1.2 空间向量基本定理（能力提升）练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 1.已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P，A，B，C四点共面时，实数( ) A. B. C. D. 2.若是空间的一组基，且向量，，不能构成空间的一组基，则( ) A. B. C. D. 3.如图，是四面体，G是的重心，是上一点，且，则( ) A. B. C. D. 4.已知为空间向量的一组基底，下列能与组成基底的向量是( ) A. B. C. D. 5.已知棱长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.已知矩形，P为平面外一点，且平面，M，N分别为，上的点，，，，则( ) A. B. C.1 D. 7.在棱长为6的正四面体ABCD中，点P与Q满足，且，则的值为( ) A. B. C. D. 8.在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知i，j，k是空间中三个向量，则下列说法错误的是( ) A.对于空间中的任意一个向量m，总存在实数x，y，z，使得 B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C.若，，则 D.若i，j，k所在直线两两共面，则i，j，k共面 10.（多选）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是( ) A. B. C. D. 11.（多选）已知是空间向量的一组基，则下列说法正确的是( ) A.若是单位正交基，且，则 B.存在唯一有序实数对，使得 C.若，且，则 D.也一定能构成空间向量的一组基 12.已知空间向量a，b，c不共面，且，，若，则__________. 13.已知是空间的一个基底，向量，，.若，则x，y，z的值分别为________. 14.已知平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为的重心，，，，用基底表示向量，则________. 15.如图，在平行六面体中，，E是棱的中点，记，，. （1）用表示向量； （2）若，，点M满足，且，求. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为点P，A，B，C四点共面，所以可设. 因为A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，所以，，不共面，又点P满足，所以故.故选A. 2.答案：D 解析：因为向量，，不能构成空间的一组基，所以，，共面，故存在实数x，y使得，即. 因为是空间的一组基，所以解得故选D. 3.答案：D 解析：连接，并延长交于点N，连接，如图. 由G是的重心，可得N为线段的中点，且. 所以.所以. ， 所以.故选D. 4.答案：C 解析：，，，由共面向量定理知，均与，共面，故不能构成一组基底.若，，共面，则存在实数，使，即，故共面，与基底矛盾，故，，可以组成空间向量的一组基底，C正确. 5.答案：A 解析：如图，取AB的中点E，连接，则，因为，所以点P在平面内，的最小值就是三棱锥的高.因为，， 所以的面积，设三棱锥的高为，因为，所以，所以. 6.答案：B 解析：因为，，所以 ，故，，，故.故选：B. 7.答案：D 解析：如图，以为基底，则，，所以. 因为. 所以 .所以.故选D. 8.答案：D 解析：满足条件的点P在三棱柱内.如图，设O为的中点，连接，相交于点E，连接，，，，因为，，且，，平面，所以平面，又，所以平面.因为，，所以，所以.因为，所以的取值范围为.故选D. 9.答案：ACD 解析：对于A，由空间向量基本定理，可知只有当i，j，k不共面时，i，j，k才能作为基底，才能得到，故A错误；对于B，若是空间的一个基底，则i，j，k不共面，设，则因为，无解，所以，，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；对于C，若，，则i，k不一定平行，故C错误；对于D，若i，j，k所在直线两两共面，则i，j，k不一定共面，故D错误.故选ACD. 10.答案：AC 解析：对于选项ACD，由，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，所以选项A中，，，不共面，可以构成基底；选项C中，，，不共面，可以构成基底；选项D中，因为，所以，可得M，A，B，C四点共面，即，，共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为，得，，共面，无法构成基底，故选项B错误.故选AC. 11.答案：AD 解析：若是单位正交基，则，且，，， 所以，故A正确；是空间向量的一组基，则a，b，c不共面，所以不存在唯一的有序实数对，使得，故B错误； 若，，则或a与c既不平行也不垂直，故C错误； 设，则无解，所以不存在，使得，所以，，不共面，能构成空间向量的一组基，故D正确.故选AD. 12.答案： 解析：由题设，且，又，，所以，可得，则. 13.答案：，， 解析： ， 由空间向量基本定理，得解得 14.答案： 解析：如图所示，延长PG交CD于点E，则E为CD的中点. .所以. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）连接. 由题意可得. （2） . 因为，所以，解得， 所以， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $