc=2BC·AC=7×4x4万=85. 21.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD, ∴.∠GAE=∠HCF.点G,H分别是AB,CD的中点，AG= CH,又.AE=CF,.∴.△AGE≌△CHF(SAS); (2)连接GH..△AGE≌△CHF,∴.GE=HF,∠AEG=∠CFH .·.∠GEF=∠HFE,∴.GE∥HF,又.GE=HF,∴.四边形EGFH 是平行四边形.：AG=DH,AB∥CD,∴.四边形AGHD是平行四 边形，∴.AD=GH,又·EF=AD,∴.EF=GH,∴.平行四边形EG FH是矩形 22.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°， BP=BP,∴.△ABP≌△CBP(SAS).∴.PA=PC.·PA=PE .PC=PE: (2)解：由(1)知，△ABP≌△CBP,.∠BAP=∠BCP 又.·∠BAD=∠BCD=9O°，∴.∠DAP=∠DCP..'PA=PE, .∠DAP=∠E.∴.∠DCP=∠E,又.：∠CFP=∠EFD,∴.180° ∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°； (3)解：AP=CE.理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABP ·81 ∠CBP,BP=BP,.△ABP≌△CBP(SAS).∴.PA=PC,∠BAP= ∠BCP.∴.∠DAP=∠DCP.·PA=PE,∴.∠DAP=∠AEP,PC= PE..∴.∠DCP=∠AEP,.·∠CFP=∠EFD,.∴.180°-∠PFC ∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP,即∠CPF=∠EDF=180°- ∠ADC=180°-120°=60°.∴△EPC是等边三角形.∴.PC= CE..∴.AP=CE 23.解：(1)D (2)AC=BD,AC⊥BD (3)-要4C,理由如下： 如图，记AD、BC的中点分别为E、F, ·.·四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是 AB、CD的中点，∴.四边形ENFM是正方形 ∴FM=FN,∠MFN=90°，.MN=FM+FW =√2FM,M、F分别是AB、BC的中点，MF 是△ABC的中位线PM=宁4CMN=号4C 第二章一元二次方程 1.A2.A3.C4.B5.B6.C7.C8.A9.D10.C 11.-812.413.2714.x1=2027,x2=-202315.-32 16.解：(1)x2-6x+9=2x2-18,(x-3)2=2(x+3)(x-3).移项， 得(x-3)2-2(x+3)(x-3)=0.得(x-3)[(x-3)-2(x+ 3)]=0,即(x-3)(-x-9)=0.所以x-3=0或-x-9=0. 所以x1=3,x2=-9. (2)3x2+2x=1,3x2+2x-1=0,所以a=3,b=2,c=-1,62- 4c=2-4×3×(-1)=16>0.所以x=-2,±6=-2±4 2×3 1 所以x1=-1,2=3 17.解：(1)B (2)x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4, x+1=±2，解得x1=1,x2=-3. 18.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有两 个实数根，∴.4=[-(2m-1)]2-4m2=-4m+1≥0，.-4m 1 +1≥0，m≤4； (2)由题意，得x1+x=2m-1,xx2=m2,(x1-2)(2-2）= 12-2(x1+x2)+4=m2-2(2m-1)+4=m2-4m+6. (x1-2)(x2-2)=11,.m2-4m+6=11,.m2-4m-5= 0,解得m1=5,m2=-1,又：m≤4.m=-1 19.解：(1)(42-3x)x(42-3x) (2)根据题意，得x(42-3x)=144,解得x=6或x=8,当x=6 时，42-3x=24>20,不符合题意，当x=8时，42-3x=18< 20,符合题意，.BC的长为18m; (3)不能.理由如下：根据题意，得x(42-3x)=150,整理，得x2 -14x+50=0,.∴.△=(-14)-4×50=-4<0，.方程无实数 根，.不能围成总面积为150m2的展览区. 20.解：(1)令x2=a,则原方程化为：a2-a-12=0,解得a1=-3,42= 4,当a=-3时，x=-3,则该方程无实数解；当a=4时，x=4,解 得x1=2,2=-2综上，该方程的解为：x1=2,x2=-2 (2)设x=a+b,则原方程为x2-7x+10=0,解得：x1=2,:=5,即 a+b=2或a+b=5,由斜边c=4,舍去a+b=2,Rt△ABC的周长 为4+5=9：由勾股定理得a2+6=42,则(a+b)2-2ab=16,解得： b=号，因此ABC的面积=分b=子 9 21.解：(1)设该款风云球服销售量的月平均增长率为x,根据题意 得256(1+x)2=400,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(舍 (2)解：方程x2-(k+3)x+2k+2=0的两实数根为x1,2, 去)：答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售 .1+为=k+3,x12=2k+2,x1x2=x1+2-2,2k+2=k 量的月平均增长率为25%； +3-2,解得：k=-1. (2)设该款风云球服降价m元时，月销售利润达8400元， 19.(1)证明：连接AC,交BD于点O..·四边形ABCD是菱形，.AC 降价后每件球服的利润为(68-45-m)=(23-m)元，月销售 ⊥BD,AO=CO,BO=DO.DF=BE,∴.DF+D0=BE+BO,即 量为(400+20m)件，根据题意得(23-m)(400+20m)= FO=EO..∴.四边形AECF是菱形..·四边形ABCD是菱形， 8400,整理得m2-3m-40=0,解得m1=8,m2=-5(舍去)； .·.AD=CD,∠ADB=∠CDB,DE=DE 答：该款风云球服降价8元时，月销售利润达8400元. ∴.△ADE≌△CDE(SAS),∴.∠AED=∠CED=45°， 22.解：(1)x2-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,解得：x1=3,x2=-2, .·.∠AEC=∠AED+∠CED=90°，∴.四边形AECF是正方形 3-（-2)=5≠1，….一元二次方程x2-x-6=0不是邻根方程； (2)解：：四边形ABCD是菱形，BD=4, (2)x2-(m+1)x+m=0,.(x-m)(x-1)=0,∴.x=m或x=1. :方程x2-(m+1)x+m=0(m是常数)是“邻根方程”，∴.m-1= 0B=7BD=2,.0E=0B+BE=2+3=5.:四边形AECF 1或1-m=1,..m=2或0： 是正方形，.OA=OE=5..AC⊥BD,∴.在Rt△AOB中：AB= (3)设方程的根为，，且x<x2,则x1+名=-b,1·x2=c,将 √OA2+OB2=√52+22=√29，：四边形ABCD是菱形，.CD 名2=x1+1代人x1+名=-b得x1+(x1+1)=-b,化简得2x1+1 =AB=√29. =6-合出6=%=6+2， 20.解：存在.分两种情况： ①当老鼠C在AO上运动时，设经过xs两只老鼠所在的点与 即=b+2,即6-4b-9=0,解得6=2±VE 0点组成的△COD的面积为1800cm2.由题意知OD=3xcm, 4 23.(1)证明：在△DF℃中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t, AC=2xem,则0C=(10-2x)m,由Sw=20C·0D,得 DF=CD=k又：AE=i,AE=DF: 之(100-2)·3x=1800整理，得2-50c+0=0解这个 (2)解：四边形AED能够成为菱形.理由如下：在Rt△ABC中， 方程，得x1=20,x2=30. ∠C=30°，AB=5,.AC=10,当四边形AEFD为菱形时，则AE=AD, ②当老鼠C在OB上运动时，设经过as两只老鼠所在的点与 即4=0-2z解得1=号即当1=号时，四边形D为菱形， 0点组成的△C'OD'的面积为1800cm2.由题意知OD'= (3)解：当1=弓秒或4秒时，△DBF为直角三角形，理由如下： 3aem,AC=2aem,则0C=(2a-10)em,由Sacm=20C 分情况讨论：①当∠EDF=90时，AD=2AE,即10-2t=2t,t ·0D',得2(2a-100)·3a=1800.整理，得-50a-600= =号②LDEF=0°时，由(2)知四边形AFD为平行四边 0.解这个方程，得a1=60,a2=-10(舍去).综合以上两种情况 可知，在经过20s,30s或60s时，两只老鼠所在的点与0点组 形，EF∥AD,.∠ADE=∠DEF=90°.∠A=60°，∴.AD= 成的三角形的面积为1800cm2 2AE,即10-2t=2,t=4.③∠EFD=90时，此种情况不 21.(1)证明：.O为AD的中点，.A0=DO..·四边形ABCD是平 行四边形，∴.AB//CD,∴.∠BAO=∠EDO. 存在 又.·∠AOB=∠DOE,.∴.△AOB≌△DOE(ASA),∴.AB=DE. 故当1=弓秒或4秒时，△DEF为直角三角形. 又：AB/DE,∴.四边形ABDE是平行四边形.：∠BDC=90°， .∠BDE=90°，.平行四边形ABDE是矩形： 第一次月考测试卷 1.A2.B3.A4.B5.C6.C7.C8.A9.C10.B (2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F :四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4,OB=OE 172.-113万14515弩 =2BE,AD=E又0D=分AD,0D=0E. 16.解：(1)22-8x=0,二次项系数化为1，得x2-4x=0, 因式分解，得x(x-4)=0,解得：x1=0,x2=4; 0F1DE,DF=EF=DE=2,0F为△BDE的中位线， (2)42-4x-3=0,a=4,b=-4,c=-3,.4=6-4ac= （-4)2-4×4×(-3)=64>0,∴.方程有两个不相等的实数根， 0F=2BD=5. 3 xb±6-4a04±64=48解得：x1三2x=-2] .·四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB=4,..CF=CD+ 2a 8 8 17.解：(1)根据题意得：4=[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0，解得：m≥2； DF=6.在Rt△0CF中，0C=OF2+CF=√(5)2+62= (2)当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2-2(m+1)x+ 41. m2+5=0的一个解，把x-7代入方程得49-14(m+1)+m2 22.解：(1)24 +5=0,解得m1=10,m2=4.当m=10时，x1+x2=2(m+1)= (2)设CD的长为x米，则BC的长为(48-3x)米.根据题意，得： 22,解得x2=15,而7+7<15，故舍去；当m=4时，x1+x2= x(48-3x)=180,整理，得：x2-16x+60=0.解得：x1=6,x2=10.当 2(m+1)=10,解得2=3，则3+7>7，构成三角形；当7为等 x=6时，BC=48-3×6=30(米).因为30>27，不符合题意，舍去. 腰三角形的底边时，则x1=x2,所以m=2,方程化为x-6x+9 当x=10时，BC=48-3×10=18(米).因为18<27，符合题意.答： =0,解得x1=x2=3,则3+3<7，故舍去，综上所述，m的值是 边CD的长为10米； 4. (3)饲养场的面积不能达到210平方米.理由如下：假设饲养 18.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0, 场的面积能达到210平方米，设CD的长为x米，则BC的长为 .A=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=k2+6k+9-8k-8=2 (48-3x)米.根据题意，得：x(48-3x)=210,整理，得x-16x -2k+1=(k-1)2≥0，∴.方程总有两个实数根； +70=0.因为4=(-16)2-4×1×70=256-280=-24<0. ·82·